课时三十八 不同函数增长的差异 同步练-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数增长差异，通过基础辨析、情境应用到综合建模的三层设计，强化抽象能力与模型意识，适配初升高衔接对概念理解与应用的过渡需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|指数、对数函数增长特性辨析|如第1题概念判断，第2题数据模型识别，夯实抽象能力| |中档|函数增长比较与实际情境应用|如第6题销售奖金方案选择，第11题投资方案比较，培养模型意识| |拔高|多函数综合分析与动态比较|如第10题多函数图象交点判断，第15题函数增长差异分段比较，发展推理能力|

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 课时三十八　不同函数增长的差异 课后练习 一、选择题 1.当a>1时,给出下列结论:①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是(　　) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 2.下表是某次测量的两个变量x,y的一组数据,若将y表示为关于x的函数,则最可能的函数模型是(　　) x 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 3.某地区植被破坏、土地沙化的情况越来越严重,最近三年测得沙漠增加的面积分别为198.5公顷、399.6公顷和793.7公顷,则沙漠增加的面积y(单位:公顷)关于年数x的函数关系较为接近的是(　　) A.y=200x B.y=100x2+100x C.y=100×2x D.y=0.2x+log2x 4.以下四种说法中,正确的是(　　) A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.对于任意的x>0,xn>logax C.对于任意的x>0,ax>logax D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax 5.函数f(x)=的大致图象为(　　) 6.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制定了销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x(单位:万元)(4≤x≤10)时,奖金y(单位:万元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时奖金不超过销售利润的.则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 5≈0.7) (　　) A.y=0.4x B.y=lg x+1 C.y= D.y=1.125x 7．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　) A　　　　B　　　　　 C　　　 D 8．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x-2的大小关系是(　　) A．h(x)<g(x)<f(x) B．h(x)<f(x)<g(x) C．g(x)<h(x)<f(x) D．f(x)<g(x)<h(x) 9．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A．(，2) B．(1，) C．(，1) D．(0，) 10．(多选)已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝2x＋1，g1(x)＝logax(a>1)，g2(x)＝kx(k>0)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f1(x)和f2(x)的图象可能有两个交点 B．∃x0∈R，当x>x0时，恒有g1(x)>g2(x) C．当a＝2时，∃x0∈(0，＋∞)，f1(x0)<g1(x0) D.当a＝时，方程g1(x)＝g2(x)有解 二、填空题 11.某人投资x元,获利y元,有以下三种方案.甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100,丙:y=1.005x,则投资500元,1 000元,1 500元时,应选择的方案分别是　　　　　　　　　　　　　　　.  12.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)内增长较快的是　　　　　.  13．甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论： ①当x>1时，甲在最前面； ②当x>1时，乙在最前面； ③当0<x<1时，丁在最前面，当x>1时，丁在最后面； ④丙不可能在最前面，也不可能在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲． 其中正确结论的序号为________． 14．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象． 有以下说法： ①第4个月时，剩留量就会低于； ②每月减少的有害物质质量都相等； ③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确说法的序号是________． 三、解答题 15.已知函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数; (2)比较这两个函数的增长差异(以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 课时三十八　不同函数增长的差异 课后练习（答案） 一、选择题 1.当a>1时,给出下列结论:①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是(　　) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案:B 2.下表是某次测量的两个变量x,y的一组数据,若将y表示为关于x的函数,则最可能的函数模型是(　　) x 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 解析:由表中数据知y随x的增大而增大得越来越慢,结合选项可知,最可能的函数模型是对数函数模型,故选D. 答案:D 3.某地区植被破坏、土地沙化的情况越来越严重,最近三年测得沙漠增加的面积分别为198.5公顷、399.6公顷和793.7公顷,则沙漠增加的面积y(单位:公顷)关于年数x的函数关系较为接近的是(　　) A.y=200x B.y=100x2+100x C.y=100×2x D.y=0.2x+log2x 解析:对于选项A,当x=1,2时,符合题意,当x=3时,相差较大,不符合题意;对于选项B,当x=1时,符合题意,当x=2,3时,相差较大,不符合题意;对于选项D,当x=1,2,3时,均相差较大,不符合题意.故选C. 答案:C 4.以下四种说法中,正确的是(　　) A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.对于任意的x>0,xn>logax C.对于任意的x>0,ax>logax D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax 解析:对于选项A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较;对于选项B,C,当0<a<1时,显然不成立;对于选项D,当a>1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不一定成立. 答案:D 5.函数f(x)=的大致图象为(　　) 解析:由f(x)为偶函数,可排除选项A,B.当x>1时,y=lg|x|=lg x>0,且增长速度小于y=x2,所以当x趋向于正无穷时,趋向于零且函数值为正数,故选D. 答案:D 6.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制定了销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x(单位:万元)(4≤x≤10)时,奖金y(单位:万元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时奖金不超过销售利润的.则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 5≈0.7) (　　) A.y=0.4x B.y=lg x+1 C.y= D.y=1.125x 解析:在选项B中,y=lg x+1在区间[4,10]上是单调递增函数,当x=10时,ymax=2. 由图知lg x+1<在x∈[4,10]上恒成立.故B正确. 答案:B 7．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　) A　　　　B　　　　　 C　　　 D 解析：分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D，故选A. 答案：A 8．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x-2的大小关系是(　　) A．h(x)<g(x)<f(x) B．h(x)<f(x)<g(x) C．g(x)<h(x)<f(x) D．f(x)<g(x)<h(x) 解析：在同一坐标下作出函数f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x-2的图象，由图象知，D正确． 答案：D 9．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A．(，2) B．(1，) C．(，1) D．(0，) 解析：当0＜x≤时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于(，2)点时，a＝，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1，故选C. 答案：C 10．(多选)已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝2x＋1，g1(x)＝logax(a>1)，g2(x)＝kx(k>0)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f1(x)和f2(x)的图象可能有两个交点 B．∃x0∈R，当x>x0时，恒有g1(x)>g2(x) C．当a＝2时，∃x0∈(0，＋∞)，f1(x0)<g1(x0) D.当a＝时，方程g1(x)＝g2(x)有解 解析：对于A，指数函数f1(x)＝2x与一次函数f2(x)＝2x＋1都过(0，1)，但f1(x)＝2x在x增大时呈爆炸式增长，故还会出现一个交点，如图所示，所以函数f1(x)和f2(x)的图象有两个公共点，故A正确； 对于B，取x＝0，g2(x)＝kx(k>0)＝0，当x→0时，g1(x)＝logax(a>1)→－∞，此时g1(x)<g2(x)，故B错误；对于C，当a＝2时，指数函数f1(x)＝2x与对数函数g1(x)＝log2x互为反函数，两函数图象关于直线y＝x对称，如图所示， 由图可知，∀x∈R，有f1(x)>g1(x)恒成立，故C错误； 对于D，当a＝时，g1(x)＝logx，g2(x)＝kx(k>0)，由a>1知，>1，且两个函数都过点(，1)，即方程g1(x)＝g2(x)有解，故D正确．故选AD. 答案：AD 二、填空题 11.某人投资x元,获利y元,有以下三种方案.甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100,丙:y=1.005x,则投资500元,1 000元,1 500元时,应选择的方案分别是　　　　　　　　　　　　　　　.  解析:将投资数分别代入甲、乙、丙的函数解析式中比较y值的大小即可求得结果. 答案:乙、甲、丙 12.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)内增长较快的是　　　　　.  解析:因为y=x2=x·x,而x比ln x的增长速度快,所以y=x2比y=xln x的增长速度快. 答案:y=x2 13．甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论： ①当x>1时，甲在最前面； ②当x>1时，乙在最前面； ③当0<x<1时，丁在最前面，当x>1时，丁在最后面； ④丙不可能在最前面，也不可能在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲． 其中正确结论的序号为________． 解析：当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，则①不正确； 当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，则②不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，画出四个函数的图象(图略)，可知当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等，从而当0<x<1时，丁在最前面，当x>1时，丁在最后面，则③正确； 结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，则④正确； 指数型函数的增长速度是先慢后快，若运动的时间足够长，则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲，则⑤正确． 答案：③④⑤ 14．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象． 有以下说法： ①第4个月时，剩留量就会低于； ②每月减少的有害物质质量都相等； ③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确说法的序号是________． 解析：由于函数的图象经过点(2，)，故函数的关系式为y＝()t. 当t＝4时，y＝＜，故①正确； 当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故③正确． 答案：①③ 三、解答题 15.已知函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数; (2)比较这两个函数的增长差异(以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 解:(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,曲线C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x). 本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 学科网（北京）股份有限公司 $