4.4.3 不同函数增长的差异-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

86无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 4.4.3 不同函数增长的差异 基础过关 1.下列函数中随×的增大而增大且速度最 快的是 ( A.y=e* B.y=In x C.y=2x D.y=e-x 2.下列函数中，增长速度越来越慢的是( A.y=2 B.y=logsx C.y=x6 D.y=4x 3.下表是函数值y随自变量x变化的一组数 据，由此判断它最可能的函数模型是( 5 6 7 8 9 /10 y 151719 2123 2527 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 4.以下四种说法中，正确的是 ( ) A.幂函数增长的速度比一次函数增长的 速度快 B.对任意的x>0,x“>logax C.对任意的x>0,a'>-logax D.当a>1,n>0时，一定存在x0,当x> xo时，总有a>x>-logax 5.三个变量y1,y2,y随着变量x的变化情 况如下表： 1 3 5 7 9 11 5 25 45 65 85 105 29 245 218919685 177149 y3 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 则关于x分别呈对数型函数、指数型函 数、直线型函数变化的变量依次为() A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2 6.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水 (流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至 注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水 时间t之间的函数关系大致是 () D 7.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位 时间内进水量相同)时，水的高度随着时间 的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配 的图象，A对应 ;B对应 C对应 ;D对应 A B C D 水 水 水 水 高 度 度 度 度 时间 0 时间 0 时向 0 时间 (1) (2) (3) (4) ■ 能力提升) 1.(多选)当a>1时，下列结论正确的有( ) A.指数函数y=a2,当a越大时，其函数 值增长越快 B.指数函数y=a,当a越小时，其函数值 增长越快 C.对数函数y=logax,当a越大时，其函 数值增长越快 D.对数函数y=logax,当a越小时，其函 数值增长越快 2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均 增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经 过y年，则函数y=f(x)的图象大致是 3.渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜， 鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分 拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快 地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多 少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发 性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分 解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜 度下降，鱼体开始变质进而腐败).已知某 种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间 t(分)满足的函数关系式为h(t)=m·a. 若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度 为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新 鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的 第四章指数函数与对数函数 87 这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度 (已知lg2≈0.3，结果取整数) ( A.33分钟 B.40分钟 C.43分钟 D.50分钟 4.下列选项是四种生意预期的收益y关于 时间x的函数，从足够长远的角度看，更 为有前途的生意是 .(填序号) ①y=10×1.05x;②y=20+x1.5;③y= 30+1g(x-1);④y=50. 5.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t 秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线 y=ae,假设5秒后甲桶和乙桶的水量相 等，则n= ;若再过m秒甲桶中 的水量只有冬升，则m= 6.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化 过程中某种有害物质的剩留量y与净化 时间t(月)的近似函数关系：y=a(t≥0， a>0且a≠1)的图象.有以下说法：①第4 个月时，剩留量就会低于：②每月减少 的有害物质质量都相等；③当剩留量为 子言时，所经过的时间分别是， t3,则4十t2=t3.其中所有正确说法的序 号是 01234t1月 88无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 7.某债券市场发行三种债券，A种面值为 100元，一年到期本息和为103元；B种面 值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买人价为97元，一年 到期本息和为100元.作为购买者，分析 这三种债券的收益，如果只能购买一种债 券，你认为应购买哪种？ 8.某企业常年生产一种出口产品，根据预测 可知，进入21世纪以来，该产品的产量平 稳增长.记2017年为第1年，且前4年中， 第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系 如下表所示： x 3 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之 一：f(x)=ax+b,f(x)=2+a,f(x)= logx十a. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说 明理由，然后选取2017年和2019年 的数据求出相应的解析式； (2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影 响，2023年的年产量比预计减少 30%,试根据所建立的函数模型，确定 2023年的年产量.x=号时，y=2=子，所以只要x=号时，y=1og。分≥ 子=16gm,所以号≤m,即品≤m又0<m<1,所以 。<m<1.即实数m的取值范围是[品，1)】 14.f(c)>f(a)>f(b)【解析：先作出函数y=lgx的图 象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x 轴上方，于是得f(x)=|1gx|图象（如图），由图象可知， 2 f(x)=l1g xl 0 f(x)在(0,1)上单调递减，在1，十∞)上单调递增.由> 。>6>1得f(2)>fa)>f,而f(2)-lg是 |-lgc=|lgcl=f(c).所以f(c)>f(a)>f(b).】 15.(-o,1og多）【解析：由于y=1ogx(0<a<1)在 (0,十∞)上为减函数，则2a-2>1,即a>号.由于0< a<1,可得x<log号.】 16.(0,1][解析：函数f(x)的图象如图所示，要使y=a 与f(x)图象有两个不同交点，则0<a≤1.] 17.(一4,4][解析：二次函数y=x2一ax+3a的对称轴为 x=号，由已知，应有号<2，且满足当x≥2时2-ax十 3a>0,即 解得-4<a≤4.】 4-2a+3a>0, 18.(0,号)U(2,+∞)【解析：因为f(x)是R上的偶函 数，所以它的图象关于y轴对称.因为f(x)在[0，十∞)上单 调递增，所以f(x)在(-○，0]上单调递减，由f(号）=0，得 f(-子)=0，函数的大致图象如图所示.所以 参考答案191 flog时)>0log时x<-合或1o+x>号，解得x>2 或0<x<2,所以xe(0,2)U(2,+o).】 19.解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以函数 )的定义域关于原点对称，因为气>0，所以(x一D 1-ax>0,令(x-1D1-ax)=0,得=1，=日所以 1=一1，a=-1,经验证，a=一1满足题意。 (2)f)+log4(x-1)=1o4告+1g4(x-1) 1og号(1十x),当x>1时，log影(1+x)<-1,因为当x∈ (1,十∞)时，f(x)+log头(x-1)<m恒成立，所以m≥ -1. 20.解：(1)由题意可得(1og22+log2x)(1og2x-log8)≤0， 1+logx)Mgx-3)<0,-1<1ogx≤3，解得2≤x<8,所 以不等式的解集为{≤x≤8。 (2)f()=log:(2)log=(log:2+log:(loga- log2 8)=(a+logz x)(logzx-3)=(logz x)2+(a-3). 1ogx-3,令u=lg:,因为xe[片，8]，所以u∈[-2， 3],求f在x∈[合，8]上的最小值即求函数gω=r十 (a-3)u-3a在u∈[-2,3]上的最小值，g(u)=w2+(a- 3u-3a=(u-32）-a+2,ue[-2,3.当3>3 时，即a≤一3时，易知函数g(u)在[-2,3]为减函数，所以 gum=g38)=0,当-2<322<3时，即-3<a<7时， 易知函数g0)在[-2,32]为减函数，在[，3]为增 函数，所以gum=(2学）=-a,当学< 一2，即a≥7时，易知函数g(u)在[-2,3]为增函数， g(u)m=g(-2)=10-5a,综上所述，a≤-3时，f(x)最小值为 0:当-3<a<7时，/最小值为-a+3》,当a≥7时， 4 最小值为10一5a. 4.4.3不同函数增长的差异 【基础过关】 1.A[解析：D选项为减函数，C选项中一次函数的增长速 度不变，B选项增大的速度在减小，A选项增大的速度大于 192无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 C.故选A.] 2.B[解析：D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数 的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来 越慢，符合题意.故选B.】 3.A[解析：随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的 增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.故选A.】 4.D【解析：对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指 数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长 速度不能比较；对于B,C,当0<a<1时，显然不成立.当a> 1,n>0时，一定存在xo,使得当x>xo时，总有a>x"> logax.故选D.] 5.C【解析：通过对数型函数、指数型函数、直线型函数的 增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量 y随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增 长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定 不变，y随x的变化符合此规律.故选C.] 6.B[解析：开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了 之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合，故 选B.] 7.(4)(1)(3)(2)[解析：A容器下粗上细，水高度 的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化 为快一慢一快，应与(1)对应；C,D容器都是柱形的，水高度 的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高 度的变化为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应.] 〖能力提升】 1.AD[解析：结合指数函数及对数函数的图象可知AD正 确.故选AD.】 2.D[解析：设该林区的森林原有蓄积量为α，由题意， ax=a(1+0.104)',故y=log1.1o4x(x≥1)，所以y=f(x)的 图象大致为D中图象.故选D.】 fh(10)=ma2°=0.1， 3.C[解析：由题意得 解得a=2而，m= h(20)=ma20=0.2, 0.05,故h(t)=0.05×(2元)'，令h(t)=0.05×(2元)=1，得 （2)'=20,故1=1g20=1+g2≈101+0.3》≈43（分钟）. 0.3 故选C.] 4.①[解析：结合一次函数、幂函数、指数函数和对数函数 的增长模型，从足够长远的角度看，①更为有前途.] 5.一号n25【解析：因为5秒后两桶的水量相等，则 ae=受→>e=→n=吉n=一n2,若长秒后甲 桶水量为冬，则ae*=号，e=子→n=n子→ 号1n2·k=-21n2,所以k=10,所以m=10-5=5.】 6.①⑧【解析：由于函数的图象经过点(2，号)，故函数的 关系式为y=(号广当：=4时y=<号，故①正确，当 =1时y=子，减少子，当=2时y=÷,减少号，故每月 减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y=名，片， 日解得4=log号76=1og号子4=1og号言4十4=， 1 故③正确.】 7.解：A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种 债券的半年利率为1.450，所以100元一年到期的本息 50 和为100(1+514.50)'≈105.68（元），收益为5.68元：C 50 种债券的利率为100,7,10元一年到期的本息和为10× （1+100,92)≈103.09（元），收益为3.09元.通过以上分 97 析，应购买B种债券 8.解：(1)符合条件的是f(x)=ax十b,理由：若模型为 f(x)=2+a,则由f(1)=2+a=4,得a=2,即f(x)= 2+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太 大，不符合.若模型为f(x)=log之x十a,则f(x)是减函数， a+b=4, a1 2 与已知不符合.由已知得 解得 所以 3a+b=7, b= 5 2 f)=是xt号eN 5 (2②2023年预计年产量为/八7)=号×7+号=13,2023年 实际年产量为13×(1一30%)=9.1.答：最适合的模型解析 式为)=号+号x∈N2023年的年产量为9.1万件. 习题课(2) 【基础过关】 1.B[解析：由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a)2= a5,a文·az=a°=1，所以A,C不正确；由对数的运算性 质，可得1og6-1g3=1og:号-1og:2=1,所以B是正确 的；对于D,根据对数的化简，可得1og3(一4)2=21og34,而