第07讲 实际问题与二次函数（1大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） （暑期衔接课堂）2026年暑假人教版九年级数学上册衔接讲义

第07讲 实际问题与二次函数（1大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用二次函数求图形问题 典型例题二 利用二次函数求图形运动问题 典型例题三 利用二次函数求拱桥问题 典型例题四 利用二次函数求销售问题 典型例题五 利用二次函数求投球问题 典型例题六 利用二次函数求喷水问题 典型例题七 利用二次函数求增长率问题 典型例题八 二次函数综合应用--面积问题 典型例题九 二次函数综合应用--线段周长问题 典型例题十 二次函数综合应用--角度问题 典型例题十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题 典型例题十二 二次函数综合应用--特殊四边形 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小颖根据频闪相机记录的训练视频，发现某次训练中羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线，羽毛球行进的高度与水平距离之间满足的关系为，若羽毛球行进的高度为，则羽毛球飞出的水平距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 【典型例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（2025九年级·全国·专题练习）已知矩形的长为，宽为，面积为，下列图象能表示与之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广西防城港·期中）矩形绿地的长为、宽为，若长、宽各增加，扩充后的总面积与的关系式为______． 【例3】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）用长为的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 2．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知，A点的坐标为，过A点分别作坐标轴的垂线，交x轴和y轴分别于B点和C点，P为线段上一个动点（P不与A，B重合），过点P的反比例函数的图象与交于点D． (1)当的面积等于时，求该反比例函数的解析式； (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【典型例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例1】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【例2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【例3】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，点P在线段上，点P从点A开始沿边以的速度向点B移动；E是的中点，点Q从点E开始，沿以的速度向点C移动，如果点分别从点A、E同时出发． (1)请探究的面积与运动时间之间的函数关系式，并求出t的取值范围； (2)画出此函数的图像． 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，设菜园垂直于墙的一边长为． (1)当的长为多少时，菜园的面积为？ (2)当的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． (1)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； (2)求当时，t的值． 3．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： (1)出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ (2)出发多少时间时，的面积为？ (3)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【典型例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例1】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【例2】（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 【例3】（25-26九年级上·陕西安康·期末）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大孔的水面宽度． 2．（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 3．（24-25九年级上·全国·期末）小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 【典型例题四 利用二次函数求销售问题】 【例1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 【例3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）为弘扬馆陶文化，某文旅公司推出多款粮画文创产品，已知某款粮画的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件．经调查发现，每涨1元，每天可以少售出件． (1)设该款粮画涨了x元，则每天售出的数量是______件； (2)为让利于游客，该款粮画应该涨多少元，使文旅公司每天的利润是元； (3)文旅公司每天售卖该款粮画的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）甲、乙两汽车出租公司均有100辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 若两公司租出的汽车数量均为（）辆，甲的月利润用表示，乙的月利润用表示．根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙两公司的月利润（用含的代数式表示）； (2)甲公司最多比乙公司月利润多多少元？ 3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）赣南得天独厚的自然环境，充足的阳光、适宜的温度、肥沃的土地，让赣南脐橙大放异彩，成为了中华名果．又到了脐橙成熟季，兴国县某脐橙基地为拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/箱(一箱)的精品脐橙，按销售单价不低于成本价，且不高于元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量(箱)与销售单价(元/箱)之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请求出与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/箱时，每天的销售利润为元； (3)销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【典型例题五 利用二次函数求投球问题】 【例1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【例2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__． 【例3】（25-26九年级上·江西抚州·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 1．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）在一场篮球赛中，队员甲面对面传给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离近似满足二次函数关系，且这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是4m． (1)求与的函数关系式； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到吗？如能接到，计算说明；如不能，他应该后退多少米才能恰好接到？ 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，小明在一次高尔夫球赛中，从山坡下点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球打到最大竖直高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，、A两点相距米．在如图所建立的平面直角坐标系下． (1)直接写出点A的坐标； (2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； (3)直接判断小明这一杆能够把高尔夫球从点直接打入球洞A点． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 高度 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 (1)当时， ，这个值表示的实际意义是 ； (2)求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； (3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【典型例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例1】（2026·陕西·模拟预测）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度______米． 【例3】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 1．（2025·湖北随州·一模）小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分的高度为，要求设计水流在距离柱子处达到距离水平面最高，且最高为．    (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？ 2．（2025·河北沧州·一模）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线的一部分，落点距离喷水柱底端处米． (1)写出水流到达的最大高度，并求的值； (2)在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱的高度，使水流落在宽（）为米，内侧（点）距点为4米的环形区域内（含，），直接说出喷水柱的高度是变大还是变小，并求它变化的高度（米）的取值范围． 3．（24-25九年级上·北京西城·期末）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为x米的地点，水柱距离湖面的高度为y米． x（米） 0 y（米） 请解决以下问题： (1)在网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，画出y关于x的函数图像； (2)结合表中所给数据或所画图象，这条水柱最高点距离湖面的高度是___________米； (3)求y关于x的函数表达式；（不用注明自变量的取值范围） (4)从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点均在护栏内部，且到护栏的水平距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 【典型例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（    ） A．y=x+m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x） 2．（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 3．（24-25九年级·上海·暑假作业）某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 【典型例题八 二次函数综合应用--面积问题】 【例1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2025九年级上·湖南长沙·模拟预测）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【例3】（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求的值； (2)如图，为原点，矩形与矩形关于点成中心对称．若抛物线与边相交，矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分，求抛物线的解析式． 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 3．（2026·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【典型例题九 二次函数综合应用--线段周长问题】 【例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·期末）已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 【例3】 （24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 1．（2026·四川南充·模拟预测）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； (2)若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象C，当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作轴交直线于点E，求线段长的最大值； 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)过点P作x轴的平行线，交直线于点E． ①若，求点P的坐标； ②直接写出的最大值． (3)如图(2)，D为抛物线的顶点，过点P作的平行线交抛物线于另一点G，连接，，满足，若点M在直线上运动，求的最小值． 【典型例题十 二次函数综合应用--角度问题】 【例1】（2025·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【例2】（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【例3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 1．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线对称轴为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)当时： ①求抛物线的解析式及顶点P的坐标； ②对称轴上有动点D，连接、、，当点D在何处时，的周长最小？求出点D的坐标并求出对应的最小值； (2)抛物线恒过定点H（不与点C重合），若，时，求抛物线上一定M，使． 2．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，抛物线经过点，，点，，，在抛物线上，其横坐标分别为，，，，连接，． (1)求抛物线的解析式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围； (2)当点与抛物线顶点重合时，求点的坐标； (3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； (4)设，，，探索，，之间的关系，请直接写出结论． 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点C，A，二次函数经过点A，C． (1)求二次函数解析式； (2)如图2，点P为抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q，若，求点P的横坐标； (3)如图1，连接，在x轴上找一点M，使得，直接写出点M的坐标； (4)二次函数与组成新函数G：，点，，，当函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点时，请直接写出此时m的取值范围． 【典型例题十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题】 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 【例2】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 【例3】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得为直角三角形，请直接写出所有点的坐标． 3．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为．                              (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 【典型例题十二 二次函数综合应用--特殊四边形】 【例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 【例3】（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，抛物线与轴交于点．与直线交于点．点在轴上．点为线段上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C，D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点，连接EF． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长． 2．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． (1)作出抛物线关于轴对称的图象． (2)新图象的函数表达式为______． (3)设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 3．（2025·甘肃陇南·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．      (1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)如图3，若抛物线的顶点在正方形内部，且与正方形恰有两个交点，求的取值范围．    1．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·模拟预测）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 7．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球经过的时间为1秒时，滚下的路程为米，则与的x的关系式为___________；当秒时，乒乓球所滚下的路程为___________米． 9．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小． 10．（25-26九年级下·河南安阳·阶段检测）如图，这是某足球比赛的平面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线的一部分，足球离地面的高度（）与足球被踢出后经过的时间（）之间的关系的部分数据如下表，则被踢出的足球在第________落地． s 0 2 3 4 … m 0 2 … 11．（25-26九年级下·安徽安庆·期中）某地铁段施工距离全长为米．经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：①甲公司施工单价（万元米）与施工长度（米）之间的函数关系为，②乙公司施工单价（万元米）与施工长度（米）之间的函数关系为（注：工程款施工单价施工长度） (1)如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程需工程款 万元； (2)考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程．因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款万元（从工程款中扣除）． 如果设甲公司施工米，试求市政府共支付工程款（万元）与（米）之间的函数关系式； 如果市政府支付的工程款为万元，那么乙公司的施工距离有多长？ 12．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 13．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结，求的度数； (3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标． 14．（2026·河南平顶山·三模）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 15．（2025·江苏无锡·二模）如图①，抛物线与直线交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点Р纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q． （1）求点A的坐标，并用含k的代数式表示点B的坐标； （2）如图②，当四边形CDOP为平行四边形时， ①求k的值； ②设E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，（n为正整数），轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足的点E有两个？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 实际问题与二次函数（1大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用二次函数求图形问题 典型例题二 利用二次函数求图形运动问题 典型例题三 利用二次函数求拱桥问题 典型例题四 利用二次函数求销售问题 典型例题五 利用二次函数求投球问题 典型例题六 利用二次函数求喷水问题 典型例题七 利用二次函数求增长率问题 典型例题八 二次函数综合应用--面积问题 典型例题九 二次函数综合应用--线段周长问题 典型例题十 二次函数综合应用--角度问题 典型例题十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题 典型例题十二 二次函数综合应用--特殊四边形 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小颖根据频闪相机记录的训练视频，发现某次训练中羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线，羽毛球行进的高度与水平距离之间满足的关系为，若羽毛球行进的高度为，则羽毛球飞出的水平距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用与一元二次方程的求解，解题的关键是将函数值代入解析式，解一元二次方程并结合实际意义取舍． 将高度代入抛物线解析式，得到一元二次方程，求解后根据水平距离的实际意义排除负值，得到结果． 【详解】解：已知羽毛球行进的高度与水平距离的关系为， 当时，代入得， 整理得， 解得：， 因为水平距离，而， 所以羽毛球飞出的水平距离为． 故选：D． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 【答案】4 【分析】令时，则，解得，再列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，令时，则， 解得， 则， ∴仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为． 【典型例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（2025九年级·全国·专题练习）已知矩形的长为，宽为，面积为，下列图象能表示与之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是根据实际意义确定自变量的取值范围． 根据矩形面积公式即可求出与之间的函数关系式，其中． 【详解】解：由题意得：， ∴能表示与之间函数关系的是选项C． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·广西防城港·期中）矩形绿地的长为、宽为，若长、宽各增加，扩充后的总面积与的关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出题目中的数量关系，利用数形结合的思想解答问题． 【详解】解：由题意可知， 扩充后的总面积与的关系式为， 故答案为：． 【例3】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设交于点， ∵四边形的两条对角线，互相垂直， 即， ∴ ； 故答案为：12； （2）解：设，四边形面积为S， 则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时， ∴当时，四边形的面积最大． 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）用长为的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 【答案】窗框的高与宽各为、时，它的透光面积最大，最大透光面积是 【分析】因为窗框的宽为，则高为：，设面积为S，根据长方形面积公式建立函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设窗框的宽为，则高为：，设面积为S， 根据题意可得：． ∵ ∴当时，， 此时高为 答：窗框的高与宽各为、时，它的透光面积最大，最大透光面积是． 2．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知，A点的坐标为，过A点分别作坐标轴的垂线，交x轴和y轴分别于B点和C点，P为线段上一个动点（P不与A，B重合），过点P的反比例函数的图象与交于点D． (1)当的面积等于时，求该反比例函数的解析式； (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到P点的横坐标为，由的面积等于，得到，于是得到解析式； （2）设，，根据三角形的面积公式得到二次函数的解析式，求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：点的坐标为， 点的横坐标为，， 的面积等于， ， ， ， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：设，， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积是． 【典型例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例1】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 【例2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 【例3】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，点P在线段上，点P从点A开始沿边以的速度向点B移动；E是的中点，点Q从点E开始，沿以的速度向点C移动，如果点分别从点A、E同时出发． (1)请探究的面积与运动时间之间的函数关系式，并求出t的取值范围； (2)画出此函数的图像． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）的面积，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可． （2）根据五点作图法，先列表再描点连线，即可作答． 本题考查了二次函数与几何运动内容，画二次函数的图象，解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴． ∵，点P、Q运动的速度均为， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴列表如下： 0 1 2 3 6 18 16 0 画出函数 的图象，如图 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，设菜园垂直于墙的一边长为． (1)当的长为多少时，菜园的面积为？ (2)当的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 【答案】(1)当时，菜园的面积为 (2)当时，菜园的面积最大，最大面积为 【分析】（1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为 ，根据题意列出方程，即可求解； （2）设菜园的面积为 ，根据题意得，利用二次函数的最值，即可求解． 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，明确题意，得到等量关系，注意配方法求最值在实际中的应用． 【详解】（1）解：∵，则平行于墙的一边长为，根据题意得 ， 解得，， ， ， 不符合题意． 答：当时，菜园的面积为． （2）解：设菜园的面积为， ， 当时，菜园的面积最大，最大面积为． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． (1)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； (2)求当时，t的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据三角形的面积，即可求解； （2）当时，，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：当时， ， 解得． 所以经过2秒或4秒时的面积为． 3．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： (1)出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ (2)出发多少时间时，的面积为？ (3)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)2秒 (2)当出发秒或秒时，的面积为 (3)是，最大面积为，此时运动时间3秒 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）利用勾股定理列出方程进行求解即可； （2）利用面积公式，列出方程进行求解即可； （3）利用面积列出二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 由题意，得：， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：出发2秒时间时，点P，Q之间的距离等于 （2）由题意得：， 解得：或； 答：当出发秒或秒时，的面积为； （3）有最大值： ， ∴当时，面积最大为． 【典型例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例1】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 【例2】（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 【例3】（25-26九年级上·陕西安康·期末）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大孔的水面宽度． 【答案】 【分析】本题是二次函数的实际应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，一元二次方程，解答时求出函数的解析式是关键． 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据的长度，得出函数值y，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，M点坐标为，A点坐标为，B点坐标为， 由顶点M的坐标为，可设中间大抛物线的函数式为， ∵点B在此抛物线上， ∴， 解得， ∴函数式为， ∵小孔顶点距水面4.5m, ∴， 将代入解析式得 ， 解得， ∴可得． 答：当水位上涨刚好淹没小孔时，此时大孔的水面宽度为． 2．（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【答案】(1) (2)卡车能顺利通过隧道，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点C坐标代入解析式，求出对应的函数解析式，再令函数值为0，求出x的值得到A、B坐标即可得到答案； （2）把代入解析式求出此时y的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为且过顶点， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴； （2）解：卡车能顺利通过隧道，理由如下： 在中，当时，， ∴卡车能顺利通过隧道． 3．（24-25九年级上·全国·期末）小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 【答案】(1) (2)抛物线的表达式为 (3)卡车载物后的限高应是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，合理分析图象信息是解题的关键． （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标，根据卡车宽求出点F的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． 【详解】（1）解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； ∵卡车宽为， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为：，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵卡车宽为米， ∴时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的最大高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 【典型例题四 利用二次函数求销售问题】 【例1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过建立日营业收入与房价提高量之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求最大值，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设房价提高个10元，则房价为元，日均入住数为间．设日营业收入为， 由题意可得：． 由于二次项系数，函数图象开口向下， 所以在对称轴处取得最大值． 此时房价为元，且150在元范围内． 故答案为：150． 【例3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润 (2)当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意得出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即， 整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润． （2）解：记利润为元， 则． ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元． 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）为弘扬馆陶文化，某文旅公司推出多款粮画文创产品，已知某款粮画的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件．经调查发现，每涨1元，每天可以少售出件． (1)设该款粮画涨了x元，则每天售出的数量是______件； (2)为让利于游客，该款粮画应该涨多少元，使文旅公司每天的利润是元； (3)文旅公司每天售卖该款粮画的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该款粮画应该涨1元，使文旅公司每天的利润是元 (3)售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据每涨1元，每天可以少售出件，先将将每天减少的数量表示出来，再将每天售出数量表示出来； （2）设该款粮画涨了x元，根据题意列方程，解方程，结合让利于游客，排除错误解，即可求解； （3）设该款粮画涨x元，根据题意列函数解析式，并化简为顶点式，根据二次函数的性质求出函数的最值，即可求解． 【详解】（1）解：根据每涨1元，每天可以少售出件，可知设该款粮画涨了x元，则每天少售出件，故每天售出的数量是件． （2）解：设该款粮画涨了x元， 根据题意，得， 化简得．解得，， 由于要让利于游客，则舍去． 答：该款粮画应该涨1元，使文旅公司每天的利润是元． （3）解：设该款粮画涨x元， 则， ， 当时，W取最大值为元，此时销售价为元． 答：售价为10元时，每天的利润最大，最大利润是元． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）甲、乙两汽车出租公司均有100辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 若两公司租出的汽车数量均为（）辆，甲的月利润用表示，乙的月利润用表示．根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙两公司的月利润（用含的代数式表示）； (2)甲公司最多比乙公司月利润多多少元？ 【答案】(1)； (2)当时，甲公司最多比乙公司月利润多元 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确用表示两个公司的利润是解题的关键． （1）根据月利润月租车费月维护费即可得到与的函数关系式，与的函数关系式； （2）根据题意表示出，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， ； （2）解：， ， 当时，甲公司最多比乙公司月利润多元． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）赣南得天独厚的自然环境，充足的阳光、适宜的温度、肥沃的土地，让赣南脐橙大放异彩，成为了中华名果．又到了脐橙成熟季，兴国县某脐橙基地为拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/箱(一箱)的精品脐橙，按销售单价不低于成本价，且不高于元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量(箱)与销售单价(元/箱)之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请求出与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/箱时，每天的销售利润为元； (3)销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价定为元/箱时，每天的销售利润为元 (3)销售单价定为元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为元 【分析】题主要考查了一次函数，二次函数在销售问题中的应用； （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）令，解方程，即可求解； （3）依据题意，根据与的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为 由图可得： 解得： 该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 销售单价不低于成本价，且不高于元/箱销售， ， ∴每天的销售利润为， 与的函数解析式为； （2）当时， 解得：（舍去） 答：销售单价定为元/箱时，每天的销售利润为元 （3）由(1)得与的函数解析式为， ， ，， 当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元/箱时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【典型例题五 利用二次函数求投球问题】 【例1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 令，解方程求即可． 【详解】解：令，则， 解得（舍去），， 运动员从起跳到落地所需要的时间为秒． 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__． 【答案】0.8 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， ∴， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线 足球到达最高点所需的时间是． 故答案为：0.8． 【例3】（25-26九年级上·江西抚州·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)此球能过网 (3)羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，把代入求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设， 把代入得， 抛物线的解析式为： （2）解：当时， 此球能过网． （3）解：当时， 解得：，， 羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米． 1．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）在一场篮球赛中，队员甲面对面传给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离近似满足二次函数关系，且这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是4m． (1)求与的函数关系式； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到吗？如能接到，计算说明；如不能，他应该后退多少米才能恰好接到？ 【答案】(1) (2)需要后退的距离为 【分析】本题考查二次函数的顶点式和实际应用，利用顶点式的性质确定函数参数是解题关键． （1）由二次函数顶点式的性质，顶点对应最大高度，故；再代入出手点求解，从而确定函数关系式． （2）先计算时的篮球高度，与乙的最大摸高比较，判定不能接到后，令求解，计算与原位置的距离差，确定后退的距离． 【详解】（1）解：已知篮球飞行的轨迹满足二次函数顶点式． 二次函数顶点对应篮球飞行的最大高度， ， 函数式化为， 篮球出手时的坐标为，将其代入函数式： 可得，即， 移项计算得： ， 解得． 函数关系式为． 答：． （2）解：判断能否接到： 乙在的位置，最大摸高为， 将代入函数关系式：， ， 乙原地接不到篮球． 计算后退距离： 令，代入函数关系式： ， 移项化简： ，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 乙原位置为， 需后退的距离为． 答：需要后退的距离为． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，小明在一次高尔夫球赛中，从山坡下点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球打到最大竖直高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，、A两点相距米．在如图所建立的平面直角坐标系下． (1)直接写出点A的坐标； (2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； (3)直接判断小明这一杆能够把高尔夫球从点直接打入球洞A点． 【答案】(1) (2) (3)小明这一杆不能够把高尔夫球从点直接打入球洞A点 【分析】（1）由直角三角形的性质可求得、的长度，则写出点A的坐标； （2）已知顶点坐标，设抛物线解析式为，由于抛物线过原点，即可求得a的值，从而求得解析式； （3）判断点A是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：在中，，米， 则米，由勾股定理得：（米）， 所以点A的坐标为， 故答案为：； （2）解：由题意知，抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线过原点，则有， ∴， 球的飞行路线所在抛物线的解析式为； （3）解：当时，， 所以小明这一杆不能够把高尔夫球从点直接打入球洞A点， 故答案为：不能． 【点睛】本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，与几何中的直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半相结合，并利用勾股定理求边长，表示点的坐标；并能判断该点是否在抛物线上． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 高度 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 (1)当时， ，这个值表示的实际意义是 ； (2)求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； (3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】(1)，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； (2)； (3) 解：由（）得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能达到． 【分析】本题考查了实际问题与二次函数——投球问题，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （）根据表格可以得出答案； （）把，代入，用待定系数法求出函数解析式； （）结合（）根据函数的性质求出最大值与比较即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴这个值表示的实际意义是匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； 故答案为：，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； （2）解：把，代入， 得， ∴； ∴； （3）略 【典型例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例1】（2026·陕西·模拟预测）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 【例2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度______米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．根据题意可以求得抛物线的解析式，从而得到顶点M的坐标，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的横坐标是1，， 设抛物线的解析式为：, ， 解得， ， 答：最高点M距离地面高度为， 故答案为：． 【例3】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 1．（2025·湖北随州·一模）小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分的高度为，要求设计水流在距离柱子处达到距离水平面最高，且最高为．    (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用： （1）根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式； （2）令，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为， 可设解析式为，过点，即， 解得． 抛物线的解析式为：． （2）解：由（1）可知：， 令， ． 解得或（舍去）． 花坛半径至少为． 2．（2025·河北沧州·一模）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线的一部分，落点距离喷水柱底端处米． (1)写出水流到达的最大高度，并求的值； (2)在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱的高度，使水流落在宽（）为米，内侧（点）距点为4米的环形区域内（含，），直接说出喷水柱的高度是变大还是变小，并求它变化的高度（米）的取值范围． 【答案】(1)米， (2)变大， 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的基本性质． （1）利用函数表达式即可得到水流到达的最大高度，根据题意得出点的坐标，利用待定系数法即可求出值； （2）先根据题意求出点、的坐标，设抛物线向上移动米，则函数解析式为，分别将点点、的坐标代入，即可求解． 【详解】（1）解：水流的路线是抛物线的一部分， 水流到达的最大高度为：米， 根据题意得：， 将代入， 得：， 解得：， 水流到达的最大高度为米，； （2）根据题意得：，，即， 设抛物线向上移动米，则函数解析式为， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， 喷水柱的高度变大，变化的高度（米）的取值范围：． 3．（24-25九年级上·北京西城·期末）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为x米的地点，水柱距离湖面的高度为y米． x（米） 0 y（米） 请解决以下问题： (1)在网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，画出y关于x的函数图像； (2)结合表中所给数据或所画图象，这条水柱最高点距离湖面的高度是___________米； (3)求y关于x的函数表达式；（不用注明自变量的取值范围） (4)从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点均在护栏内部，且到护栏的水平距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) (4)64米 【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可； （2）观察图象即可； （3）根据得出函数的对称轴，得出顶点坐标为，将函数设为顶点式，再将代入求解即可； （4）在求得的解析式中令，则可求得x的值，即可确定所需护栏的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由图可知：条水柱最高点距离湖面的高度5米． 故答案为：5． （3）∵该函数经过点， ∴该函数的对称轴为直线， ∴顶点坐标为：， 设函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴函数表达式为． （4）令，则，解得：（舍）， ∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为7米． ∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米， ∴正方形护栏的边长至少为（米）， 则公园至少需要准备（米）的护栏． 【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键． 【典型例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，2025年我国新能源汽车销售量约为万辆，则2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，列出二次函数表达式即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（    ） A．y=x+m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x） 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式即可，先求得第一年的利润m（1+x），再求得第二年的利润为m（1+x） 【详解】根据题意，某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，每年增长的百分数都是x，则, 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意、掌握增长率问题是解题的关键． 2．（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 3．（24-25九年级·上海·暑假作业）某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 【答案】 【分析】设每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，6月份的营收为万元． 【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． 【典型例题八 二次函数综合应用--面积问题】 【例1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 【例2】（2025九年级上·湖南长沙·模拟预测）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 【例3】（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求的值； (2)如图，为原点，矩形与矩形关于点成中心对称．若抛物线与边相交，矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴得出方程求解即可； （2）根据题意得出，，，，矩形的面积为，确定抛物线经过点D，抛物线与边相交，设交点为点G，得出，确定，再由题意得出相应方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线对称轴为， ∵对称轴为， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∵矩形与矩形关于点成中心对称， ∴，， ∴，矩形的面积为， ∵抛物线与轴交于点，且对称轴为：， ∴抛物线经过点D， ∵抛物线与边相交，设交点为点G，如图所示： ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分， ∴两部分面积为和， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：． 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把，代入求解即可； （2）①先求出的最小值为，根据吸收函数定义写出表达式为，根据二次函数的性质得出，化简得，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可； ②过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出，解方程求出A、B两点的横坐标分别是则，根据为“吸收函数”的顶点，得出，根据可求出，结合的面积为4得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得， 解得； （2）解：①， 的最小值为． 由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得． ， ， ，即， 为一次函数的系数即， 考虑到当时，， 但当时，， 故可取， 综上所述，； ②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为． 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：， 即． 解得． ∴点的横坐标分别是 ， 为“吸收函数”的顶点， ， ． ． 的面积． 的面积为， ， 解得． 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可． （2）根据二次函数图象平移的性质求出点D的坐标，再求出点B的坐标，通过计算得出，根据等边对等角得出，最后根据正弦的定义求解即可． （3）分点D在点C上方或下方两种情况，画出图形作出辅助线利用平行线的性质和相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解∶∵抛物线的顶点C的坐标为， 故设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于A点，点A坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：设抛物线的对称轴与x轴交于点E，如图：    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵把抛物线向上平移5个单位， ∴，， ∴， 令，则， 解得或7， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：①当点D在点C的上方时， 设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ②当点D在点C的下方时，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：点E的坐标为或． 3．（2026·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【答案】(1) (2)5 (3)或． 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设顶点的横坐标为，则，根据是平移得到的，得出的解析式为：，由题意，横坐标为，则，根据平行于的对称轴（直线），求出，则，，即可求解； （3）由（2）得原顶点，，求出直线的解析式，根据新抛物线顶点仍在直线上，设，则新抛物线解析式为：，将代入求出或，再根据平移距离为顶点到的距离：解答即可； 【详解】（1）解：抛物线， ∴顶点的坐标为； （2）解：设顶点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵是平移得到， ∴值不变， ∴的解析式为：， 由题意，横坐标为， 代入得的纵坐标：，即， ∵平行于的对称轴（直线）， ∴为垂直于轴的直线，即、横坐标相等： ∴， ∴， ∴，， 此时，点到直线的水平距离为， ∴； （3）解：由（2）得原顶点，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 沿平移时，新抛物线顶点仍在直线上， 设， 则新抛物线解析式为：， 将代入得：，整理得， 解得：或， 平移距离为顶点到的距离： 当时，，平移距离； 当时，，平移距离； 综上，本次平移的距离为或． 【典型例题九 二次函数综合应用--线段周长问题】 【例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，求出对称轴为直线，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，则，证明，由相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∵点和点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验）， 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·全国·期末）已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 【答案】 【分析】连接，由题意得，推得，所以当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长，然后求出直线的解析式为，求出该直线与抛物线的交点坐标即可． 【详解】解：连结， 由已知，，则， ， 当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得，， 点C位于y轴左侧， ， 当时，， 点C的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与线段相关的最值问题，二次函数图象与性质， 求一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意，分析线段差的最值的几何意义是关键． 【例3】 （24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把代入得： ， 解得：  ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴. 1．（2026·四川南充·模拟预测）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，则可分：①当时，②当时，③当时，④当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线可知：对称轴为直线， ∵抛物线过点，， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴； （2）解：令，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为，， ∵点为线段上一点， ∴， 解得：， ∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值， 分析抛物线对称轴与和时三种关系， ①当时，如图， 此时，都有，符合题意； ②当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴，解得：， ∴当时，恒成立， 当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ③当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ④当时，则， 若时，则的最大值大于，即不成立， 若时，如图， ∴当时，点C的纵坐标取得最大值，当时，点D的纵坐标取得最小值， ∴， 解得：； 综上所述：t的取值范围为或． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； (2)若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象C，当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作轴交直线于点E，求线段长的最大值； 【答案】(1)， (2)①或② 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，利用二次函数求线段长度的最值，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数表达式即可，然后根据函数表达式确定抛物线与轴的交点坐标； （2）①分两种情况进行讨论，根据最低点确定最高点的纵坐标，然后利用二次函数表达式进行求解即可； ②利用待定系数法求出直线的表达式，表示出点的坐标和线段的长度，最后利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得 ∴， ∴； （2）解：①当点位于点左侧时，， ∴， 解得或（舍去）； 由得，抛物线顶点坐标为， 当点位于点右侧时，， ∴， 解得或（舍去）； 综上，或； ②设直线的表达式为， 将，代入得， ，解得， ∴， 根据题意得，，且， ∴， ∵该二次函数表达式中， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，顶点横坐标为，符合取值范围， ∴当时，线段长取最大值， 为， 所以，线段长的最大值为． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)过点P作x轴的平行线，交直线于点E． ①若，求点P的坐标； ②直接写出的最大值． (3)如图(2)，D为抛物线的顶点，过点P作的平行线交抛物线于另一点G，连接，，满足，若点M在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)①或② (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，相似的性质和判定，解题的关键是根据相似的性质求出直线的解析式； （1）分别令，即可得解； （2）①先求出直线的解析式，设，根据列方程求解即可； ②根据求解最值即可． （3）过D作轴于H，过G作于M，过P作于N，则，设，则，设直线的解析式为，证明，可得，即可求出直线的解析式，设，求出的最小值，进而求出的最小值． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， 解得：， ， ； （2）解：①设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， 把代入得， 解得， ， ， ， 解得：或， 或； ②， ， ∴当时，有最大值，此时， 的最大值为； （3）解：过D作轴于H，过G作于M，过P作于N，则， 设，则， ， ∴设直线的解析式为， 把P代入得， 解得， ， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或或， 当时，，此时P与D重合，不符合题意， 当时，，此时G与D重合，不符合题意， ，即， 直线的解析式为， 设，则， ， 当时，取最小值，的最小值， 的最小值为． 【典型例题十 二次函数综合应用--角度问题】 【例1】（2025·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 【例3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标为，这个最小值为 【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可； （2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可； （3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标； （2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时点E符合题意， ∵F为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 同理根据，可得直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴点E的坐标为； （3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 1．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线对称轴为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)当时： ①求抛物线的解析式及顶点P的坐标； ②对称轴上有动点D，连接、、，当点D在何处时，的周长最小？求出点D的坐标并求出对应的最小值； (2)抛物线恒过定点H（不与点C重合），若，时，求抛物线上一定M，使． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；顶点P的坐标为；②； (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及线段最值与二次函数，角度与二次函数综合； （1）①由对称轴为和，求出，则抛物线的解析式为，再求出顶点坐标即可； ②先求出，，，由对称得到，则周长，当点在线段上时，周长最小，最小值，求出直线与对称轴的交点即为； （2）先根据对称得到定点，再由，求出抛物线的解析式为，根据得到，线段中点在轴上，则，，， 在轴上取一点，使，则，此时，直线与抛物线交点为；在轴上取一点，使，则，则，直线与抛物线交点为，分别求出直线解析式，再与抛物线联立求交点坐标即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线对称轴为， ∴，即， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴顶点P的坐标为； ②令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∴，， 如图，连接， ∵A、B两点关于对称轴对称， ∴， ∴周长 ∴当点在线段上时，周长最小，最小值， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （2）解：∵抛物线过定点，对称轴为， ∴抛物线过关于对称轴对称的点， ∴定点， ∵抛物线对称轴为， ∴，即， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴，线段中点在轴上， ∴，， ∴， 当在上方时，在轴上取一点，使，则， ∴， ∴， ∵， ∴直线与抛物线交点为， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 当在下方时，在轴上取一点，使，则，则， ∴， ∵， ∴直线与抛物线交点为， 同理解得； 综上所述，抛物线上存在或，使得． 2．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，抛物线经过点，，点，，，在抛物线上，其横坐标分别为，，，，连接，． (1)求抛物线的解析式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围； (2)当点与抛物线顶点重合时，求点的坐标； (3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； (4)设，，，探索，，之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1)， (2) (3)当的边与轴垂直时，的纵坐标为12，的纵坐标为26或的纵坐标为26，的纵坐标为44 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式得到顶点坐标和对称轴即可得到答案； （2）根据点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为，知，故，在中，令求出y的值即可得到答案； （3）分两种情况：当轴时，由A，D关于抛物线的对称轴对称，，抛物线的对称轴为直线，可得；即知，故，，在中，令求出y值即得E，F的纵坐标；当轴时，同理可得答案； （4）根据题意分别求出，进而求出即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入，得   解得 ∴抛物线的解析式为． ， ∴抛物线的顶点为，对称轴为直线． 当时，函数值随的增大而减小． （2）解：点与抛物线顶点重合，，在抛物线上，横坐标分别为，， ． ． 在中，令得：． ． （3）解：当轴时，如图： ∴A，D关于抛物线的对称轴对称， ，抛物线的对称轴为直线， ； ∵D在抛物线上，横坐标分别为， ， ， 在中，令， 得， ， 在中，令， 得， ； 当轴时，如图： 同理可得， ， ， 在中，令， 得， ； 在中，令， 得， ； 综上所述，当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44； （4）解：点，，，在抛物线上，其横坐标分别为，，，， ， ， ， ， ，，， ， ，． ． 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点C，A，二次函数经过点A，C． (1)求二次函数解析式； (2)如图2，点P为抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q，若，求点P的横坐标； (3)如图1，连接，在x轴上找一点M，使得，直接写出点M的坐标； (4)二次函数与组成新函数G：，点，，，当函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点时，请直接写出此时m的取值范围． 【答案】(1) (2)2或或 (3)， (4)， 【分析】（1）求出A、C点坐标，将A、C代入中，即可求函数的解析式； （2）设，则，根据题意可得，求出t的值即可； （3）过点M作交于N，由，，可得，则，设，则，，求出，即可求出，即可得点M的坐标； （4）当时，，解得，，解得，当时，G与矩形四条边有两个交点，当时，G与矩形四条边有两个交点，再结合图象可得或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 将A、C代入中， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵过点P作轴交直线于点Q， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或或， ∴点P的横坐标为2或或； （3）解：过点M作交于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 当在左边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或； （4）解：当时，， 解得， ， 解得， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， ∴或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，三角函数值的求法是解题的关键． 【典型例题十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题】 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】由可得点坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点坐标，再通过求出长度，通过三角形面积底高求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 点为， 点坐标为， ． ， ， ． ． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【例2】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意易得，设，然后根据两点间距离公式可得，，，进而根据勾股定理进行分类讨论求解即可． 【详解】解：令时，则有，解得， 不妨令点在点的左侧， ∴， 设， ∴， ， ， 当为直角三角形，且时，根据勾股定理得：， ∴， 解得，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得：，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得， ∵不符合题意， ∴或， ∴当时，则； 当时，则； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 【例3】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 1．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见详解 (3)存在，或或 【分析】（1）先设抛物线的解析式为，再把点和点分别代入列式计算，即可作答． （2）先求出顶点的坐标为，根据得出，即可得出是直角三角形，即可作答． （3）根据平行线之间距离处处相等，以及一次函数的图象性质，平移性质，列出方程组，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴顶点的坐标为； ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，过程如下： 当点在的上方时， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， ∴， ∵点，点， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵顶点的坐标为 ∴， ∴的解析式为， 依题意得， ∴， 整理得， 解得或， ∵顶点的坐标为； ∴把代入，得， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时， ∵的解析式为，且记与的交点为点， ∴点的坐标为， 则， ∴， 即直线向下平移个单位到，则向下平移个单位得到的直线经过原点O， 即直线的解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， 即与二次函数的交点分别是， 联立 解得， 点的坐标为；点的坐标为； 综上：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及勾股逆定理，二次函数与面积综合，二次函数的图象性质，一次函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得为直角三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)①四边形的面积的最大值为，；②点坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及相似三角形的判定与性质，与面积的综合等知识点，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，利用二次函数的性质求解面积的最大值，而，即可求解四边形的面积的最大值； ②分三种情况讨论，构造一线三等角的相似求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当，得， 解得：，， 点， ∴ 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ∵， ∴当取得最大值时，四边形的面积取得最大值， 此时四边形的面积的最大值为：； 设点， 当时，如图，过点作轴于点，过点作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：或（舍）， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图： 同理可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：或（舍）， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图： 同理可得：， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴整理得：， 解得：， ∴或， 综上：点坐标为或或或． 3．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为．                              (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或2或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可； （3）分，和讨论，三种情况利用等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解∶根据题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， 当时，， ∴顶点， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得（不符题意，舍去），， ∴， ∴； （3）解：设M点的坐标为 如图所示，当时， ∵轴， ∴轴，N点的纵坐标为 ∴Q点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴N点坐标为， ∴，， 又∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴Q点坐标为， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时， 由①知：N的坐标为，则， ∴，， 同理得， ∴， ∴， ∴Q点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，过Q作于P， 由①知：N的坐标为， 同理得， ∴，， ∴， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以为边的是等腰直角三角形时，t的值为或2或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性格知识． 【典型例题十二 二次函数综合应用--特殊四边形】 【例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 化为顶点式求出对称轴抛物线为直线，设，，根据正方形的边长相等列方程求出a的值即可求解． 【详解】解：， 则对称轴抛物线为直线， 根据题意作图如下： 设， 根据中点坐标公式可知，即， ∴， 即， ∵正方形，， ∴， 整理得， ， 解得，（舍去）， ∴， ． 故答案为：． 【例3】（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，抛物线与轴交于点．与直线交于点．点在轴上．点为线段上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见详解 【分析】本题考查求二次函数表达式，平行四边形的判定； （1）将代入求出b即可； （2）作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，．由点在上，可知，，得，，当时，，得，然后证明，即可得解． 【详解】（1）解：∵经过， ∴， 解得， ∴ （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， 作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，． ∵点在上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是 平行四边形． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C，D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点，连接EF． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设点E的横坐标为，然后结合列方程求解． 【详解】（1）解：（1）点在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：四边形CDFE为正方形， ． 又轴， 轴，即轴． 设点E的横坐标为， ． 又轴，轴，， ． ， 解得（舍去）， ， ． 2．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． (1)作出抛物线关于轴对称的图象． (2)新图象的函数表达式为______． (3)设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)四边形为菱形．理由见解析 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据对称之后的图像特征求解析式即可； （3）先证明四边形为平行四边形，再根据证明菱形． 【详解】（1）解：抛物线关于轴对称的图象如图． （2）解：抛物线关于轴对称之后开口方向向下，开口大小不变，顶点坐标为， 故答案为：． （3）解：如图，四边形为菱形．理由如下： 点关于轴对称，点关于轴对称， ， 四边形为平行四边形． 又四边形为菱形． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 3．（2025·甘肃陇南·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．      (1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)如图3，若抛物线的顶点在正方形内部，且与正方形恰有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标； （2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标； （3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，当抛物线顶点在正方形内部时，列出不等式组求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ，解得：， 抛物线表达式为， 当时，， 解得：（舍去），， ； （2）解：设直线的表达式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的表达式为：， 点在抛物线上， 设点， ，，且由平移得到， 点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，   点在直线上， 将代入， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时， 点坐标为； （3）解：四边形是正方形，， ，， ， 点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2， 将代入，得：， ， 顶点坐标为， 如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，   ，解得：． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【答案】B 【分析】本题考查二次函数在实际销售问题中的最值应用，通过设变量建立利润与销售价格的二次函数关系式，利用二次函数开口向下的性质，求顶点对应的销售价格即为利润最大时的价格． 【详解】解：设销售价格定为元/千克，日销售利润为元， ∵每千克利润为元， 售价较35元上涨了元，每涨元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为千克， 则， 展开整理得， ∵二次项系数，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降． 故选：C． 3．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，设为x，则，根据得出二次函数表达式，根据二次函数性质得出结论． 【详解】解：∵正方形的四边相等，四个角都是直角，且， ， ∴． 设为x，则， 根据勾股定理，得 即（）， ∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线的抛物线， 故选：B． 4．（2025·广东·模拟预测）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴符合题意， 故选：A． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线沿y轴向下平移b个单位，则抛物线的解析式为，再根据题意画出图形，令得出AB两点的坐标，作轴于点E，求出E点坐标，由等腰三角形的性质可知，进而可得出b的值． 【详解】解：设抛物线沿y轴向下平移b个单位，抛物线的解析式为，此时点C的坐标为， 如图所示： 令，则， ，， 过点C作轴于点E，则， 是等腰直角三角形， ， 或， 点坐标为． 故答案为：． 7．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球经过的时间为1秒时，滚下的路程为米，则与的x的关系式为___________；当秒时，乒乓球所滚下的路程为___________米． 【答案】 12 【分析】本题考查的是二次函数的应用，确定函数表达式是本题解题的关键．先由待定系数法求出函数关系式，再代入即可求解． 【详解】解：设， 将，代入上式得：， 解得：， 则函数的表达式为：， 当时，， 即乒乓球所经过的路程是12米， 故答案为：；12． 9．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值27， 即经过3秒，四边形的面积最小， 故答案为：3． 10．（25-26九年级下·河南安阳·阶段检测）如图，这是某足球比赛的平面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线的一部分，足球离地面的高度（）与足球被踢出后经过的时间（）之间的关系的部分数据如下表，则被踢出的足球在第________落地． s 0 2 3 4 … m 0 2 … 【答案】 【分析】先根据表格中的数据，运用待定系数法求出足球离地面的高度（）与足球被踢出后经过的时间（）之间的函数关系式，再根据函数图象与性质求解即可． 【详解】解：由题意，可设抛物线解析式为：， 当时，；当时，， ，解得， 抛物线解析式为， 当时，， 解得：或， 则被踢出的足球在第落地． 11．（25-26九年级下·安徽安庆·期中）某地铁段施工距离全长为米．经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：①甲公司施工单价（万元米）与施工长度（米）之间的函数关系为，②乙公司施工单价（万元米）与施工长度（米）之间的函数关系为（注：工程款施工单价施工长度） (1)如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程需工程款 万元； (2)考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程．因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款万元（从工程款中扣除）． 如果设甲公司施工米，试求市政府共支付工程款（万元）与（米）之间的函数关系式； 如果市政府支付的工程款为万元，那么乙公司的施工距离有多长？ 【答案】(1) (2)①；②米或米 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是根据函数解析式，进行解答． （1）把代入，再根据工程款施工单价施工长度，即可； （2）①根据题意，求出甲公司工程款为：；乙公司工程款为：；再根据两公司联合施工时市政府可节省工程款万元，即可得到函数关系式；②解时，关于的方程，求出，即可． 【详解】（1）解：由题意可得，①甲公司施工单价（万元米）与施工长度（米）之间的函数关系为， ∴如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，则甲公司施工单价为：， ∵工程款施工单价施工长度， ∴甲公司完成此项工程款为：（万元）． （2）解：①设甲公司施工米 ∴乙公司施工米， 甲公司工程款为：； 乙公司工程款为：； ∵两公司联合施工时市政府可节省工程款万元 ∴ 当时，， 整理，得：， 解得：，， 当时，乙公司施工距离为：； 当时，乙公司施工距离为：． 答：乙公司的施工距离为米或米． 12．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 13．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结，求的度数； (3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据已知条件求出点的坐标，将，的坐标代入，即可求得、，从而求得抛物线的表达式. （2）应用二次函数的性质，求出点的坐标，从而求得，进而求得的大小. （3）根据（2）的结论得出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴，则 将，代入 得：， 解得， ∴这条抛物线的表达式为； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∵ ∴， ∴，则 ∵    ∵ ∴，即， ∴， ∴. ∴. （3）解：∵, ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴轴或 如图所示，    当轴时，， 当时，，则是等边三角形， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知特殊角的三角函数值求角度，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．（2026·河南平顶山·三模）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． (3) 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 （3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． 15．（2025·江苏无锡·二模）如图①，抛物线与直线交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点Р纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q． （1）求点A的坐标，并用含k的代数式表示点B的坐标； （2）如图②，当四边形CDOP为平行四边形时， ①求k的值； ②设E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，（n为正整数），轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足的点E有两个？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线的对称轴在y轴右侧和顶点的横坐标已知，求得点A，再根据直线与对称轴交于点，得到，联立方程组求解即可； （2）①先求出直线CP的解析式，再根据两直线平行即可得到k；②过点作于点H，得到，根据点E在线段DB上横坐标为a，轴交抛物线于点G，得到，，求出FH、GH，再根据正切的定义计算判定即可； 【详解】（1）∵抛物线的顶点纵坐标为4， ∴，解得：，． ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴，解得：， ∴． ∴抛物线为，顶点． ∵直线与对称轴交于点， ∴ ∵时，解得：，． ∴． 由，整理得：， ∴． ∴， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴直线解析式为． ∵四边形为平行四边形， ∴，即直线平行直线． ∴． ②不存在满足条件的正整数． 如图②，过点作于点H， ∴． ∵， ∴直线． ∵点E在线段DB上横坐标为a，轴交抛物线于点G， ∴，． ∵点F在线段DB上横坐标为， ∴，． ∴． ∵中，， ∴， ∴，整理得：， ∵满足的点有两个， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：． ∴不存在正整数，使满足的点有两个． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合平行四边形的性质、一次函数的性质、正切的定义、一元二次方程的求解计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $