课时作业36 不同函数增长的差异-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦不同函数增长差异，通过基础辨析-情境应用-综合建模三层设计，实现从概念理解到数学建模的能力进阶，培养数据意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|指数/对数/幂函数增长特性|选择题1-5、填空11-13，通过概念辨析（如指数函数底数与增长速度关系）、简单计算（如函数值比较）巩固核心概念| |应用层|函数增长差异的实际情境|选择题6-10、填空14-15，结合冷却问题、酒精衰减等情境，训练用数学思维分析现实问题的能力| |综合层|多函数比较与建模|解答题16-20，通过函数图象比较、学习曲线、企业产量模型等，培养数学建模与数据分析素养，体现用数学语言表达现实世界的学科特色|

课时作业36　不同函数增长的差异 一、选择题 1．(多选)当a>1时，下列结论正确的有(　　) A.指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快 B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快 C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快 D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快 2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　) A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 3．若函数y1＝a·x2，y2＝c·2x，y3＝b·x3，则由表中数据确定f(x)、g(x)、h(x)依次对应(　　) x f(x) g(x) h(x) 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 A.y1、y2、y3 B．y2、y1、y3 C．y3、y2、y1 D．y1、y3、y2 4．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(　　) A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲、乙两食堂的营业额相同 D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 5．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中最有可能正确的是(　　) 6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)(　　) A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40 7．下面对函数f(x)＝与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的是(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 8．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　) A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2 9．以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax 10．(多选题)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下叙述，其中正确的是(　　) A．这个指数函数的底数是2 B．第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2 C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月 D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 二、填空题 11．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 12．若已知16<x<20，利用图象可判断出x和log2x的大小关系为________． 13．电子技术迅速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为4 050元的计算机经过15年后价格应降为 . 14．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过 小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48) 15．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时，y表示病菌个数)，则k＝ ；经过2小时，1个病菌能繁殖为 个． 三、解答题 16．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系． 17．“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间．假设“学习曲线”符合函数t＝5log2(B为常数)，N(单位：字)表示某一英文词汇量水平，t(单位：天)表示达到这一英文词汇量所需要的学习时间． (1)已知某人练习达到40个词汇量时需要10天，求该人的学习曲线解析式． (2)他学习几天能掌握160个词汇量？ (3)如果他学习时间大于30天，他的词汇量情况如何？ 18．已知函数f(x)＝1.1x(x＞0)和g(x)＝ln x＋1的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数，并比较f(x)与g(x)的大小(以x1，x2为分界点)； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 026)，g(2 026)的大小． 19．某企业常年生产一种出口产品，根据近几年的数据显示，该产品的产量平稳增长．记A年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取A年和A+2年的数据求出相应的解析式； (2)因受到影响，2026年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，求出2026年的年产量． 20．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝x－t.测得数据如表(部分)： x(单位：克) 0 1 2 9 … y 0 3 … (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数f(x)的最大值． 课时作业36　不同函数增长的差异 （答案） 一、选择题 1．(多选)当a>1时，下列结论正确的有(　　) A.指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快 B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快 C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快 D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快 解析：结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．故选AD. 答案：AD 2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　) A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 解析：用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项． 答案：C 3．若函数y1＝a·x2，y2＝c·2x，y3＝b·x3，则由表中数据确定f(x)、g(x)、h(x)依次对应(　　) x f(x) g(x) h(x) 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 A.y1、y2、y3 B．y2、y1、y3 C．y3、y2、y1 D．y1、y3、y2 解析：因为＝25＝()2，＝4＝()2， 所以f(x)＝y1； 因为＝125＝()3，＝8＝()3， 所以g(x)＝y3； 因为＝16＝，＝32＝，所以h(x)＝y2， 答案：D 4．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(　　) A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲、乙两食堂的营业额相同 D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可知，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝. 因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0， 所以y1>y2.故本年5月份甲食堂的营业额较高． 答案：A 5．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中最有可能正确的是(　　) 解析：即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A，D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A，D.故选C. 答案：C 6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)(　　) A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40 解析：由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln2≈－0.693，解得t≈2.77. 答案：B. 7．下面对函数f(x)＝与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的是(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 解析：结合指数函数y＝,和对数函数y＝的图象易得C正确，A，B，D错误． 答案：C. 8．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　) A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2 解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C. 9．以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax 解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1”，则结论不成立． 答案：D. 10．(多选题)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下叙述，其中正确的是(　　) A．这个指数函数的底数是2 B．第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2 C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月 D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 二、填空题 11．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：当x变大时，x比ln x增长要快， ∴x2要比x ln x增长的要快． 答案：y＝x2 12．若已知16<x<20，利用图象可判断出x和log2x的大小关系为________． 解析：作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示： 由图象可知，在(0，4)内，x>log2x； x＝4或x＝16时，x＝log2x； 在(4，16)内，x<log2x；在(16，20)内，x>log2x. 答案：x>log2x 13．电子技术迅速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为4 050元的计算机经过15年后价格应降为 . 解析：4 050×3＝4 050×＝1 200(元)． 答案：1 200(元)． 14．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过 小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48) 解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlg＝n(lg3－2lg2)≤lg0.3＝lg3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故至少经过5小时才能开车． 答案：5. 15．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时，y表示病菌个数)，则k＝ ；经过2小时，1个病菌能繁殖为 个． 答案：2ln2；16 三、解答题 16．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系． 解：画出函数f(x)与g(x)的图象，如图： 根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)； 当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)． 17．“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间．假设“学习曲线”符合函数t＝5log2(B为常数)，N(单位：字)表示某一英文词汇量水平，t(单位：天)表示达到这一英文词汇量所需要的学习时间． (1)已知某人练习达到40个词汇量时需要10天，求该人的学习曲线解析式． (2)他学习几天能掌握160个词汇量？ (3)如果他学习时间大于30天，他的词汇量情况如何？ 解：(1)把t＝10，N＝40代入t＝5log2，得10＝5log2，解得B＝10，所以t＝5log2(N>0)． (2)当N＝160时，t＝5log2＝5log216＝20(天)． (3)当t>30时，5log2>30，解得N>640， 所以学习时间大于30天，他的词汇量大于640个． 18．已知函数f(x)＝1.1x(x＞0)和g(x)＝ln x＋1的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数，并比较f(x)与g(x)的大小(以x1，x2为分界点)； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 026)，g(2 026)的大小． 解：(1)C1对应的函数为f(x)＝1.1x， C2对应的函数为g(x)＝ln x＋1. 当0＜x＜x1时，f(x)＞g(x)； 当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)； 当x＝x1或x2时，f(x)＝g(x). (2)f(2 026)＞g(2 026)＞g(6)＞f(6). 19．某企业常年生产一种出口产品，根据近几年的数据显示，该产品的产量平稳增长．记A年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取A年和A+2年的数据求出相应的解析式； (2)因受到影响，2026年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，求出2026年的年产量． 解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b， 理由：若模型为f(x)＝2x＋a， 则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2， 此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．若模型为f(x)＝logx＋a，f(x)是减函数，不符合． 由已知得解得 所以f(x)＝x＋，x∈N*. (2)2026年预计年产量为f(9)＝×9＋＝16，2026年实际年产量为16×(1－30%)＝11.2. 所以2026年的年产量为11.2万件． 20．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝x－t.测得数据如表(部分)： x(单位：克) 0 1 2 9 … y 0 3 … (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数f(x)的最大值． 解：(1)当0≤x<6时，由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由表格数据可得 解得所以，当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x，当x≥6时，f(x)＝x－t.由表格数据可得f(9)＝9－t＝，解得t＝7. 所以当x≥6时，f(x)＝x－7， 综上，f(x)＝ (2)当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4， 所以当x＝4时，函数f(x)的最大值为4； 当x≥6时，f(x)＝x－7单调递减，所以f(x)的最大值为f(6)＝6－7＝3， 因为4>3，所以函数f(x)的最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $