暑假专项提升：探索规律（专项练习）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

**基本信息** 聚焦图形、数列、新运算等规律类型，通过实例观察-规律提炼-公式表达的逻辑链条，系统培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形规律|6题（火柴棒/棋子/小正方体等）|初始量+增量×n，如八边形小棒1+7n|从具体图形到通项公式，培养几何直观| |数列规律|5题（平方数/分数列/周期数）|分子分母分离观察，如分数列分子n、分母n²+1|数字关系到代数表达，发展符号意识| |新定义运算|2题（△运算/！运算）|实例归纳规则，如a△b为a开始连续b个递减数相加|运算规则建模，提升数学表达能力|

小升初暑假专项提升：探索规律 一、填空题 1．像图中这样一直摆下去，第6幅图是( )形，有( )根火柴。第n幅图有( )根火柴。 2．有一列数、、、…那么第10个数为________。 3．像如图这样，将棱长为1厘米的n个小正方体摆在一起，露在外面的正方形一共有______个，此时摆成的长方体体积是______立方厘米。 4．按规律填数：1，4，9，16，( )，36，49，( )。 5．填在下面正方形中的四个数都有相同的规律，根据规律，m的值是( )。 6．若11！＝110，10！＝90，9！＝72，8！＝56，7！＝42，…则4！＝( )。 7．瑞士一名教师巴尔末成功地从光谱数据中发现一个规律，从而打开了光谱奥秘的大门。根据这个规律，第七个数应该是( )。 8．定义一种新运算“△”满足：9△2＝9＋8＝17，8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，则2025△5＝( )＝( )。 9．……按此规律第5个点子图共有( )个点子。 10．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形有6枚棋子，第2个图形有9枚棋子，第3个图形有12枚棋子，……，以此类推，第4个图形有( )枚棋子，第7个图形有( )枚棋子，第n个图形有( )枚棋子。 11．围棋的起源可追溯到春秋中叶之前，在我国有悠久的历史。淘气和爸爸不仅是围棋高手，还喜欢利用围棋探索一些规律。星期天，爸爸在棋盘上摆出了如下图形，淘气好奇地研究起来：第n个图形中，白棋有( )枚，黑棋有( )枚。 12．用小棒按照如下方式摆图形；摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒，摆n个八边形需要( )根小棒。 二、选择题 13．用小正方形按如图方式摆图形。按照这个规律摆下去，第6个图形一共需要（    ）个小正方形。 A．28 B．30 C．42 D．56 14．某种大肠杆菌细胞在环境适应的情况下，平均每20分会分裂一次，第一次分裂会变成两个细胞，第二次分裂这两个细胞会变成四个细胞，以此类推，经过（    ）分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。 A．7 B．20 C．120 D．140 15．英英用正方形和等边三角形按下面的方式摆图形。按照这样的方式摆第10幅图，需要（    ）个等边三角形。 A．31 B．28 C．25 16．观察一组等式：，，，…根据规律，（  ）2。 A．5 B．6 C．7 17．丽丽用小棒摆五边形，如图，摆1个五边形用了5根小棒，摆2个五边形用了9根小棒，摆3个五边形用了13根小棒，……，按此规律摆下去，用85根小棒能摆（    ）个五边形。 A．19 B．21 C．23 D．25 三、判断题 18．根据4，12，36，□，324中的规律，可知□里应填72。( ) 19．。( ) 20．像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。( ) 21．〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△……第111个图形是☆。( ) 22．0.9，0.99，0.999，0.9999…这列数的每一项越来越大，越来越接近1。( ) 四、解答题 23．观察下面的点子图，找出规律，画出后面的图形，并完成填空。 24．按如下图所示的方式摆放桌子和椅子。照这样接着摆下去，一共用了74把椅子，需要多少张桌子？ 25．下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸。 (1)第5个图中所贴剪纸“○”的个数是( )。 (2)第n个图中所贴剪纸“○”的个数是多少？请写出你发现的规律。 26．先阅读理解，再解决问题。 在分数四则运算中，有一些奇妙的规律，掌握这些规律，能让我们灵活解决一些实际问题。比如： ，而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… (1)根据发现的规律，写出一道这样的等式。 －＝× (2)请你利用这一规律，计算下面算式。 27．观察下列等式与图形的关系，根据规律，回答下列问题： 第1个等式：→ 第2个等式：→ 第3个等式：→ （1）写出第4个等式，并涂出与之对应的图示。 第4个等式：（      ）→ （2）猜一猜，第N个等式是（      ）。 28．如下图，照这样接着摆下去，可以怎样表示一共用的小棒的根数？ (1)仔细观察：摆1个正方形用4根小棒，每增加1个正方形，就会多用( )根小棒。 (2)先想想增加的正方形个数和一共用的小棒的根数有什么关系，再填写下表。 增加的正方形个数 1 2 3 … 一共用的小棒的根数 4＋3 4＋3×（    ） 4＋3×（    ） … 如果用m表示一共用的小棒的根数，用n表示增加的正方形个数，m和n之间的关系可以概括为：（    ）。 (3)当m＝175时，求n的值是多少？ 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初暑假专项提升：探索规律》参考答案 1． 平行四边形 13 2n＋1 【分析】我们观察到图1是三角形，图2是平行四边形，图3是梯形，图4是平行四边形，图5再拼1个三角形就组成了梯形，……可以看出来从第2个图开始，奇数序号的图是梯形，偶数序号的图是平行四边形； 图1用了3根火柴，图2用了3＋2＝5（根）火柴，图3用了3＋2＋2＝7（根）火柴，图4用了3＋2＋2＋2＝9（根）火柴，……每增加一个三角形，火柴数量就增加2根，火柴的数量与图的序号的关系为：火柴数量＝3＋（序号－1）×2，以此类推，可得出第n幅图的火柴数量为3＋（n－1）×2，整理可得2n＋1。 【详解】根据分析，第6幅图，因为6是偶数，所以是平行四边形。 火柴数量是： 3＋（6－1）×2 ＝3＋5×2 ＝3＋10 ＝13（根） 图1有火柴：3（根） 图2有火柴：3＋（2－1）×2 ＝3＋1×2 ＝3＋2 ＝5（根） 图3有火柴：3＋（3－1）×2 ＝3＋2×2 ＝3＋4 ＝7（根） 图4有火柴：3＋（4－1）×2 ＝3＋3×2 ＝3＋6 ＝9（根） …… 以此类推，可得图n有火柴： 3＋（n－1）×2 ＝3＋2n－2 ＝（2n＋1）根 2． 【分析】观察数列中每个分数的分子和分母的变化规律。分子依次为 1、2、3、4……，与项数相同；分母依次为 2、5、10、17……，分别是项数乘项数再加1。根据规律求出第 10个数的分子和分母即可。 【详解】观察这列数：、、、…… 分子规律：第1个数分子是1，第2个数分子是2，第3个数分子是3……第 n 个数的分子是 n。 分母规律：第1个数分母：2＝1×1＋1， 第2个数分母：5＝2×2＋1， 第3个数分母：10＝3×3＋1， 第4个数分母：17＝4×4＋1…… 第 n个数的分母是 n×n＋1。 当 n＝10 时：分子为10；分母为 10×10＋1＝100＋1＝101。 所以第 10 个数为。 3． 【分析】①根据图示：保持左右2个正方形的面不变，每增加一个正方体，就增加4个正方形的面，即露在外面的正方形数量＝4×正方体数量＋2。 ②小正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；长方体的体积＝小正方体的体积×小正方体数量。 【详解】由图可知： 露在外面的正方形有：个； 摆成的长方体体积为：（立方厘米） 4． 25 64 【分析】观察数列可知，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，则括号中的数依次是52＝25，82＝64，据此填空即可。 【详解】由分析可知： 1，4，9，16，25，36，49，64 5．76 【分析】根据题意可知，左上角的数：5，10，15，20，规律是每次加5； 右上角的数：2，4，6，规律是每次加2，据此求出第四个右上角的数； 左下角的数：1，3，5，规律是每次加2，据此求出第四个左下角的数； 右下角的数：左下角的数乘右上角的数加左上角的数等于右下角的数，据此即可求出m值。 【详解】第四个右上角的数：6＋2＝8 第四个左下角的数：5＋2＝7 m＝20＋8×7＝20＋56＝76 6．12 【分析】11！＝110，可看成是11！＝11×（11－1） 10！＝90，可看成是10！＝10×（10－1） 9！＝72，可看成是9！＝9×（9－1） 8！＝56，可看成是8！＝8×（8－1） 7！＝42，可看成是7！＝7×（7－1） 综上可得，该题新定义运算规则为，根据已知的等式可转化成与左边数字有关的乘法运算，即n！＝n×（n－1），将n＝4代入计算即可解答。 【详解】4！＝4×（4－1） ＝4×3 ＝12 7． 【分析】先分别找出分子和分母的变化规律：分子依次是3、4、5、6……的平方，分母比对应分子小4，按此规律推算第七个数的分子和分母。 【详解】观察分子：第1个数分子是9＝32，第2个数分子是16＝42，第3个数分子是25＝52，第4个数分子是36＝62 规律：第几个数的分子，就是“几加2”的平方。 第7个数的分子：7＋2＝9；9×9＝81 观察分母：5＝9－4，12＝16－4，21＝25－4，32＝36－4 规律：每个数的分母都等于对应分子减4。 第7个数的分母：81－4＝77 第七个数是。 8． 2025＋2024＋2023＋2022＋2021 10115 【分析】观察题目给出的例子：（9△2＝9＋8）：从9开始，连续2个递减的自然数相加；（8△3＝8＋7＋6）：从8开始，连续3个递减的自然数相加；（7△4＝7＋6＋5＋4）：从7开始，连续4个递减的自然数相加；由此可总结出新运算的规则：（a△b）表示：从a开始，连续b个依次递减1的自然数相加。 【详解】2025△5 ＝2025＋2024＋2023＋2022＋2021 ＝4049＋2023＋2022＋2021 ＝6072＋2022＋2021 ＝8094＋2021 ＝10115 9．9 【分析】每增加一个图形，就增加2个点子； 第一个图形1个点子，可以写成：2×1－1； 第二个图形3个点子，可以写成：2×2－1； 第三个图形5个点子，可以写成：2×3－1； …… 由此可知，第n个图形有（2n－1）个点子，据此当n＝5时，求出有多少个点子。 【详解】根据分析可知，第n个图形有（2n－1）个点子。 当n＝5时： 2×5－1 ＝10－1 ＝9（个） 10． 15 24 （3＋3n） 【分析】仔细观察可以发现，每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，根据这一规律得出第n个图形中的棋子数为（3＋3n），据此计算即可得解。 【详解】第一个图形有个，第二个图形有个，即（个），第三个图形有个，即（个） 每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个， 所以第n个图形中的棋子数为。 第4个图中有棋子： 3＋3×4 ＝15（枚） 第7个图中有棋子： 3＋3×7 ＝24（枚） 11． n 2n＋2 【分析】第①个图形有5个棋子，1枚白棋，4枚黑棋；第②个图形有8个棋子，2枚白棋，6枚黑棋；第③个图形有11个棋子，3枚白棋，8枚黑棋；……；第n个图形中一共有5＋（n－1）×3＝5＋3n－3＝（3n＋2）枚棋子，第n个图形中，白棋有n枚，黑棋有3n＋2－n＝（2n＋2）枚。 【详解】每两个图形相差3个棋子， 第n个图形中一共有棋子：5＋（n－1）×3 ＝5＋3n－3 ＝（3n＋2）枚 第n个图形白棋有n枚， 黑棋有：3n＋2－n＝（2n＋2）枚 12．1＋7n 【分析】根据题意可知，每增加一个八边形，需要小棒的根数增加7根，据此推导出摆n个八边形需要的小棒数的规律表达式。 【详解】摆1个八边形需要8根小棒，即1＋1×7＝8； 摆2个八边形需要15根小棒，即1＋2×7＝15； 摆3个八边形需要22根小棒，即1＋3×7＝22； …… 由此得出，摆n个八边形需要1＋n×7，即（1＋7n）根小棒。 13．C 【分析】观察第1个图形，它由2个小正方形组成，可写成1×2＝2；第2个图形，它由6个小正方形组成，可写成2×3＝6第3个图形，它由12个小正方形组成，可以写成3×4＝12；第4个图形，它由20个小正方形组成，可写成4×5＝20……由此得出规律：第几个图形，小正方形的总个数就是“几”乘“几加1”，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，第6个图形小正方形的总个数为： 6×（6＋1） ＝6×7 ＝42（个） 14．D 【分析】先根据题意明确大肠杆菌的分裂规律：每20分钟分裂1次，每次分裂后细胞数量变为原来的2倍；再从1个细胞开始，按每次数量翻倍的规律，依次列举出每次分裂后的细胞数量和对应的时间，直到细胞数量达到128个；最后根据分裂次数乘每次20分钟的间隔，求出总时间。 【详解】第1次：2个 第2次：2×2＝4（个） 第3次：4×2＝8（个） 第4次：8×2＝16（个） 第5次：16×2＝32（个） 第6次：32×2＝64（个） 第7次：64×2＝128（个） 总时间：7×20＝140（分钟） 所以经过140分钟，大肠杆菌会分裂成128个新细胞。 15．A 【分析】根据图中可得：第1幅有4个等边三角形：3×1＋1，第2幅有7个等边三角形：3×2＋1，第3幅有10个等边三角形：3×3＋1，第4幅有13个等边三角形：3×4＋1……可以看出图形中的等边三角形个数＝第几个图形×3＋1，第n个图形就有3n＋1个等边三角形。据此解答。 【详解】3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 按照这样的方式摆第10幅图，需要31个等边三角形。 16．B 【分析】观察已知的3个等式，发现： 1个加数的和：1＝12； 2个加数的和：1＋3＝22； 3个加数的和：1＋3＋5＝32； …… 规律：从1开始的连续奇数相加的和等于奇数个数的平方，据此规律解答。 【详解】等式中有6个连续奇数，所以。 17．B 【分析】先观察小棒数量的变化规律：摆1个五边形用5根，摆2个用9根，摆3个用13根。可以发现，每多摆1个五边形，小棒数量就增加4根，因此推导出摆n个五边形的小棒总数公式为（4n＋1）根。已知小棒总数为85根，将其代入公式列方程4n＋1＝85，解方程即可。 【详解】摆1个五边形：5＝1×4＋1 摆2个五边形：9＝2×4＋1 摆3个五边形：13＝3×4＋1 摆n个五边形：（4n＋1）根小棒 令4n＋1＝85 解：4n＋1－1＝85－1 4n＝84 4n÷4＝84÷4 n＝21 用85根小棒能摆21个五边形。 18． × 【分析】观察发现，后一个数是前一个数的3倍，据此规律计算出□代表的数。 【详解】12÷4＝3 36÷12＝3 36×3＝108 108×3＝324 □里应填108，而非72，原题说法错误。 故答案为：× 19．√ 【分析】根据奇数和的规律，连续的奇数相加的和等于项数的平方。算式左边可分为两部分：前四项1＋3＋5＋7是连续的4个奇数，和为42；后三项5＋3＋1可视为1＋3＋5的和（加法交换律），是连续的3个奇数，和为32。因此总和为42＋32＝25，右边52＝25，故等式成立。 【详解】计算左边算式： 1＋3＋5＋7＝42＝16 5＋3＋1＝1＋3＋5＝32＝9 16＋9＝25 右边：52＝25 25＝25，所以等式成立。 故答案为：√ 20．√ 【分析】规律：每多1个正方形就多3根小棒； 第1个图形里共有4根小棒，即3×1＋1； 第2个图形里共有7根小棒，即3×2＋1； 第3个图形里共有10根小棒，即3×3＋1； 第4个图形里共有13根小棒，即3×4＋1； …… 第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1。 【详解】根据分析可知，第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1，当n＝100时， 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 即第100个图形需要301根小棒。 故答案为：√ 21．√ 【分析】根据图示可知，每6个图形一循环，计算第111个图形是第几组循环零几个图形，即可知道其形状，判断即可。 【详解】111÷6＝18（组）……3（个） 所有第111个图形是☆。原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查的是找图形规律，解题的关键是观察图形找到规律，再根据规律求解。 22．√ 【分析】观察这列数，后面的数比前一位多一位小数，并且多的位数上是9。所以这列数是无限扩大的，并无限靠近1的。据此解题。 【详解】由分析得： 0.9，0.99，0.999，0.9999…这列数的每一项越来越大，越来越接近1，这种说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了数字排列的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。 23．图见详解 1＋2＋3＋4；1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 【分析】观察点子图可以发现，从第②个图形开始，每个图形都比前一个图形多一列，且第几列就画几个点，依次向右排列即可。 第①个图形有1个点，第②个图形有（1＋2）个点，第③个图形有（1＋2＋3）个点，规律是第几个图形，点子数就从1连续加到几，据此列式。 【详解】如图： 第④个图形有（1＋2＋3＋4）个点，第⑦个图形有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）个点。 24．12张 【分析】观察图形可知： 1张桌子用了8把椅子，8＝6×1＋2； 2张桌子用了14把椅子，14＝6×2＋2； 3张桌子用了20把椅子，20＝6×3＋2； …… 规律：n张桌子用了（6n＋2）把椅子； 按此规律解答。 【详解】规律：n张桌子用了（6n＋2）把椅子。 6n＋2＝74 解：6n＝74－2 6n＝72 n＝72÷6 n＝12 答：需要12张桌子。 25．(1)17 (2)3n＋2； 规律：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 【分析】（1）观察可知，第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，可见每增加一个图形，“○”的数量就增加3个，因此用第3个图“○”的数量连续加2个3，即可求出第5个图中“○”的数量。 （2）根据（1）中分析，将每个图形的数量写成3×n＋2的形式，总结出第n个图中所贴剪纸“○”的个数，并写出规律。 【详解】（1）第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，依次多3个“○”，则第5个图中所贴剪纸“○”的个数为： 11＋3＋3＝17（个） （2）第1个图有5个“○”，5＝3×1＋2； 第2个图有8个“○”，8＝3×2＋2； 第3个图有11个“○”，11＝3×3＋2； …… 第n个图中“○”的个数为3×n＋2，即（3n＋2）个。 规律为：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 26．(1) (2) 【分析】（1）观察题目中给出的例子，发现规律：对于连续正整数n和n＋1，＝×，据此写出类似的等式。 （2）利用发现的规律，将每个乘法转化为差的形式，然后通过加减抵消简化计算。 【详解】（1），而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… 所以＝×，取n＝5，则： ＝，即（答案不唯一） （2） ＝ ＝ ＝ ＝ 27．（1）4×＝4； （2）N×＝N 【分析】（1）观察已知的3个等式可发现规律：整数n乘分数的结果等于n减，因此第4个等式是4×＝4，对应图示：将大长方形分成5行4列，涂满4行（表示的4倍，即涂4个 “”对应的区域）。 （2）第N个等式则是N×＝N。 【详解】（1）4×＝4 图略。 （2）N×＝N 28．(1)3 (2)2；3；m＝4＋3n (3)57 【分析】第一问：因为要解决每增加1个正方形多用的小棒数，所以先对比摆1个和摆2个正方形的小棒总数，用减法计算差值得到结果。 第二问：因为要填写表格中的空，所以先根据（1）得出的每增加1个正方形增加的小棒数，结合增加的正方形个数，确定3乘的数字； 再根据规律，用含n的式子表示m，其中初始小棒数是4，增加的小棒数为3n，所以m等于初始数加增加的数量。 第三问：因为要在m＝175时求n的值，所以将m的值代入（2）得到的关系式，通过解方程的方法求出n。 【详解】（1）左起第一个图是1个正方形用4根小棒； 左起第二个图是2个正方形用7根小棒，比前者多用3根小棒； 左起第三个图是3个正方形用10根小棒，比前者多用3根小棒； 左起第四个图是4个正方形用13根小棒，比前者多用3根小棒； 左起第五个图是5个正方形用16根小棒，比前者多用3根小棒； 所以每增加1个正方形，就会多用3根小棒。 （2）左起第一个图是1个正方形用4根小棒； 左起第二个图是2个正方形用7根小棒，7＝4＋3＝4＋31（增加1个正方形）； 左起第三个图是3个正方形用10根小棒，10＝4＋3＋3＝4＋32（增加2个正方形）； 左起第四个图是4个正方形用13根小棒，13＝4＋3＋3＋3＝4＋33（增加3个正方形）； 用m表示一共用的小棒的根数，用n表示增加的正方形个数， 则m和n之间的关系为：m＝4＋3n。 （3）当m＝175时， 175＝4＋3n 175－4＝4＋3n－4 171＝3n 171÷3＝3n÷3 57＝n n＝57 所以n的值是57。 【点睛】注意：数图形用的小棒的根数所用的方法：正方形用的小棒的根数＋增加的根数。 解方程时，等号左右两边要同时加、减、乘或除同一个数（0除外）。 答案第14页，共14页 答案第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $