分班考暑假专项复习：探索规律（专项练习）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

**基本信息** 聚焦数列、图形、算式规律探究，通过“实例观察-规律提炼-符号表达”三阶训练，系统培养抽象能力与推理意识，适配小升初分班考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列规律|5题（如第5题倒推数列）|差分析、倒推法、周期归纳|从具体数串到通项公式，构建“已知项→递推关系→首项/第n项”推导链| |图形规律|11题（如第8题点阵、11题六边形小棒）|归纳法、数形结合|从图形特征（点数/小棒数）到代数表达式，形成“图形变化→数量关系→n项公式”认知路径| |算式规律|5题（如第7题循环小数、10题平方差）|对比观察、模式识别|通过算式变形（如n(n+2)=(n+1)²-1），建立“特殊算式→一般规律→符号验证”逻辑| |符号与应用|2题（如第21题二进制）|符号转化、模型应用|将图形/数值规律转化为符号语言（如二进制），体现“现实情境→数学表达→问题解决”应用链|

小升初分班考暑假专项复习：探索规律-2025-2026学年数学六年级下册人教版 一、选择题 1．连续自然数：a，b，c，……，g，h，一共有（    ）个自然数。 A．h－b B．h－a＋1 C．（h－1）＋2＋1 D．h－a 2．下面四个问题中，可以用2a＋1表示结果的是（    ）。 A．①② B．②④ C．①③④ D．①②③④ 3．根据以下规律，选项中正确的算式是（    ）。              A． B． C． D． 4．“？”处的图形是哪一个？（    ） A． B． C． D． 5．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是76和123，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．按照下图的规律摆圆，如果每个圆的直径都是10厘米，那么图10的总长是（    ）厘米。 A．50 B．55 C．95 D．100 7．11×0.9＝9.9，222×0.9＝199.8，3333×0.9＝2999.7，555555×0.9＝（    ）。 A．49999.5 B．499999.5 C．4999999.6 D．3999999.5 8．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 二、填空题 9．找规律填数。1.2，1.4，1.8，( )，4.2，( )，13.8，… 10．观察下列等式：2×4＝32－1，3×5＝42－1，4×6＝52－1，10×12＝112－1，根据规律写出相应减法算式：2020×2022＝( )；请把你发现的规律用只含有一个字母的式子表示出来( )。 11．如图，按这样的方式摆下去，摆8个连着的六边形需要( )根小棒，摆n个连着的六边形需要( )根小棒。（第2空用含n的式子表示） 12．1＋3＋5＋7＋9＋11－9－7－5－3－1＝( )2－( )2。 13．小明按规律写了一串数：1，2，3，﹣4，5，6，7，﹣8，9，10，11，﹣12，…，他写的第90个数是( )，此时他已经写了( )个负数。 14．用小棒摆三角形（如下图），照这样摆3个三角形要用( )根小棒，摆个三角形需要用( )根小棒。 15．将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第( )行、第( )列。 16．某广场地面要铺设地砖，决定采用黑白两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律拼成若干个图案。照这样的规律摆下去，第5个图案中一共有白色地砖( )块；第n个图案中白色地砖有( )块。 三、解答题 17．画一画，算一算。 （1）仔细观察每个点阵中点的个数，请你画出下一个点阵。 （2）③号点阵有（    ）个点。照这样的规律，⑩号点阵有（    ）个点。 18．为方便销售，售货员把啤酒瓶捆成如图（从瓶底方向看）的形状，每个瓶底的直径是7厘米，计算出每组至少需要多长的绳子？（接头处不计）你发现了什么规律？ 19．下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 …… （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 阴影部分边长（厘米） 1 2 周围正方形个数（个） 8 12 （2）以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有多少个小正方形吗？ 20．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 21．把5盏电灯并排安在台子上，用〇表示点亮的电灯，用●表示关掉的电灯。〇和●按一定的顺序排列，可以表示一定的数值，如图： （1）按图中的规律，●〇●●〇表示　 　； （2）如果用1表示〇，用0表示●，则“00001”＝1，“00010”＝2，“00011”＝3．“00100”＝4，“00101”＝5，省略最前面的零可简写成“1”＝1，“10”＝2，“11”＝3，“100”＝4，那么“11011”＝　 　，“11110”＝　 　。 22．观察下图中正方形的个数与直角三角形个数之间的关系。如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数用含有n的式子怎么表示？请写出思考的过程。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初分班考暑假专项复习：探索规律-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D C B B A 1．B 【分析】先确定连续自然数中的最小数和最大数，再通过最大数与最小数的关系计算自然数的总个数，最后分析各选项的正确性。 【详解】确定连续自然数的最小数和最大数 最小数：a 最大数：h 计算连续自然数的总个数 以具体例子说明： 从1到3的连续自然数有1，2，3，共3个，计算方法为：； 从2到5的连续自然数有2，3，4，5，共4个，计算方法为：。 由此可总结规律：连续自然数的个数等于最大数减去最小数再加1。 总个数计算方法为：h－a＋1。 A： h−b，错误； B：h−a+1，符合上述总结的规律，所以B正确； C：（h−1）＋2＋1，该表达式无实际意义，无法正确计算连续自然数的个数，所以C错误； D：h−a，如从1到3，3−1＝2，但实际有3个数，少加了1，所以D错误。 故答案为：B。 2．C 【分析】①数量关系：2本作业本的钱数＋1支笔的钱数＝总钱数，据此用含字母式子表示； ②数量关系：（长＋宽）×2＝长方形的周长，据此用含字母式子表示； ③摆1个、2个、3个三角形分别需要3根、5根、7根小棒，发现3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，据此得出规律。 ④数量关系：篮球队的人数×2＋1＝田径队的人数，据此用含字母式子表示。 【详解】①一共需（2a＋1）元，可以用2a＋1表示结果； ②大长方形的周长是：（2a＋1）×2＝（4a＋2）厘米，不能用2a＋1表示结果； ③摆a个三角形需要（2a＋1）个小棒，可以用2a＋1表示结果； ④田径队有（2a＋1）人，可以用2a＋1表示结果； 综上所述，可以用2a＋1表示结果的是①③④。 故答案为：C 3．A 【分析】观察题干中的例子，发现两位数除以99的规律：若被除数的两个数字相同，则商为单一循环节；若不同，则商为两位循环节。据此逐一验证选项。 【详解】A．75÷99，被除数75是两位数且数字不同，循环节应为75，即0.̇7̇5，符合规律，该选项算式正确。 B．99÷75，被除数99与除数75不符合两位数除以99的结构，计算结果为1.32（非循环小数），该选项算式不正确。 C．89÷99，被除数89是两位数且数字不同，循环节应为89，但选项为98，该选项算式错误。 D．99÷89，被除数99与除数89不符合两位数除以99的结构，该选项算式错误。 所以选项中正确的算式是。 故答案为：A 4．D 【分析】先判断外面大直角的方向，依次顺时针旋转90度，可以确定是B或D，里面小直角依次是顺时针旋转45度，据此判断。 【详解】据分析观察接下来外面的大直角顺时针旋转90度，直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，里面的小直角顺时针旋转45度，则直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，即。 故答案为：D 5．C 【分析】每个数恰好等于它前两个数之和，根据第8个数和第9个数分别是76和123，可以倒推第7个、第6个……，直至推出第1个数。 【详解】第7个：123－76＝47 第6个：76－47＝29 第5个：47－29＝18 第4个：29－18＝11 第3个：18－11＝7 第2个：11－7＝4 第1个：7－4＝3 即这9个数为3、4、7、11、18、29、47、76、123。 故答案为：C 6．B 【分析】图1：有1个圆，总长是10厘米，可表示为5＋5×1； 图2：有2个圆，总长是15厘米，可表示为5＋5×2； 图3：有3个圆，总长是20厘米，可表示为5＋5×3； 由此可推出，图n的总长为（5＋5n）厘米，求图10的总长度，将n＝10代入其中计算即可。 【详解】观察发现：图n的总长为（5＋5n）厘米 当n＝10时， 5＋5n ＝5＋5×10 ＝5＋50 ＝55 因此图10的总长度是55厘米。 故答案为：B 7．B 【分析】观察各算式： 第一个因数分别由重复的数字组成的多位数，第二个因数都是0.9； 222×0.9＝199.8，积的首位和末位分别是1和8，是由2×9＝18，18分拆成的积的首位和末位。积的中间有3－1＝2个9 3333×0.9＝2999.7，积的首位和末位分别是2和7，是由3×9＝27，27分拆成的积的首位和末位。积的中间有4－1＝3个9。 重复数字的多位数与0.9积的中间都是9，9的个数＝第一个因数的位数－1，积的首位和末位由重复数字乘9的积决定。据此解答。 【详解】根据分析可得： 11×0.9＝9.9，222×0.9＝199.8，3333×0.9＝2999.7，555555×0.9＝499999.5。 故答案为：B 8．A 【分析】观察图形，第1幅图的点数为：1＋4×0＝1； 第2幅图的点数为：1＋4×1＝5； 第3幅图的点数为：1＋4×2＝9； 第4幅图的点数为：1＋4×3＝13； …… 照这个规律，第n幅图点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3。 【详解】按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n－3）。 故答案为：A 9． 2.6 7.4 【分析】先计算相邻两数的差：1.4－1.2＝0.2，1.8－1.4＝0.4，可发现差是依次翻倍的规律（0.2， 0.4， 0.8， 1.6， 3.2……），再用前一个数加上对应的差依次求出后续的数即可。 【详解】1.8－1.4＝0.4 1.8＋0.4×2 ＝1.8＋0.8 ＝2.6 4.2－2.6＝1.6 4.2＋1.6×2 ＝4.2＋3.2 ＝7.4 所以这列数是1.2，1.4，1.8，2.6，4.2，7.4，13.8，… 10． 20212－1 n（n＋2）＝（n＋1）2－1 【分析】观察可得规律是：相差2的两个数相乘的积等于与它们两个都相邻的数的平方减1的差。 【详解】观察下列等式：2×4＝32－1，3×5＝42－1，4×6＝52－1，10×12＝112－1，根据规律写出相应减法算式：2020×2022＝20212－1；用只含有一个字母的式子表示为：n（n＋2）＝（n＋1）2－1。 11． 41 5n＋1 【分析】观察图形发现规律：多一个正六边形，则多用5根小棒。据此推导出摆n个连着的六边形所需小棒数的表达式，并计算摆8个连着的六边形需要的小棒数量。 【详解】观察图形发现： 第一个图形需要6根小棒，6＝5×1＋1；第二个图形需要11根小棒，11＝5×2＋1；第三个图形需要16根小棒，16＝5×3＋1；…… 则第n个图形中，需要小棒数为：5×n＋1，即（5n＋1）根。 将n＝8，代入5n＋1中，得： 5n＋1 ＝5×8＋1 ＝40＋1 ＝41 摆8个连着的六边形需要41根小棒，摆n个连着的六边形需要（5n＋1）根小棒。 12． 6 5 【分析】先利用减法的性质，把连续减去几个数改成减去这几个数的和，再分别求出前后两组奇数相加的和，最后把两个和相减，并改写成两个数的平方相减的形式。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11－9－7－5－3－1 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11）－（9＋7＋5＋3＋1） ＝36－25 ＝62－52 13． 90 22 【分析】观察这串数，发现规律：每4个数为一组，每组前3个数是正数，第4个数是负数；且数字（不考虑负号）是从1开始依次增加1。 求第90个数是几，就是求90里有几个4，用除法计算，再结合余数的情况确定第90个数是正数还是负数；商表示有几组，每组有1个负数，有几组就有几个负数。 【详解】90÷4＝22（组）……2（个） 余数是2，表示是一组数里的第2个数，即是正数90； 每4个数为一组，每组里有1个负数，那么22组就有22个负数。 14． 7 2n＋1 【分析】根据图形的变化规律，将每个图中最左侧的一根小棒固定，则每增加1个三角形需要增加2根小棒。即1个三角形的小棒个数为根，2个三角形的小棒个数为根，3个三角形的小棒个数为根，依此类推。 【详解】 （根） 摆3个三角形要用7根小棒。 根 摆个三角形需要用根小棒。 15． 254 D 【分析】先看奇数的排列规律，用2025加1再除以2，求出它是第几个奇数。再用这个序号除以4，根据商和余数确定它在第几行第几个。最后根据行数是奇数还是偶数，对照每行的排列顺序，判断出它在第几列。 【详解】求2025是第几个奇数：（2025＋1）÷2 ＝2026÷2 ＝1013（个） 求行数和余数：1013÷4＝253……1 确定行数：253＋1＝254（行） 第254行为偶数行，从D列开始排，即在D列。 所以2025所在的行、列分别为第254行、第D列。 16． 22 4n＋2 【分析】观察图片可知，第一个图案有6块白色地砖，从第二个图案开始，每增加一个图案，白色地砖的数量就增加4块。第一个图案中白色地砖数量为6块，可写出4×1＋2；第2个图案中白色地砖数量为10块，可写成4×2＋2；第三个图案中白色地砖数量为14块，可写成4×3＋2。通过以上分析，可以发现，第n个图案中白色地砖有（4n＋2）块。 【详解】4×5＋2 ＝20＋2 ＝22（块） 第5个图案中一共有白色地砖22块；第n个图案中白色地砖有（4n＋2）块。 17．（1）见详解；（2）9；100 【分析】（1）通过题意可知，第①个图有1个点，第②个图有（1＋3）个点，第③个图有（1＋3＋5）个点……因为1＝12，1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，……所以第n个图有n2个点。据此画出第④个点阵图。 （2）③号点阵有（1＋3＋5）个点。把n＝10代入n2进行计算即可。 【详解】（1）1＝12 1＋3＝22 1＋3＋5＝32 …… 第n个图有n2个点。 第④个点阵图： （2）1＋3＋5＝9 102＝100 ③号点阵有9个点。照这样的规律，⑩号点阵有100个点。 18．35.98厘米；42.98厘米；49.98厘米；绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径 【分析】 如图，捆两个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×2，捆三个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×3，捆四个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×4，即绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径，据此分析。 【详解】3.14×7＋7×2 ＝21.98＋14 ＝35.98（厘米） 3.14×7＋7×3 ＝21.98＋21 ＝42.98（厘米） 3.14×7＋7×4 ＝21.98＋28 ＝49.98（厘米） 答：每组至少需要35.98厘米、42.98厘米、49.98厘米长的绳子，发现绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径。 【点睛】关键是看懂图示，掌握圆的周长公式，圆的周长＝πd。 19．（1）3；4；5 16；20；24 （2）40个 【分析】通过观察图可知：阴影部分边长×4，可求出阴影部分四边的正方形个数，再加上4个角上的4个小正方形，就是周围正方形个数。 【详解】（1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 5 周围正方形个数（个） 8 12 16 20 24 （2）9×4＋4 ＝36＋4 ＝40（个） 以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有40个小正方形。 【点睛】通过观察图得出规律是解答此题的关键。 20．（1）分子，和 （2）① ②19 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 21．（1）9，（2）27，30 【分析】（1）这是二进制的另类表示方法，○表示灯亮为1，●表示灯不亮为0。 （2）“00001”＝1×20＝1； “00010”＝1×21＋0×20＝2； “00011”＝1×21＋1×20＝3； … 由此得出二进制转化成十进制的方法，进而求解。 【详解】（1） ●●●●○也就是00001＝1， ●●●○●也就是00010＝21＋0＝2， ●●●○○也就是00011＝21＋1＝3， ●●○●●也就是00100＝1×22＋0×21＋0×20＝4， ●●○●○也就是00101＝1×22＋0×21＋1×20＝5， 那么●○●●○也就是01001， 01001 ＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20 ＝8＋0＋0＋1 ＝9 （2）“11011” ＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20 ＝16＋8＋0＋2＋1 ＝27 “11110” ＝1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋0×20 ＝16＋8＋4＋2＋0 ＝30 【点睛】本题二进制的表示方法，先找到规律再求解。二进制转十进制，从最后一位开始算，依次列为第0、1、2…位，第n位的数（0或1）乘2的n次方，得到的结果相加就是答案。 22．4（n－1）； 思考过程：观察图形可知，正方形的个数分别是2，3，4，……， 对应直角三角形的个数分别是4，8，12，……， 每增加一个正方形，就会增加4个直角三角形， 也就是4＝4×（2－1），8＝4×（3－1），12＝4×（4－1）……， 如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数为。 【分析】先观察图形，找正方形个数和直角三角形个数的对应关系： 当n＝2（2个正方形）时，直角三角形个数：4＝4×（2－1）； 当n＝3（3个正方形）时，直角三角形个数：8＝4×（3－1）； 当n＝4（4个正方形）时，直角三角形个数：12＝4×（4－1）； …… 可以发现规律：每增加1个正方形，就会增加4个直角三角形； 所以当正方形个数为n时，直角三角形的个数为：4（n－1）。 【详解】略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $