精品解析：内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

巴彦淖尔市2025—2026学年第二学期高一期末考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据的极差为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】最大值为，最小值为，所以极差为． 2. 将笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的有只， 由古典概型的概率公式可知所求概率为. 3. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知向量，， 则，， 故在上的投影向量的模为. 4. 如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 四边形是正方形的直观图，在轴上且，根据斜二测画法规则，平行于轴的线段长度不变， ∴ 原正方形的对角线. ∴ 原正方形的面积. ∵ 斜二测画法中，直观图面积与原图形面积的比例为， ∴ 四边形的面积. 5. 设复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 由可得， 所以， 所以， 解得，即的实部为. 6. 某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”， 事件为“甲未中奖”，事件为“乙未中奖”， 事件“至少有一人中奖”，表示“甲中奖乙未中奖”或者“乙中奖甲未中奖” 或者“甲乙同时中奖”； 对选项A，表示事件和事件同时发生，即“甲乙同时中奖”，故A错误； 对选项B，表示事件或事件发生，即至少有一人中奖，故B正确； 对选项C，表示事件和事件同时发生，即“甲乙都未中奖”，故C错误； 对选项D，表示事件和事件同时发生，即“甲中奖且乙未中奖”，故D错误. 7. 在正六棱柱中，，，为底面所在平面内的任意一点，则异面直线与所成角的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义及线面垂直判断取最小角时的位置，结合直角三角形三角函数求解即可. 【详解】正六棱柱中，平面， 所以点在平面上的投影为，则在平面上的投影为. 因为为底面所在平面内的任意一点，所以异面直线与所成角的最小值就是与投影所成的角. 在中，，，则. 又异面直线所成角范围为，所以. 故当位于过点且平行于的直线上时，异面直线与所成角取得最小值，为. 8. 在中，均在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理可设，，再结合已知条件即可求解. 【详解】 设，， 则，则， 所以，即，故B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为2 C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的概念及几何意义进行判断． 【详解】根据互为共轭复数的两个复数，实部相等，虚部互为相反数可得，故A正确； 的虚部为，故B错误； 根据复数的计算可知C正确； 复数在复平面内的点坐标为，在第四象限，故D错误． 10. 林下调研区划分出块独立的菌菇监测样地，编号为，每块样地被随机选中的概率均为．调研人员先后两次独立选取样地开展观测（有放回地选取，两次选取互不影响），记录每次选中的样地编号．设事件为“第一次选取选中的菌菇监测样地的编号为”，事件为“第二次选取选中的菌菇监测样地的编号为偶数”，事件为“两次选取选中的样地编号之和为”，事件为“两次选取中，恰有一次选中编号不大于的菌菇监测样地”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先算出有放回抽样总基本事件数，分别求出各单一事件与交事件的古典概型概率，再依据独立事件判定公式逐项检验四个选项． 【详解】有放回抽取，总情况数种。 ，， 对于A，，，满足，所以与相互独立，A正确； 对于B，事件：两次和为，组合，共种，， 事件：第一次是且和为，则第二次必须是，仅，种，， ，满足，与相互独立，B正确； 对于C：事件：恰有一次编号（为；为）， 符合的组合：第一次第二次（）+第一次第二次（），共种，， ：和为且恰一次，符合的组合：中，恰一次的是全部组（每组都一个一个），共种， ，，与相互不独立，C错误； 对于D，：第一次且恰一次，所以第二次必须，共种（第二次）， ，，满足，与相互独立，D正确． 11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ） A. 平面平面 B. 的最小值为 C. 几何体共有8个面 D. 几何体外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据翻折前后，位于同一平面内的位置关系不变，可知，，利用面面垂直的判定判断；对于选项B，将平面与平面展开至同一平面，问题转化为求的长；对于选项C，观察图形可判断；对于选项D，将原图形补成长方体，长方体的体对角线长即为外接球的直径. 【详解】几何体共有7个面，C错误； 因为四边形为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面，A正确； 因为，，， 所以，所以，则，同理可证， 可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体， 其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确； 连接，，将平面与平面展开至同一平面， 如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值. 因为，，， 所以平面，则， 在图3中过作，与的延长线交于点， 则，， 所以，B正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，则该圆台的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为、，高为， 由台体体积公式可知，该圆台的体积为. 13. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】设一班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；二班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；名同学的总平均分为，总方差为. ∴ . ∵ 分层合并方差公式为， 代入得， 即总方差为. 14. 长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧松净月塔楼矗立在观潭山上，某高中数学研学小组开展实地测量活动，选取与塔楼底部位于同一水平面的地面三点，，，且，，三点在同一直线上，米．若在，，三处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，则碧松净月塔楼的竖直高度________米．（结果保留一位小数，参考数据：取） 【答案】 【解析】 【分析】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得，在两个三角形中根据余弦定理的推论计算可得答案； 【详解】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得： ，，， 因为，所以 在两个三角形中根据余弦定理的推论可得 ，即 化简得， 解得（米） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，是的直径，是圆周上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． 【答案】（1）因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）因为是的直径，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，所以平面． 由（1）得，所以平面． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线结合线面平行的判定定理完成证明； （2）由直径所对圆周角为直角，可得与垂直，再结合线面垂直的判定定理得到垂直于平面，最后结合与的平行关系，由线面垂直的性质完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 某高校为调查学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生，统计他们每周的锻炼时长（单位：小时），得到如下频数分布表： 锻炼时长 频数 10 20 30 25 15 （1）估计该校学生每周锻炼时长的分位数； （2）若该校共有2000名学生，估计每周锻炼时长不低于6小时的学生人数； （3）按锻炼时长采用按比例分层随机抽样的方法从锻炼时长在，内的学生中抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人不在同一锻炼时长区间内的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据频率找到百分位数所在区间，根据所占区间内频率计算具体数值； （2）根据频数等于频率乘总数计算结果； （3）利用古典概型计算公式计算概率． 【小问1详解】 由表可知，锻炼时长在内的频率为，在内的频率为， 在内的频率为，在内的频率为，在内的频率为． 因为，， 所以分位数位于内．设分位数的估计值为， 则，解得， 即估计该校学生每周锻炼时长的分位数为． 【小问2详解】 因为样本中锻炼时长不低于6小时的频率为， 所以该校2000名学生中符合条件的人数约为． 【小问3详解】 根据分层抽样，其中位于内的有5人，记这5人为，，，，， 位于内的有3人，记这3人为，，． 从这8人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种情况． 这2人不在同一区间内的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 所以这2人不在同一锻炼时长区间内的概率为． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若外接圆的半径为1，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理进行化简可求出，即可求出答案； （2）根据正弦定理求出，根据余弦定理及基本不等式求出，再利用三角形面积公式即可求出答案. 【小问1详解】 根据正弦二倍角公式， 又根据正弦定理可得， 即， 因为，，所以，故， 所以，得． 【小问2详解】 因为外接圆的半径为， 根据正弦定理可得，由（1）知， 所以，解得， 由余弦定理可得， 又因为， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最大值为． 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． （2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题 （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算三道题全部答对概率即可； （2）分别计算每一种答题顺序下，甲获得会员的概率，并比较大小即可得到使甲获得会员的概率最大时的答题顺序； （3）分别计算题1、题2、题3位于中间时甲获得会员的概率，求解相应的不等式，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 甲获得30天会员的概率为． 【小问2详解】 当时，各种答题顺序的情况如下： 按题1→题2→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题1→题3→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题1→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题2→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题． 【小问3详解】 根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题． 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率. 因为，所以只需满足即可，即，解得． 因为，所以的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． （1）设平面平面，证明：． （2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． （3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以． 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB． 因为平面PCD，平面平面，所以． （2）解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM． 因为F为PD上靠近点P的三等分点， 所以F为PM的中点，所以． 因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO． 同理可证平面AMO． 因为，所以平面平面AMO． 因为平面平面，平面平面，所以． 因为F为PM的中点，所以H为PC的中点． （3） 【解析】 【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可得证； （2）取PC的中点，则即为平面与棱的交点.设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．通过证明平面AMO、平面AMO证得平面平面AMO，再根据面面平行的性质得到，结合F为PM的中点，即可得证； （3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI，证得为二面角的平面角.根据题设条件，运用等面积法、相似等平面几何知识得到，令，，得到，利用该函数的单调性求值域即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI， 因为，，，所以平面PBC，所以． 因为，，所以平面NID，则， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由底面是平行四边形，，得,． 由等面积法可得, 由，， 所以，． 则． 令，． 在中，则． 令，，则在上单调递增， 所以，， 所以二面角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦淖尔市2025—2026学年第二学期高一期末考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据的极差为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 将笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 6. 某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 在正六棱柱中，，，为底面所在平面内的任意一点，则异面直线与所成角的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，均在上，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为2 C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 林下调研区划分出块独立的菌菇监测样地，编号为，每块样地被随机选中的概率均为．调研人员先后两次独立选取样地开展观测（有放回地选取，两次选取互不影响），记录每次选中的样地编号．设事件为“第一次选取选中的菌菇监测样地的编号为”，事件为“第二次选取选中的菌菇监测样地的编号为偶数”，事件为“两次选取选中的样地编号之和为”，事件为“两次选取中，恰有一次选中编号不大于的菌菇监测样地”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ） A. 平面平面 B. 的最小值为 C. 几何体共有8个面 D. 几何体外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，则该圆台的体积为________． 13. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 14. 长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧松净月塔楼矗立在观潭山上，某高中数学研学小组开展实地测量活动，选取与塔楼底部位于同一水平面的地面三点，，，且，，三点在同一直线上，米．若在，，三处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，则碧松净月塔楼的竖直高度________米．（结果保留一位小数，参考数据：取） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，是的直径，是圆周上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． 16. 某高校为调查学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生，统计他们每周的锻炼时长（单位：小时），得到如下频数分布表： 锻炼时长 频数 10 20 30 25 15 （1）估计该校学生每周锻炼时长的分位数； （2）若该校共有2000名学生，估计每周锻炼时长不低于6小时的学生人数； （3）按锻炼时长采用按比例分层随机抽样的方法从锻炼时长在，内的学生中抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人不在同一锻炼时长区间内的概率． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若外接圆的半径为1，求面积的最大值． 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． （2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． （1）设平面平面，证明：． （2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． （3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $