精品解析：吉林长春市第八中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

长春八中2025-2026学年度下学期期末考试 高二年级（数学）试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有（ ） A. 15 种 B. 18 种 C. 21 种 D. 25 种 5. 若，其中，，，，，，均为实数，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 6. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则满足的x取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A. B. 的零点个数为2 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 二、多选题：本体共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据，，3，7，8，9，11，15的第25百分位数是1； B. 已知随机变量，若，，则； C. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； D. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X与Y独立 10. 某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习．设事件“甲选了两类课程”，“甲选了自然科学类课程”，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 11. 若定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ） A. 图象关于轴对称 B. 为奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 若函数为R上的奇函数，当时，，则的值为________. 13. 已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 14. 已知函数，若关于的方程（）恰有四个不同的解，记为（），设，则______；若关于的方程至少有7个不同的解，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论会有怎样的变化？不必说明理由. 附：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 18. 2015年到2025年我国把全民健身上升为国家战略，提出力争在2025年实现全民健身与竞技体育的协调发展．某高校积极响应此号召，首先以身示范，开展了以“塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后．学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格： 月份变量 1 2 3 4 5 体重超重的人数 640 540 420 300 200 （1）若该大学体重超重人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，求出与的回归直线方程，并利用回归直线方程预测从第几个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下； （2）已知该校在此次主题活动中，每位学生选择游泳项目的概率都为，且互不影响．现从该校学生中随机抽取5人，记这5人中选择游泳项目的人数为，若，求的数学期望和方差． 附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；②参考数据： 19. 已知函数. （1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值 （2）讨论的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2025-2026学年度下学期期末考试 高二年级（数学）试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数性质求出集合，再求出. 【详解】由集合，，则. 2. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则，即正态曲线关于直线对称， 所以， 又， 所以. 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据互相推出的情况可知结果. 【详解】， 所以“”可以推出“”，但“”不可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有（ ） A. 15 种 B. 18 种 C. 21 种 D. 25 种 【答案】B 【解析】 【分析】采用直接法或间接法，结合组合知识求解即可. 【详解】方法一：总选法，全护士，故至少有1名医生的选法. 方法二：至少有1名医生的选法. 5. 若，其中，，，，，，均为实数，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【详解】当时，可得，解得， 当时，可得， 所以. 6. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】B根据上函数符号判断；C由判断；D根据上函数单调性判断，结合排除法即可得答案. 【详解】对于，当时，，排除B； 由，排除C； 对于，当上单调递减，排除D. 故选：A 7. 设函数，则满足的x取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段分析函数的单调性，再综合分析函数的单调性，利用函数的单调性列式求的取值范围. 【详解】因为在上单调递减， 在上也是单调递减，且， 所以函数在上单调递减. 所以，解得. 即满足的x取值范围是. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A. B. 的零点个数为2 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出零点判断B；求出极值点个数判断C；作图并求出范围判断D. 【详解】选项A：因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，所以，选项A错误； 选项B：显然，所以函数的零点有，可知的零点个数为3，选项B错误； 选项C：因为当时，，所以， 令得，（舍去），当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 函数在处取到极小值，又因为函数是定义在上的奇函数，图象关于原点对称， 当时，函数在处取到极大值，即的极值点个数为2，分别是、1，选项C错误； 选项D：由前面可知，当时，单调递减，当时，单调递增，又因为时，，时，，结合奇函数的对称性画图如下， 观察图象若方程有三个实数根，则的取值范围是，选项D正确. 二、多选题：本体共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据，，3，7，8，9，11，15的第25百分位数是1； B. 已知随机变量，若，，则； C. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； D. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X与Y独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据计算百分位数的方法步骤依次求解即可判断A，利用二项分布期望和方差公式解方程即可求出，从而判断B，根据负线性相关与相关系数的关系即可判断C，根据独立检验与独立的关系即可判断D. 【详解】对于A，8个数从小到大排列，因为，且，可得第25百分位数是1，故A正确； 对于B，因为，， 则，解得：，故B正确； 对于C，因为样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数关系，故相关系数为-1，故C不正确； 对于D，由，说明在的显著水平下，不能拒绝原假设，即认为独立，故D正确； 故选：ABD. 10. 某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习．设事件“甲选了两类课程”，“甲选了自然科学类课程”，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】利用古典概率公式、条件概率公式及概率的基本性质求解判断ABC；利用相互独立事件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，则与不相互独立，D错误. 11. 若定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ） A. 图象关于轴对称 B. 为奇函数 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可. 【详解】因为定义在上的函数的图象关于点成中心对称， 所以， 又是偶函数，所以，且函数的图象关于轴对称， 即， 即， 对于A项，由上不能得出图象关于轴对称， 只能得出关于中心对称，故A错误； 对于B项，易知，所以为奇函数，故B正确； 对于C项，由上只能得出的一个周期为，故C错误； 对于D项，由上易知，， 所以，故D正确； 故选：BD 【点睛】方法点睛：利用抽象函数的性质结合赋值法或者取特殊函数模型都是处理此类问题的方法. 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 若函数为R上的奇函数，当时，，则的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求解即可. 【详解】因为是R上的奇函数， 所以 13. 已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数定点得到，将待求式变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】函数的定点为， 故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程（）恰有四个不同的解，记为（），设，则______；若关于的方程至少有7个不同的解，则的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出分段函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出，再结合函数图象分类讨论求解的范围即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示， 当时，由可得， 即，故. 由图知，和关于轴对称得， 所以. 令，则， 若关于的方程至少有7个不同的解， 当时，有1个解，，而，有1个解，故原方程有1个解； 当时，有3个解，假设，则， 故有1个解，有3个解，有3个解， 所以原方程共有7个解； 当时，有4个解，假设， 则， 故有1个解，有1个解，有4个解，有2个解，原方程共有8个解； 当时，有3个解，假设， 则，，，故有1个解，有4个解，有2个解，原方程共有7个解； 当时，有2个解，假设，则， 故有4个解，有2个解，共有6个解， 综上所述，关于的方程至少有7个不同的解时， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）切线方程为； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程； （2）通过分析导函数符号确定单调区间； （3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论会有怎样的变化？不必说明理由. 附：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）的分布列为： 1 2 3 4 （2）不能；每个数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，能推断岁人群的体质健康与性别有关.. 【解析】 【分析】（1）先根据分层抽样的概念判断9人中男性人数，再结合超几何分布求分布列和期望. （2）根据独立性检验方法，结合计算结果进行判断即可. 【小问1详解】 从不感冒的18人中，抽取9人，按分层抽样的方法，这9人中男性人数为人，女性人数为人. 从这9人中选取4人，男性人数的可能取值为. 且，，，. 所以的分布列为： 1 2 3 4 . 【小问2详解】 提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 17. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. 【小问2详解】 随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 18. 2015年到2025年我国把全民健身上升为国家战略，提出力争在2025年实现全民健身与竞技体育的协调发展．某高校积极响应此号召，首先以身示范，开展了以“塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后．学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格： 月份变量 1 2 3 4 5 体重超重的人数 640 540 420 300 200 （1）若该大学体重超重人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，求出与的回归直线方程，并利用回归直线方程预测从第几个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下； （2）已知该校在此次主题活动中，每位学生选择游泳项目的概率都为，且互不影响．现从该校学生中随机抽取5人，记这5人中选择游泳项目的人数为，若，求的数学期望和方差． 附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；②参考数据： 【答案】（1），第月份开始 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题中所给公式和数据进行求解即可； （2）根据二项分布的定义、概率公式，结合二项分布的数学期望、方差公式进行求解即可。 【小问1详解】 因为，， 所以， 因此与的回归直线方程为， 由，因为，所以取7， 所以利用回归直线方程预测从第个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下. 【小问2详解】 由题意可知，， 因为，所以或（舍去）， 所以，. 19. 已知函数. （1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值 （2）讨论的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）求导，利用求解即可； （2）对导函数分解因式，分四种情况讨论单调区间； （3）问题等价于上有，利用（2）中单调性结论求出的最大值，再求解的取值范围. 【详解】解：. （1）， 解得. （2）. ①当时，，， 在区间上，；在区间上， 故的单调递增区间是，单调递减区间是. ②当时，， 在区间和上，；在区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ③当时，，故的单调递增区间是. ④当时，， 在区间和上，；在区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由已知，在上有. 由已知，，由（2）可知， ①当时，在上单调递增， 故， 所以，解得，故. ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故. 由可知，，， 所以，，， 综上所述，. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $