4.4.3不同函数增长的差异 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数增长差异，通过基础辨析、图象应用到综合建模的分层设计，强化指数、对数、幂函数增长规律的理解与应用，培养数学眼光与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|函数增长速度比较、单一函数模型识别|单选1-4直接考查指对幂函数增长特性，填空12-13结合图象辨析大小关系| |中档|函数模型选择、增长差异综合判断|单选5-9通过实验数据选择模型，多选10-11分析增长速度变化趋势| |提升|多函数增长比较、实际问题建模|解答题18-21需综合图象与数据，比较函数增长差异并解决应用问题|

4.4.3 不同函数增长的差异 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，在上增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 2．下列函数增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 3.“红豆生南国,春来发几枝”,红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图如图所示,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是(　　) A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2 4.若函数y1(x)=a·log2x,y2(x)=b·2x,y3(x)=c·2x,则由图象可得f(x),g(x),h(x)依次对应的函数为(　　) A.y1(x),y2(x),y3(x) B.y2(x),y1(x),y3(x) C.y3(x),y2(x),y1(x) D.y1(x),y3(x),y2(x) 4．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 5．有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 6．以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知，则对任意的， C．对任意的， D．不一定存在，当时，总有 7．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 8．有一组实验数据如下表所示： t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 9．根据下列表格中的数据选择合适的模型，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 11．设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 三、填空题 12．不等式的解集是______. 13．若已知，利用图象可判断出和的大小关系为________． 14．若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是________． 15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______． 16．（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是______.（参考数据：，） 17．四个因变量随自变量变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 9.907 则关于呈指数型函数变化的变量是___________． 四、解答题 18．试比较函数，，的增长情况． 19．已知函数是的反函数且，且函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求实数的取值范围． 20．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数；    21．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.4.3 不同函数增长的差异 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A C D C D D ABC 题号 11 答案 ACD 1．B 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 2．A 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】根据基本初等函数的性质，以及初等函数的增长速度，即可求解. 【详解】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数， 根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快． 故选：A. 3．A（略） 4．A 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】根据指对幂函数的图象分析三个函数的增长情况，即可得答案. 【详解】在同一坐标系中画出的图象，如图所示， 结合图象，当时，函数均为增函数，A正确； 当时，的增长速度不是一直快于，B错误； 当时，的增长速度不是一直快于，C错误； 当时，的增长速度不是一直快于，D错误． 故选：A 5．C 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异、根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】根据给定的数据变化情况，逐项判断得解. 【详解】观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳. 故选：C 6．D 【知识点】对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、指数、对数、幂函数模型的增长差异、指数函数图像应用 【分析】根据题意，结合结合指数函数，对数函数以及幂函数的图象，一一判断即可. 【详解】对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错； 对于选项B，取，此时，故B错误； 对于选项C，当时，结合图象易知知不恒成立，故C错； 对于选项D，当时，结合图象易知，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，则结论不成立，故D正确. 故选：D. 7．C 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异、根据函数图象选择解析式 【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 8．D 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示， 数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D最能反映之间的函数关系. 故选：D. 9．D 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】作出散点图，可得出结论. 【详解】作出散点图如下图所示： 由图可知，函数在上单调递减，且递减速度越来越慢，D选项中的函数模型较为合适. 故选：D. 10．ABC 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质即得. 【详解】作出三个函数在区间上的图象， 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误， 故选：ABC. 11．ACD 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 12． 【知识点】对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用 【分析】分析出函数的单调性，求出函数的交点，结合函数图象即可得到解集. 【详解】由题意知，原不等式的定义域为. 函数、函数、函数在上均单调递增， 函数、函数在上相交于点，. 函数简图如下： 结合函数图象可知，不等式成立的解集为. 故答案为：. 13． 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的应用 【分析】在同一直角坐标系中，作出两函数的图象，观察图象即可. 【详解】作出和的图象，如图所示： 由图象可知，在内，； 或时，； 在内，；在内，. 故答案为：. 14．(1，2) 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】分类讨论得到当时符合题意，再令在[0，1]上恒成立解出a的取值范围即可. 【详解】令，当时，为减函数，为减函数，不合题意； 当时，为增函数，为减函数，符合题意，需要在[0，1]上恒 成立，当时，成立，当时，恒成立，即，综上. 故答案为：(1，2). 15． 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递减且为正实数，根据单调性及最值列出不等式，由此解得的范围． 【详解】在上单调递增， 在上单调递减，并且在上恒成立， ， 解得， 即实数的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，一次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题． 16． 【知识点】函数图象的应用 【分析】结合参考数据，观察图象找到交点坐标，结合图象即可得到结果． 【详解】因为当时，， 当时，， 所以与的交点坐标情况如图， 结合图象可知的x的取值范围是， 故答案为：. 17． 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】由指数函数的性质即可得出答案. 【详解】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出，四个变量均是从2开始变化，且都是越来越大， 但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快， 可知变量关于呈指数型函数变化. 故答案为：. 18．答案见解析. 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数的图象特征，确定三个函数的增长快慢得解. 【详解】由指对数函数图象知，函数相对于函数的增长是先快后慢； 根据幂函数、对数函数的图象特征知，函数与在上都单调递增，但它们的增长速度不同， 函数相对于函数的增长是先快后慢，随x越大增长越慢， 当时，函数与函数都递增，它们有一个交点， 因此函数相对于函数的增长是先慢后快，随x越大增长越快， 于是函数相对于函数的增长是先慢后快； 根据幂函数、指数函数的图象特征知，函数，在上都单调递增，但它们的增长速度不同， 令，取对数得，即， 而函数对于函数的增长是先快后慢，即函数是先递增后递减， 又当时，，当时，，且，当趋近于正无穷大时，趋近于0， 因此有两个不等的正实根，即函数，的图象在上有两个交点， 于是函数相对于函数的增长是先快后慢. 19．(1) (2) 【知识点】求反函数、反函数的性质应用、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由反函数定义可知，结合反函数性质，将代入解析式即可得到结果； （2）根据对数函数定义域的基本要求和单调性可构造不等式求得结果. 【详解】（1）是的反函数，且， 又的图象过点，的图象过点， ，解得：，. （2）由得：， ，解得：或， 即实数的取值范围为. 20． 【知识点】幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用 【分析】由指数函数与幂函数的增长速度，或者图象所过象限分析即可. 【详解】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：对应的函数为，对应的函数为. 21．(1)对应的函数为，对应的函数为 (2) 【知识点】函数图象的应用 【分析】（1）指数函数的图象不过第三象限，由此可以判断曲线，分别对应的函数； （2）先判断的大致范围，然后根据图象判断大小即可. 【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为． （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图象上可以看出，当时，， 所以． 当时，， 即． 又因为， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $