25.2.2公式法解一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“公式法解一元二次方程”，通过复习配方法步骤导入，引导学生用配方法推导一般形式方程，逐步引出求根公式及根的判别式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是通过严谨推理培养学生推理意识，典例覆盖判别式三种情况，练习含基础计算与证明题，助学生用数学语言表达根的情况。教师可系统教学，学生提升运算与推理能力，高效掌握知识。

第二十五章 一元二次方程 25.2.2公式法解一元二次方程 复习回顾 说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 一移：将常数项移到方程的右边； 二化：二次项系数化为1； 三配：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的 平方； 四开：利用平方根的意义直接开平方； 五解：解两个一元一次方程. 探究新知 用配方法解一般形式一元二次方程：ab+c=0 (a≠0). 解：移项，得 a+b = –c. 二次项系数化为1，得 + = – . 配方，得+ + ()2 = – + ()2 ， 即 (x + )2 = . ① 思考：对于方程①，接下来能直接开平方解吗？ 探究新知 (x + )2 = . ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： （1）当 b2–4ac>0 时，>0，由①得 + =± . 方程有两个不相等的实数根 x1 = ， = . 探究新知 (x + )2 = . ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： （2）当 b2–4ac=0 时，=0，由①可知，方程有两个相等的实数根 = = – . （3）当 b2–4ac<0 时，<0，由①可知( + )2 <0，而 x取任何实数都不能使 ( + )2 <0 成立，因此方程无实数根. 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. ax2+bx+c=0 (a≠0) b2–4ac>0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 b2–4ac=0 b2–4ac<0 b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac. Δ>0 Δ=0 Δ<0 归纳小结 一元二次方程 Δ=b2– 4ac 根的情况 ––1=0 5 有两个不相等的实数根 2+3+2=0 – 7 无实数根 4=12–9 0 有两个相等的实数根 3+2=2 0 有两个相等的实数根 课堂练习 当 Δ ≥ 0 时，方程 a+b+c=0（a≠0）的实数根可写为 = 的形式，这个式子叫作一元二次方程 a+b+c=0 的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ=b2– 4ac 时，才可以用求根公式. 探究新知 例3 用公式法解下列方程： （1）– 4– 7=0； 解：因为 a=1，b= – 4，c= – 7， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×1×(–7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 = = = 2±， 即=2+，= 2 – . = 确定 a，b，c 的值时，要注意它们的符号. 典例解析 （2）2 –2+1=0； 解： a=2，b= – 2，c= 1， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–2)2– 4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – = – = . x = 典例解析 （3）5 –3=+1； 解：方程化为 5 – 4 –1=0，此时a=5，b= – 4，c= – 1， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×5×(–1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 = = = ， = 即 =1，= – . 典例解析 （4） +17=8. = 解：方程化为 – 8+17=0，此时a=1，b= – 8，c=17， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–8)2– 4×1×17= – 4 <0. 方程无实数根. 典例解析 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）化：将一元二次方程化为一般形式 （a≠0）并确定 a，b，c 的值； （2）求：求出 b2–4ac 的值； （3）判：若 b2–4ac≥0 则利用求根公式求解；若 b2–4ac<0，则方程无实数根. （4）代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根. 知识要点 1.一元二次方程 a+b+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则 b2–4ac 满足的条件是（ ） A. b2–4ac=0 B. b2–4ac>0 C. b2–4ac<0 D. b2–4ac≥0 B 2.利用求根公式求 5+=6 的根时，a，b，c 的值分别是（ ） A. 5, , 6 B. 5, 6, C. 5, –6, D. 5, –6, – C 课堂练习 3.用公式法解下列方程： 【选自教材第12页 练习】 （1） 解：因为 a=1，b=1，c= –6， 所以 Δ=b2 – 4ac=12– 4×1×(–6)=25>0. 方程有两个不相等的实数根 = = = ， 即 =2，= – 3. 课堂练习 （2） – – =0； 解：因为 a=1，b= –，c= – ， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–)2– 4×1×(– )=4>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= +1，x2= – 1. 课堂练习 （3）3 – 6 +4=0； 解：因为 a=3，b= – 6，c= 4， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–6)2– 4×3×4= – 12<0. 方程无实数根. （4）2 – 3=0； 解：因为 a=2，b= – 3，c= 0， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–3)2– 4×2×0=9>0. 方程有两个不相等的实数根 = = = ，即 =0，= . 课堂练习 （5）+4+8=4+11； 解：方程化为 – 3=0，此时a=1，b=0，c= –3， 所以 Δ=b2 – 4ac=02– 4×1×(–3)=12>0. 方程有两个不相等的实数根 = = = ， 即 = ，= – . 课堂练习 （6） 解：方程化为 2+4–5=0，此时a=2，b=4，c= –5， 所以 Δ=b2 – 4ac=42– 4×2×(–5)=56>0. 方程有两个不相等的实数根 = = = ， 即= –1+ ，= –1 – . 课堂练习 4.已知关于 x 的一元二次方程 m–(3m+2)+2m+=0 (m≠0)， 求证：方程有两个不相等的实数根. 证明： Δ=b2 – 4ac = [–(3m+2)]2– 4m(2m+)=9m2+12m+4 –8m2–10m =m2+2m+4=(m+1)2+3. 因为 (m+1)2≥0，所以(m+1)2+3>0，即 Δ>0. 所以方程有两个不相等的实数根. 课堂练习 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法 求根公式 = 一元二次方程根的判别式 Δ= b2–4ac 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程无实数根. 课堂小结 $