甘肃兰州市某校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

西北师大附中 2025一2026学年第二学期期末考试试题 高二数学 命题人：张勇 审题人：张志兵 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 1.设集合M={1,2,N={x∈N1∈N,则MnN=( A.{1 B.{1,2 C.{2,3} D.{1,2,3} 2.下列说法正确的是() A.“对任意一个无理数x,x2也是无理数”是真命题 B.“xy>0”是“x+y>0”的充要条件 C.命题“x∈R,使得x2+1>0”的否定是“x∈R,x2+1<0” D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”,则实数m的取 值范围是[1,3] 3.掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件A:蓝色骰子的点数是5或6；事件B:两骰子的 点数之和大于8，则P(BIA)=( A月 B.1a C.5 ·12 D 4.在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研 ↑脂肪含量/% 35 30 究中，研究人员获得了一组样本数据，并制 20 成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的 10 散点图.下列结论正确的是( 15202530354045505560年龄/岁 A.人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B.人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 5.己知三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，BA1CA,AB=AC=AA1=2, M是B1C1的中点，则AM=() A.7 B.2V2 C.V10 D.23 6.某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该同学记录了5 天的数据： 5 6 6 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程)=2.6x+ā，则下列结论错误的是( A.样本中心点为(8,25) B.a=4.2 C.x=5时，残差为0.2 D.相关系数r>0 第1页，共4页 7.己知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(x)是可导函数，g(x)=xf(x).若a=g(em,b= g(-),c=9(π响，则下列选项正确的是( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化 学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链 因俄国数学家安德烈.马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第+1次状态 的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1,n-2,n-3,…次状态无关.现有A, B两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从A,B两个盒子中各任取一个球交换放入 另一个盒子，重复进行n(m∈N*)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn,恰有1 个红球的概率为pm则p11的值为( A B.0 C.048 D.0 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全都选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知3<a<10,5<b<30,则下列结论正确的有( ) A<<10 B.11<2a+b<50 C.2<b-a<20 D.共<2+2<102 30 b 5 10.设样本空间2={1,2,3,4，且每个样本点是等可能的，已知事件A={1,2,B={1,3} C={1,4,则( A.A与B互斥 B.B与C相互独立 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(AIC)=P(CIA) 11.设函数f(x)=x3-3x2-ax+4,则下列结论正确的是( A.f(x)至少有一个零点 B.若f(x)的图象过点(a,f(a)的切线恰好有2条，则a≠1 C.若a>-3,则f(x)有两个零点 D.若xo是f(x)的极值点，且存在x1(x1≠xo)使得f(x1)=f(xo),则x1+2x0=3 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.设随机变量XN(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1),则c的值为 13.已知平面a的一个法向量为元=(1,0,1)，且点A(1,2,3)在平面内，则点B(1,1,1)到a 的距离为 14.若曲线C1:y=x3与曲线C2:y=ae(a>0)存在2条公共切线，则a的值是 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(本小题13分)为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名进行安全 知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有85%的同学成绩超过90分，具体 情况如表格： 单位：人 第2页，共4页 了解安全知识的程度 性别 得分不超过90分 得分超过90分 男生 10 女生 t (1)求几，4，t: (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程 度与性别有关？ 附：X2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' n=a+b+c+d. P(x2≥x0)） 0.100 0.050 0.010 0.001 Xo 2.706 3.841 6.635 10.828 16.(本小题15分)某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率y%与土壤的湿度 x%的相关数据如表， 40 45 50 55 60 2 50 56 64 72 83 (1)求y关于x的样本相关系数r(精确到0.001)，并判断它们是否具有较强的线性相关关 系 (2)求y关于x的经验回归方程，并预测当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的值。 参考公式及数据：对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),·,(x,yn),经验回归方程)=bx+a 的斜率和距的最三来伤计公式分别为b等=夕一促，样本相关系数 是1xyi-n 品1好-g吸- 1xy,=16660,1x-5x2=250,21y-552- 680,V170000≈412. 17.(本小题15分)如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD=2W2,E为DC中点， 将它沿AE折成直二面角D一AE一B. (1)求证：ADI平面BDE: (2)求二面角B-AD-E的余弦值. D D 第3页，共4页 18.(本小题17分)某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性 随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才 可提交通过己知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成：考生乙 每题正确完成的概率都是子，且每题正确完成与否互不影响， (1)求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值： (2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的 概率方面比较两位考生的实验操作能力. 19.(本小题17分)牛顿迭代法（又称牛顿切线法）是求方程近似根的重要方法.对于方 程f=0,若f可导，从一个初始近似值出发，构造迭代公式=)】 f(xn) 0,1,2,…在适当条件下，随着的增大，x,会越来越接近于方程的根.已知函数 f(x)=nx-sinx,区间I= [e,与满足上述达代公武且初值-e,。eueN. 4 参考数据：0.3679.专=0I353,sine04108,0se≈-0911704053） (1)证明：方程f(x)=0在区间I内有唯一实根x; (2)证明：x<1<x: (3)对neN,记a,=k,-x.证明：数列{a}单调递减. 第4页，共4页2025一2026学年第二学期期末考试答案 高二数学 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 1.B【解析】因为N=x∈N1eN}=1,23,6},M={1,2,所以MnN=1,2.故 选B. 2.D【解析】略 3B【解折】法：P()-品-方P(4B)=名P(8M-裙=要=子 P(A) 121 法二：事件4中的样本点个数为12，事件AB中的样本点个数为7，故P(BA)=立故选 B 4B【解析】略 5.C【解析】由题意得AM=AA+A1=AA+(A1B+A1C)=AA+(AB+AC) 所以AM=AA+1(AB+AC)+AA·(A店+AC), 所以A=√M2=√AA2+a店+A°+AA·(a压+AG A+(a+AC2+2A丽.AC)+丽1·丽+AAC 22+1(22+22+0)+2×2×2+2×2×5=V10. 故选C. 6.C【解析】解：对于A项，因为元=5+6+8+9+12=8，夕=17+20+25+28+35=25， 5 5 所以样本中心点为(8,25)，故A项正确： 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：25=2.6×8+a,解得：a=4.2,故B项正 确； 对于C项，由B项知，)=2.6x+42,令x=5,则)=2.6×5+42=17.2， 所以残差为17-17.2=-0.2，故C项错误； 对于D项，经验回归方程)=2.6x+a中，斜率2.6>0，说明x与y正相关， 故相关系数r>0,故D项正确. 故选：C 7.C【解析】因为奇函数f(x)在R上单调递增，所以当x>0时，f(x)>0,且f'x)≥0， g(-)=-xf(-x)=xf)=gx),所以g是偶函数，g(-)=g().当x>0 时，g)=f)+xf(>0,所以gy在(0，+0)内单调递增因为0<<1<< et<,所以g()<g(e词<g(m回，即b<a<c.故选C, 第1页，共6页 8.A【解析】解：设第n(n∈N*)次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为qm,则没 有红球的概率为1一pn-qn 由题意知，p1= 器 因为1=X对+0×等×得+a-,-9×得×得=1一- 所以p+1号=-0。)，又因为p1子=君 所以}提以-为首项，-为公比的等比数列， 所以.=名×(-》-1+子P1=28器 1365 故选A. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全都选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.ABD 【解析】解：对于A,由3<a<10可得品<片<有 好<名<10，A正确： 对于B,6<2a<20,故11<2a+b<50,B正确： 对于C,-10<-a<-3,则-5<b-a<27,故C错误； 对于D,由5<b<30可得0<合<号 由3<a<10得9<a2<100,11<a2+2<102 故错<<g,D正确. b 故选：ABD 10.BD【解析】对于A,因为A={1,2},B=1,3},则AnB={1)≠O,所以A错 误：对于B,因为BnC={,所以P(BC)=寻又P(8)=P(C)=2 则P(BC)=P(B)P(C),所以B与C相互独立，故B正确： 对于C,因为40B0C-={1,则P(ABC)=又P(A=P(B)=P(C)= 所以P(ABC)≠P(AP(B)P(C),故C错误：对于D,因为P(A)=P(C)= 又Anc=.则Pu0-卡所以P(aIG)=8-音-号 PC团器-手专故D正路.数选0 P(A) 11.ABD【解析】函数的零点、极值点+导数的应用 A(√)易知三次函数的值域为R,所以f(x)至少有一个零点. B()C(×)由f(x)=x3-3x2-ax+4,得f'(x)=3x2-6x-a,令3x2-6x-a=0, 当4=36+12a>0,即a>-3时，f'(x)有两个变号零点，分别记作m,n(m<n), 则f(x)在(-∞，m)和(m,+o)上单调递增，在(m,n)上单调递减，若f(m)=0或f(n)=0, 则该零点不可以用二分法求解，若f(m)f(n)<0,则函数f(x)有三个零点. 第2页，共6页 D()因为xo是f(x)的极值点，所以f(x0)=3x6-6x0-a=0, 得a=3x6-6x0,由f(x1)=f(xo),得f(x1)-f(xo)=x-3x3-ax1+4-(x8-3x6 a0+4)=x-x8-3(x好-x6)-a(x1-xo)=(x1-x0)(x1+x1x0+x6-3x1 3x0-3x6+6xo)=(x1-x0)2(x1+2x0-3)=0,因为x1≠x0,所以x1+2x0=3. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.2【解析】略 13.√2 【解折】由题设丽=012，则点8110到的距离为园-员-V2 1433 【解析】【详解】设公切线在y=x3上的切点为(x,x),在y=aex(a>O)上 的切点为(2，ae2),则曲线在切点的切线方程的斜率分别为y'=3x,y'=aex2, 对应的切线方程分别为y-x=3x(x-x1)、y-ae2=ae2(x-x2), {-2-aa-x)得3好=2器 3x=aex2 即y=3x1x-2xy=ae2x+ae2(1-x2),所 有x1=-1),则ae=3~w2-1吧， 整理，得号a=2, e21 设g)=,则g冈>0，g')= 4 -x-1)x-3) 86)=02 e ox e3 270 令g'(x)>0→1<x<3,令g'(x)<0→ x<1或x>3, 所以函数g(x)在(1,3)上单调递减，在(-0∞，1)和(3，+∞)上单调递增， 因为两条曲线有2条公共切线，所以函数y=寺a与y=9()图像有两个交点， 又g四=0，g3)=÷且g)>0,如图，所以号a=÷解得a=。 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 解：(1)根据题意可知， 该校成绩超过90分的人数为200×85%=170，成绩没有超过90分的人数为200一 170=30,因此1=90,4=80，t=20. (2)零假设为H:该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关. n(ad-bc)2 因为X2=a+bc+a(a+cb+西 _200×(10x80-90×202≈3.92<6.635=X0.01: 100×100×30×170 根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断Ho不成立，因此可以认为H。 成立， 所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关， 第3页，共6页 16.(本小题15分) 解：(1)由题意，元=号×(40+45+50+55+60)=50，夕=号×(50+56+64+72+ 83)=65, 所以y关于x的样本相关系数 克1x0y1-5 =16660-5x50×65≈410≈0.995， 克1好-5家克12-5 √250×V680 412 所以x与y具有较强的线性相关关系， (②)由题意及(1)得6=2x-5 1=16660-5×50×65=41 克1x-5x2 250 251 则a=65-若×50=-17， 所以y关于x的经验回归方程为0=芳x-17, 当x=70时，=若×70-17=97.8， 所以当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的预测值为97.8%. 17.(本小题15分) 解：(1)证明：由题设可知AD1DE,取AE中点O,连结OD、BE, AD DE=2,.OD 1 AE, 又二面角D一AE一B为直二面角， 平面ADEI平面ABCE, 又平面ADE∩平面ABCE=AE,ODC平面ADE, .OD⊥平面ABCE,又BEC平面ABCE,.OD⊥BE, 由题意可得AE=BE=2,AB=2N2 ·AB2=AE2+BE2,AE⊥BE, 又OD∩AE=O,OD,AEC平面ADE, BEI平面ADE,又ADC平面ADE,.BE⊥AD, 又BE∩DE=E,BE,DEC平面BDE, .AD⊥平面BDE. (2)取AB中点F,连结OF,则OF/EB,.OF⊥平面ADE, 以0为原点，OA,OF,OD为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图）， 则A(1,0,0),D(0,0,1),B(-1,2,0) AD=(-1,0,1),BD=(1,-2,1) 设元=(x,y,Z)是平面ABD的一个法向量， 则m丽=0：元而=0小：00 取x=1,y=1,z=1,则m=(1,1,1), B 平面ADE的法向量0F=(0,1,0): 第4页，共6页 二面角H-D-E的余弦值为酒=1=号 18.(本小题17分) 解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的所有可能取值为1,2,3， Pg=)等-贱=习婴-号心=)-专 所以的分布列为 2 3 5 5 5 B()=1×写+2×+3×写=2. (2)设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，~B(3,) 所以P0=0)=c01-)°=7 P0=1)=c)'(1-)-P=2)=c'(1-)-青 P0=3)=c③-号 所以的分布列为 0 1 3 2 4 8 27 9 27 ()=3×号=2. 则E()=E0)=2,D()=(1-22×号+(2-22×号+3-22×号=子，D)=3× 号×(1-司=号心6≥2)-+片青P0≥20-+号-9 所以D()<D),P(ξ≥2)>P(n≥2)， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当： 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定： 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大因此甲的实验操作能力较 强 19.(本小题17分) 证明：1）f(-h5m-hgk0,fe=lnc-ne=1-mc>0. 2 2 由零点存在定理，f)在[内至少有一个零点， 又)-o,当[任时，士0，o0,故r0,即/利严格 10 单调递增。 因此f(x)在区间I内有唯一零点x (4分) 第5页，共6页 8r心得上时1心0 e e 下证：f(x)>f(e)+f'(e)(x-e),x∈1. I代因=子≥mc子>0，改了问在区间7上单调猪精. 令g()=f(x)-f(e)-f'(e)(x-e),则g'(e)=f'(y)-f'(e)≤0， 故g(x)在区间I上单调递减，得到g(x)≥g(e)=0, 取=得0/e-iee-p f'(e) 由于x≠出1（否则与f()≠0矛盾)，故x<x,因此x<出<0·… (10分) (3)先证明：neN,x>x. 对n∈N,令h,(x)=f(x)-f(x)-f"(x)(x-x),x∈1则h(x)=f(x)-f'(). 由于f()在区间1上单调递增，则么.（四在（行上单调递减。在（化.）上单调 递增， 得到h(x)>h,(x)=0,xeL由于xeI且x≠xM,则h,(x)>0, 即0=f(x)>fk)fk-x)户x<- f(x) f(x) n+1 则ak-,a-81女= f(x) 又x∈(x,e).由(1)可知f(x)严格单调递增，则f(xm)>f(x)=0,且'(x)>0, 所以a+1-a<0,所以数列{a}单调递减。 （17分) 第6页，共6页