精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

巴彦淖尔市2024—2025学年第二学期高一期末考试 数学 注意事项： 1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，且向量，的夹角为60°，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某圆锥的轴截面是边长为10的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ） A. 25 B. C. 50 D. 4. 若虚数是关于x的一元二次方程的一个根，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若事件A与事件B互斥，则 B. 若事件A与事件B互斥，则 C. 若事件A与事件B对立，则 D 若事件A与事件B对立，则 6. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出以下结论：①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的实部是 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 10. 一分钟跳绳是中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果.小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20次训练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为177，方差为5.4；4月份的训练成绩的平均值为186，方差为6.3.下列结论正确的是（ ） A. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181.5 B. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为183 C. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为6 D. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为24 11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据21，19，31，25，28，18，30的极差是______. 13. 在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 14. 在中，，E是线段的中点，过点E的直线分别与线段，交于点M，N，若，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求m的值； （2）若向量，且，求向量，的夹角. 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 17. 某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a值； （2）估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数； （3）现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）证明：； （2）求取值范围； （3）若，求外接圆面积最小值. 19. 定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. （1）已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥重合度K. （2）若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巴彦淖尔市2024—2025学年第二学期高一期末考试 数学 注意事项： 1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义求解. 【详解】由题意，，根据共轭复数的定义，则. 故选：B 2. 已知向量，满足，，且向量，的夹角为60°，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】因为，，且向量，的夹角为60°， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 3. 已知某圆锥的轴截面是边长为10的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ） A. 25 B. C. 50 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由轴截面分析出圆锥的底面半径，母线长，从而得解. 【详解】由题意，圆锥的底面圆半径是，则底面圆周长是， 且侧面展开图的半径为，弧长为的扇形， 根据扇形面积公式，面积为：. 故选：D 4. 若虚数是关于x的一元二次方程的一个根，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次方程有虚数根时，则也有其共轭复数作为另一个根，结合韦达定理求解. 【详解】由题意有虚根，则是方程的另一个根， 根据韦达定理，，解得. 故选：D 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若事件A与事件B互斥，则 B. 若事件A与事件B互斥，则 C. 若事件A与事件B对立，则 D. 若事件A与事件B对立，则 【答案】C 【解析】 【分析】举例法可判断A；利用互斥与对立事件的关系可判断BCD. 【详解】对于A，若抛掷一枚质地均匀的色骰子出现1点记为事件A，出现2点记为事件B， 则互斥，但，故A错误； 对于B，事件A与事件B互斥，则，故B错误； 对于C，若事件A与事件B对立，则，故B正确； 对于D，若事件A与事件B对立，则，故D错误. 故选：C. 6. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出以下结论：①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、直线与直线、平面与平面，之间位置关系逐项判断即可． 【详解】对于①，若，，，则或是异面直线，故①错误； 对于②，因为，记，在内作，所以， 因为，所以，又因为，所以，所以，故②正确； 对于③，若，，则，故③正确； 对于④，如图所示，，但，故④错误. 故选：B. 7. 已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解. 【详解】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 8. 甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各投篮一次，甲、乙、丙投篮命中分别为事件， ，则为事件， 所以 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的实部是 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断； 【详解】由题意可得， A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确； C：，故C错误； D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 10. 一分钟跳绳是中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果.小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20次训练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为177，方差为5.4；4月份的训练成绩的平均值为186，方差为6.3.下列结论正确的是（ ） A. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181.5 B. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为183 C. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为6 D. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为24 【答案】BD 【解析】 【分析】计算出两个月的30次训练的平均数，进而代入层抽样的样本方差公式进行计算即可. 【详解】对于AB，这两个月的30次训练的平均数为，故A错误，B正确； 对于CD，故这两个月的30次训练的方差为，故C错误，D正确. 故选：BD. 11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假. 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则. 设. 因为四点共面，所以. 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以. 又， 设内切球的半径为，则， 即. 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则. 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据21，19，31，25，28，18，30的极差是______. 【答案】13 【解析】 【分析】利用极差的定义求解即可. 【详解】数据21，19，31，25，28，18，30的极差是. 故答案为：. 13. 在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，从而可得则为直线与所成角或其补角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，如图， 连接，，，易知，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以则为直线与所成角或其补角， 设正方体边长为， 则，，， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 在中，，E是线段的中点，过点E的直线分别与线段，交于点M，N，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求得，利用三点共线可求得. 【详解】因为，所以， 所以， 又因为E是线段的中点，所以 因为，，所以， 又因为三点共线，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求m的值； （2）若向量，且，求向量，的夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示得出和的坐标；再根据平面向量垂直的坐标表示列出方程求解即可. （2）先根据平面向量线性运算的坐标表示及向量平行得出，从而得；再根据平面向量模及数量积的坐标运算得出，，；最后根据平面向量夹角的计算方法即可求解. 【小问1详解】 因，， 所以，. 又因为， 所以，解得：或. 【小问2详解】 因为，， 所以，. 又因为，， 所以，解得：， 则. 所以，. 设向量，的夹角为， 由，得 所以向量，的夹角为 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题干数据结合勾股定理可得，根据正方形可推出线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理证明； （2）先作出二面角的平面角，然后由题干条件求解. 【小问1详解】 设，则，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是， 由，即，则，显然， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面. 【小问2详解】 作垂足为，作，垂足为，连接， 平面平面，，平面，平面平面， 于是平面，由平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则，又， 则为平面与平面所成角， 由， 则 17. 某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数； （3）现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由小矩形的面积之和为1可以求出a的值； （2）根据频率之和，第60百分位数成绩在之间，均分该区间得到答案； （3）先利用频率之比求出，的两组中应抽的人数，列出所有情况，找出其中符合要求的，算出概率即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得 【小问2详解】 ，，，，对应的频率依次为： 0.1，0.15，0.25，0.35，0.15 第60百分位数累计频率为0.6，在之间， 【小问3详解】 ，频率之比为， 抽2人，抽3人， 设抽中A,B两人，抽中C,D,E三人， 则所有组合有：，共10种， 2人恰好在同一组的有：，共4种， ∴2人恰好在同一组的概率为： 18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）证明：； （2）求的取值范围； （3）若，求外接圆面积的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式和正弦定理可得，进而利用余定理可得结论； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式与（1）可得的取值范围； （3）利用（2）求得，进而求得外接圆的半径的最小值，可求面积的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得， 由余弦定理：， 所以， 即， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理得 又因为，所以 所以的取值范围是：； 【小问3详解】 由（2）可得， 所以外接圆， 所以外接圆面积的最小值为. 19. 定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. （1）已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. （2）若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）先设的面积为，三棱柱的高为，得到三棱柱的体积.①作，交于点，连接，求证平面平面得到为棱的中点，进而依次得三棱柱的体积、三棱锥的体积，从而得三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②求证得到，从而求出三棱锥的体积即可由重合度定义求解. （2）先设，进而求出三棱柱与三棱锥重合部分的体积，接着求出进而求出，从而求出三棱锥的体积，再由重合度定义列出关于的方程即可求解. 【小问1详解】 设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积. ①作，交于点，连接， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面， 因为，所以为棱的中点， 则三棱柱的体积，三棱锥的体积. 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 【小问2详解】 设，则，从而， 故三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. 因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 因为，所以，所以， 所以，解得或或. 因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$