25.2.1 配方法（解一元二次方程，讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的配方法，以直接开平方法为基础，系统梳理适配方程结构与解题流程，再分二次项系数为1和不为1两种情况，详解配方法五步标准流程，最终拓展至含参数方程、应用题根的检验及双元二次代数式求最值，构建从基础到应用的学习支架。 该资料通过“课标要点-易错提醒-随学随练-题型拓展”结构化设计，结合“二次项系数不为1时先化1再配方”等实例，培养学生推理意识与运算能力。拓展内容如双元代数式最值问题，发展创新意识，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十五章 一元二次方程 25.2.1配方法 课时目标 1掌握配方法的原理，能把一元二次方程转化为完全平方式，熟练完成配方、开方求解 全流程； 课标要点 2区分配方法解方程与代数式配方，依托完全平方公式建立转化思想； 3.结合配方结果判断方程实数根情况，应用题中对求出的根结合实际意义检验取舍。 重点： 1配方法标准五步流程：移项、化二次项系数为1、配方、写成完全平方、开方计算： 2核心操作：二次项系数为1时，等式两边同时加上一次项系数一半的平方： 3能运用配方法解各类一元二次方程，规范书写每一步变形。 难点 学习重难点 1.二次项系数不为1时，易遗漏先同除二次项系数，直接配方导致计算错误； 2配方只在等式左边加常数，忘记同步给右边加同一个数，等式不成立： 3.含参数一元二次方程配方，时刻牢记隐含条件ā≠0； 4开平方时漏掉正负号士； 5应用题配方求出根后，忽略实际场景限制（长度、数量为正数等），不会舍去不合理的 解。 清主线 课时内容导图 1/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础型：x2=p(p20) 适用方程形式 拓展型：(mx+n)2=p(m≠0，p20) 解题原理 平方根定义：若a2=bb≥0)，则a=士v6 ①变形：化为完全平方式=常数（常数20） 0直接开平方法 解题步骤 ②开平方：两边同时开平方，带正负号 ③求解：解一次方程，得两个根 p>0:两个不相等实数根 1开平方必须加±，容易漏负根 根的情况分类 P=0:两个相等实数根 2右边常数为负数时，直接判定 无实根，不能开方 配 p<0:无实数根 法 核心定义 通过配方，把ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x+m)2=n 形式再用直接开平方法求解 配方核心公式 x2+b+ 口诀：一次项系数一半的平方 0化1：二次项系数化为1，两边同÷a 1.二次项系数不为1时 Q配方法 ②移项：常数项移到等号右侧 忘记先除以a再配方 2.配方只加左边，右边 解题步骤 目配方：两边同时加「一次项系数一半的平方] 忘记同步加常数 3.一—次项系数带负数时 ④整理：左边写成完全平方式，右侧合并常数(x+m2=n 一半平方计算出错 4开平方遗漏正负号 ⑤开方：直接开平方法求根，判断正负定根 n>0:两不等实根 根的判定（配方后） n=0:两相等实根 n<0:无实数根 理新知 教材全盘梳理 知识点 解一元二次方程-直接开平方法 1、概念 借助平方根的性质，对整理成平方形式的一元二次方程直接开方求解，该解法称为直接开平方法。 2、适配方程结构 ①简单型：单个未知数平方等于常数p ②复合型：含未知数的一次整体平方等于常数(ax+b)p(a≠0) 3、理论依据 一个数的平方等于非负数时，这个数存在两个互为相反数的平方根。 4、完整解题流程 ①化简整理：消去平方项外的系数，单独留出平方整体在等式左侧； 2/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②判别常数范围：观察等式右侧常数正负； ③对等开平方：等式两边同时开平方，书写正负双重符号： ④拆分计算：拆解为两个独立一元一次方程，分别算出两个根x1,2 特别提醒 1.仅当右侧常数大于等于0时，方程才有实数解：常数小于0时直接判定无实根： 2复合型方程开方后，整体不能漏括号，再进行移项计算。 易错提醒 1.开平方省略正负号，丢失其中一个解； 2.平方项带有数字系数时，未先做除法消去系数就直接开方。 随学随练 1.(25-26九年级上-江苏苏州：期中)如果关于x的方程x-9P=m+3可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是() A.m>0 B.m≥0 C.m>-3 D.m≥-3 2.(25-26九年级上辽宁大连·月考)电流通过导线时会产生热量.电流I(单位：A)、导线电阻R(单 位：Ω)、通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足：Q=IRt.已知导线的电阻42,1s 的时间导线产生0J的热量，则电流I为A.(结果用二次根式表示) 3.(25-26九年级上黑龙江大庆·月考)用直接开平方法解下列方程： 2x-1-5=0 2x-1x+1=1 32x-1=2-1 4x-1P=2x+3 知识点2 解一元二次方程配方法（二次项系数为1) 核心配方规律 3/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+bx配 b2 可得完全平方式：x+bx+ 2 第一类：二次项系数为1，方程形式x+bx+c=0 解题步骤 1.移常数：将常数项c移到等号右边，得x+bx=-C: 2配方：等式左右两边同时加上 2 3整理：左边写成完全平方，右侧合并常数，得到x+mP=n 4.开方求解：分n>0、n=0、n<0三种情况求根。 1随学随练 1.(25-26九年级上.安徽安庆期末)一元二次方程x+8x+2=0,配方的结果是() A.x+42=18 B.x+42=14 C.x-42=18 D.x-42=14 2.(25-26九年级下：山东烟台：期中)若关于x的方程X-6x+a=0可以配方成x+bP=7那么 a+b2026- 3.解方程： (1)x-2x-1=0 (用配方法) 2x+5x+1=12(用配方法) 知识点 解一元二次方程-配方法（二次项系数不为1) 第二类：二次项系数不为1，方程形式aX+bx+c=0a≠0，a1 解题步骤 4/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1化系数为1：方程左右两边同时除以，得到X2+x+S=0 a a 2移常数项：把常数项移到右侧X+bx=-C, 3配方：两边同时加b} 2a 4整理：左侧化为完全平方式，右侧合并常数； 5.开方计算：用直接开平方法求方程的实数根。 挂别提醒 二次项系数不为1是配方最容易出错的题型，必须先归一再配方。 易错提醒 1.不除以a,直接用原式一次项系数配方： 2.除以a时，常数项忘记同步除以a; 3.一次项系数带负号，计算一半的平方时符号出错。 随学随练 1. (25-26九年级上山东潍坊·期末)小亮用配方法解方程2x2-8x+6=0的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得2X一8X=-6 第、 步 二次项系数化为1，得x-4x=①第二步 配方，得X-4x+②-1第三步 ①②处应分别填入的数是（) A.3,22 B.-3,22 c.3,42 D.-3,42 2.(25-26九年级上·安徽合肥期中)用配方法解一元二次方程9x2+bx+a=0得3x-3=±6，则a的值 为 3.解下列方程： (2X2-3x-6=0 5/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 23x23x=2=0 破疑难 核心素养拓展 拓展 利用直接开平方法解新的方程 一、 题型统一形式适配直接开平方法) 所有这类题都能整理成：M(整体)2NQM≠O),完全符合直接开平方法标准结构。 二、核心原理（值接开平方法本质） 对Mt2N直接开平方： 1变职：- 2环方得：t=± N 也就是说：只要平方前系数、等号右侧常数不变，括号里的整体t永远只有两个固定值1、2。不管括号内 换成什么含x的式子，这个整体只能等于或2。 三、标准四步解题流程（全程只用直接开平思想） 1.标准化两个方程 把已知解的原方程、待求新方程，全部整理成「系数×（含x整体）=常数」。两个方程的平方系数、右侧常 数完全相同。 2对原方程直接开平方，求出整体的两个定值 设原方程括号内式子为t,由直接开平方法可知t仅有两个固定解、2。 3新方程整体等价替换 设新方程括号内的代数式为$，根据开方结论直接得：s式或s电 4.分别解两个一元一次方程 算出两个X,就是新方程的解。 缸活学活用 1.(2025:江苏徐州模拟预测）已知关于x的一元二次方程mlK-hP-k=0（m,h,k均为常数且m≠02 6/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的解是x1=2:x,=5,则关于x的一元二次方程mX+h+1P=k的解是（) A.X1=-2,X2=-5 B.X1=-4,X2=-1 C.X1=1,x2=4 D.X1=-3,X2=-6 2.（25-26:江苏扬州期中)关于x的方程ax+mP+b=0的解是x=-5'X=3a,m,b均为常数，a≠0 )力则方程a2x+m-1?+b=0的解是 拓展 2 双元二次代数式求最值 标准四步配方法解题流程 把式子中含主元的所有项归到一起，剩余含另一字母的项、常数项放后面。以本题W=2m+2n+n-m一 2n+2为例：选m为主元，按m降幂分组： W=2m+(2n-1)m+(2-2n+2) 提取m系数2，对括号内m的二次三项式配完全平方： w-2+202m-2n*2 2m+22m2f2 +n2-2n+2 整理出关于m的完全平方，剩余部分全部转化为只含n的一元二次式。 上一步化简后，式子变为：W=A(含m平方)+只含n的二次代数式单独对只含n的式子继续配方，拆出第 二个完全平方式。 1.令所有完全平方式内的代数式分别等于0，联立方程组，解出两个未知数： 2把未知数代回原式，或直接保留拆分形式：W=正数×()2+正数×()2+C 两个平方最小都为0，因此W最小=C。 活学活用 1.(2026江苏连云港.一模)设，n为实数，且W=2m2+2mn+n2-m-2n+2有最小值，则W的最小 值为 7/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26江苏宿迁月考)若W=2x2-4xy+3y2-2y+4x+6(x、y为实数)，则W的最小值为 3.(25-26广东深圳月考)在学习完全平方公式的运用时， 我们常利用配方法求代数式的最小值： 例如：求代数式x+4x+5的最小值时可以用如下解答方法： 解：X+4x+5=x2+4x+4+1=x+2+1 “x+22≥0当x=-2时，x+22的最小值是0六x+22+1≥1 当x=-2时，x+22+1的最小值是1 .x2+4x+5的最小值是1. 根据示例求代数式4X-12y+10y+4y+9的最小值是 通题型 解题能力构建 题型一利用直接开平方法求一元二次方程 易错 1漏写正负号士 原理：正数有两个互为相反数的平方根。 易错表现x-2)P=9,只写x-2=3,漏掉x-2=-3,丢失一个根。 正确操作：开平方后必须同步书写士，拆成两个一元一次方程。 2.常数为负数强行开方 易错表现：(+1)=4，还继续写+1=±2求根。 正确逻辑：任何实数平方≥0，右侧常数p<0时，直接判定无实数根。 ■例1(25-26九年级上.北京顺义期末)方程2x2-8=0的解是() A.X=4 B.X=2 C.X1=2,X2=-2 D.X1=4,X2=-4 8/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练1-1.(25-26重庆大足，期末)方程x-1=1的解正确的是()· A.X1=2,X2=1 B.X1=2,X2=0 C.X1=-2,X2=1 D.X1=2,X2=-1 ■对点练1-2.(25-26山西运城期中)一元二次方程x+22=4的根为() A.X1=X2=0B.X1=0,X2=4 C.X1=0,X2=-4D.X1=0,X2=2 题型二利用直接开平方求参数的值 ■例2(25-26江西南昌，期中)若关于x的方程x-42=m+3有实数根，则m的取值范围是() A.m≥0 B.m>-3 c.m≥3 D.m≥-3 ■对点练2-1.(25-26福建福州·期中)关于x的一元二次方程配方为x-m2=n,若3±2是该方程的两 个根，则n的值是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 ■对点练2-2.(25-26江苏南京期中)若x1,X2是方程(x-m=p(m,p为常数)的两个实数根.若 x1-x2=6,则p的值为 题型三将式子进行正确配方 9/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 配方法化一元二次方程为(+m)1题型通用解题思路 一、题型特征 已知标准一元二次方程ax2+bx+c0,要求通过配方变形，写成完全平方等于常数的顶点式(&+m)P, 再求参数m、n的和、差、积等代数式的值：二次项系数默认是1。 二、 标准四步通用流程（二次项系数为）（如果二次项系数不为1则先化为1在进行计算） 1.移常数 将常数项移到等号右侧，只保留含未知数的二次、一次项在左边：+bx=-c。 2.配常数 b 取一次项系数b,计算 等式左右两边同时加上这个数（等式性质，两边必须同步加）。 3整理变形 左侧利用完全平方公式合并为(&+)，右侧合并常数得到数字n。 4.对比求参计算 对照标准格式(x+m)1,直接读出m、n的数值，再按题目要求计算m+n、mn、m等结果。 】例3(25-26九年级上江苏苏州期末)将一元二次方程x2+6x-1=0转化为x+mP=n的形式，则 m+n的值为() A.8 B.11 C.13 D.16 ■对点练31.(25-26九年级上浙江舟山期中)王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程， 并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示。 2x2+8c-4=0 x2+4x=2 (x+2)2=2 x+2=t2→x1=-22x2=-22 王老师 甲 乙 丙 上述求解过程中，错误的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 题型四解一元二次方程（计算） 10/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■例4(25-26九年级上·浙江杭州期末)解方程： (a四2x-12=50 (2)x2-2x-8=0 ■对点练41.（25-26九年级上山东泰安期末)解方程： 12x-32-64=0 22X-4X-5=0(用配方法解方程)· ■对点练42.(25-26九年级上·黑龙江大庆月考)用配方法解下列方程： (1)x2+6x=-7 (2)x2-12x=4 (3)x2+x+1=7x+3 (4(x-1)(x-3)=8 题型五利用配方法比较大小 11/22 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 核心通用步骤（作差法+配方法，固定4步） 步骤1：作差 用后式减前式前式减后式，构造差值：QP(推荐大的二次式减小的一次式) 步骤2：去括号、合并同类项 整理差值，化为标准一元二次整式am+bm+c的形式。 步骤3：配方变形 对整理后的二次三项式配完全平方，拆成「平方项+常数」结构：差值=A(含未知数整体)+k(A≠O) 步骤4：利用平方非负性判断差值符号 1.若差值恒>0：被减式更大； 2.若差值恒>0：被减式大于等于另一个； 3.若差值恒<0：被减式更小： 4若差值可正可负：大小关系不确定。 ■例5已知P=4m-3,Q=4m2-1(m为任意实数)，则P,Q的大小关系为() A.P>Q B.P≤Q C.P<Q D.不能确定 1对点练51.(2025全国.专题练习)若m为实数，P=-m2-m+1,Q=m2-2m+4,则P,Q的大小 关系为() A.P<Q B.P=Q C.P>Q D.不能确定 ■对点练52.(2025安徽六安.一模)已知x,y,z为实数，且 y+2=5-4x+3×2,2-y=1-2x+x则x,y, ,之间的大小关系是() A.x<y≤zB.y<X≤Z C.y≤z<x D.z<X≤y 题型六利用配方法求最值 12/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 标准四步解题流程 情况1：二次项系数a=1 1分组：把含未知数的二次、一次项放括号内，常数项留在外侧； 2配常数：取一次项系数一半，平方后先加再减，保证式子恒等： 3.整理平方：括号内合并为完全平方式，外侧合并常数： 4判断最值：利用（整体）≥0： ①平方前系数为正：代数式有最小值（等于外侧常数）： ②平方前系数为负：代数式有最大值（等于外侧常数）。 情况2：二次项系数≠1 1.提取系数：括号内只保留2系数为1，把ā提至括号外： 2.内部配方：括号内按a=1的方法配完全平方； 3.去括号化简：把括号外系数乘回配方多出的常数； 4判定最值：平方项整体系数正负决定最大最小。 ■例6(25-26九年级下湖南永州月考)将代数式x-10x+5配方后，发现它的最小值为 ■对点练61.(25-26湖南娄底期中)对于多项式x+2x+4,由于x2+2x+4=x+12+3≥3，所以 X+2x+4有最小值3，则代数式X-4X-2023的最小值是 ■对点练62.多项式x2-2xy+2y2+2y+5的最小值是 题型七配方法中新定义类问题 Ⅱ例7(25-26九年级上广西崇左期末)在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2,根 据这个规则，方程x+1*5=0的解为 ■对点练7-1.(2026黑龙江大庆.二模)我们知道，一元二次方程x=-1没有实数根，即不存在一个实 13/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数的平方等于-1.若我们定义一个新数“i”,使其满足=-1（即方程x2=-1有一个根为），并且进 一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有=， 2=-1,=记i=-i,计==1例如：i计2++4+i=i-1-i+1+=i则+7++.…+2026= ■对点练7-2.(25-26江苏扬州期末)定义：如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(aC≠0)，有 一个根是α，那么我们称这个方程为“A方程”，如一元二次方程2x2-x-6=0有一根为x=2,所以此 方程为“A方程”. (1)若关于x的一元二次方程3x2-心-3=0是“A方程”，求k的值： (2)已知关于x的一元二次方程-x+bx+c=0(c≠0)是“A方程”，求代数式b2-4c的最小值. 题型八利用配方法判断三角形的性质 ■例8(25-26九年级上·黑龙江绥化月考)若a,b,c为△ABC的三边长，且 a+b+c2-6a-8b-8c+41=0,试判断△ABC的形状，并说明理由. Ⅱ对点练81.(25-26八年级上·全国期末)阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配 成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即。±2ab+b=(a±bP. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：a2-4a+4=_2: (2)若a+2a+b2-6b+10=0,求a+b的值： (3)若a,b,c分别是△ABC的三边，且a+4b2+c2-2ab-6b-2c+4=0,试判断△ABC的形状，并 说明理由. ■对点练82.（25-26贵州安顺期中)配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们 学习数学有很大的帮助.所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的 例如：已知x-2x+y+4y+5=0,求，y的值. 由题意，得x2-2x+1+y2+4y+4=0, 14/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即x-1P+y+2=0 .x-1=0,y+2=0, .x=1,y=-2. 根据以上材料，解答下列各题. (四若x-4x+y2+6y+13=0求x+y厂0的值： (2)若a,b,c分别表示△ABC的三边长，且a2+b2+c2-ac-ab-bc=0,试判断△ABC的形状，并说 明理由。 题型九配方法中阅读理解题 ■例9（25-26江苏南京·月考)配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题. 例如：00所以a2+1≥1即a+1有最小值为1，此时a=0 再如：-3a+1?≤0所以-3a+1+5≤5即-31a+1?+5有最大值为5，此时a=-1 当x三 时，代数式2X-1+3有最 (填“大”或“小”)值，且为 (2)当x=」 时，代数式-x-2x有最 (填“大”或“小”)值，且为 (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18，栅栏如何围能使花圃面积 最大？最大面积是多少？ 墙 ■对点练91.(25-26吉林长春期中)阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b叫做完全 平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全 平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数 学方法，可以求代数式的最大值或最小值. 例如，求代数式x2+2x-4的最小值： 15/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+2x-4=x2+2x+1-5 =x+12-5 .x+12≥0 ∴.x+12-5≥-5 ∴.当x=-1时，x2+2x-4有最小值-5. 【直接应用】 (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：X2+8x+ (2)求当x取何值时，代数式x-6x+5有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 (3)如图，学校打算用长18米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直 于墙的一边长为X米，请用配方法求当X为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ 墙 D 生物园 ■对点练9-2.(25-26河北保定·月考)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他 重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值. 解：X2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+22+1' (x+2}2≥0(x+22+1≥1' X+4x+51即X+4x+5的最小值是1. 试应用上述方法解决下列问题： (1)已知y=x2-6x+12,则y的最小值是 (2)已知y=-x2+2x+8,则y有最 值（填“大”或“小”），最值是 (3)应用：若P=3x2-X+2,Q=2x2+3x-6,请比较P和Q的大小，并说明理由. 16/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 1. (25-26九年级上陕西西安期末)用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应变形为() A.x-12=7 B.x+12=9 C.x-22=9 D.x-22=6 2.(25-26九年级上.安徽准南·月考)若关于x的一元二次方程mx+n=0的一个根为1，则方程 mx+32+n=0的根是() A.-1或1 B.-1或-2 C.-2或-4 D.1或4 3.(25-26九年级上浙江温州期中)某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并 继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示， 3x2-6x-9=0 x2-2x=3 (x-12=3 x-1=±3 =1+√5，=1-√3 (班长) (甲) (乙) (丙) (丁) 上述求解过程中，开始出现错误的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.(25-26九年级上.黑龙江哈尔滨月考)定义一种新运算a⑧b=ab+a-b,当x⑧(X-3)=7时，x的 值为() A.-1 B.4 C.3 D.4或-1 5.（25-26:江西赣州：期末)小东在用配方法解方程X-4X=n时，配成x-2=m发现m<0判断该 方程无实数根，则n的值可能是() A.1 B.0 C.-4 D.-5 6.(25-26广东广州期末)形如X(x+2)=3的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和 宽分别为x+2)和x的矩形，围成一个边长为2x+2)的大正方形（四个矩形彼此不重叠）·得到大正方 形的面积为3×4+22=16，则该方程的正数解为=(4-2)÷2=1.羊羊同学按此方法解关于x的方程 X+m)=m时，构法出如图2所示图形，得到该方程的正数解为X=子则图2所示的大正方形的面积为 17/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+2 x+2 x+2 x+2 图1 图2 A 8 86 9 c号 。 7. (2026江苏盐城三模)设方程x-2x-4=0的正根介于整数m与m+1之间，则m= 8. (25-26九年级上-浙江杭州，期中)已知关于x的方程X-mX+n=0通过配方可变形为 则”的值为 9.(25-26九年级上.浙江杭州期中)已知A=2x+m,B=x+m+4,则比较代数式A与B的值： A B.(请用“>”、“<”、“=”表示) 10.(2026河北张家口.一模)清代数学家罗士琳(1789-1853)提出了推算勾股数的公式，被称为罗士 琳法则.具体如下： I.若n是大于1的奇数，则n, -1.+1是一组勾股数： 2, 2 12 Ⅱ.若n是大于2的偶数，则n n -1 n +1是一组勾股数. 图研究，在中，最小的数是n,最大的数是”)1：在中，若n>4,则最小的数是n,最太的数是 12 n-2 +1 若一组没有公约数的勾股数中，最小的数是m,最大数是25：另一组勾股数中，最小的数是m+1,则最大 数是 11.(25-26九年级上·重庆.期末)解下列方程， (16x+12-9=0 18/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)xx-3=3 12.（25-26九年级上江苏常州：期中)对于二次三项式X2+2ox+a2,可以直接用公式法分解为x+a2的 形式，但对于二次三项式x+2ax-3a2,就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x+2ax-3a2 中先加上一项a2,使x2+2ax-3a中的前两项与a构成完全平方式，再减去a这项，使整个式子的值不变， 最后再用平方差公式进一步分解.于是x2+2ax-3a=x2+2ax+a-a2-3a2 =x+a2-2a=x+3a儿x-a像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法. (1)如果a2-4a+()是一个完全平方式，则括号内的常数应为： (2)用“配方法”分解因式：x2+6X-7: (3)用“配方法”分解因式：3x2-6x-12, 13.(25-26九年级下山东烟台期中)数学课上，老师在黑板上书写了M,N两个整式；M=-2a+4a, N=-2a2-2a+2 (1)比较M,N的大小： (2)若P+2N=M-5,证明：P不可能小于0. 14.(2026河北保定模拟预测)定义：使a-b=ab-1成立的一对有理数a、b称为“相伴有理数对”， 记作a,b.例如：因为5-1=5×1-1，所以5,1是“相伴有理数对”. (判断数对3，一号是否为“相件有理数对”.并通过计算说明理由； (2)若n,-n是“相伴有理数对”.求n的值： (3)若x,y)是“相伴有理数对”，求x+1)(y-1)+2的值. 素养提升 1.(25-26九年级上浙江宁波期中)若关于x的一元二次方程ax2-b=0有一根为2025，则关于x的一元 二次方程。、 ax2+6ax+9a=b 的其中一个根必为() A.2022 B.2024 C.2025 D.2028 19/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.（25-26:贵州六盘水：月考)若方程X-6X-5=0用配方法可配成x+pP=g的形式，则直线 =px+q 不经过() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(25-26江苏苏州期中)如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为α和b的两个圆，当 a+b=8时，剩下的钢板面积的最大值是() b A.4π B.8n c.10π D.12π 4.(25-26安徽宿州-月考)己知关于x的方程4X-px+q=0 过配方可变形为 2 ×-4 33,则q的值 16 p 为() A.-4 B.4 C.-8 D.8 5. （2026江苏连云潘中考直题）若a、6c是三个不为零的实数，且。-bc则C-a的最小值为一 b2 6.已知关于x的一元二次方程ax2=bb≠0的两个实数根分别是m-7和m+1,则2的值等于 7.(25-26山东德州：期中)定义：如果存在一个数1，使（±iY=-1时，有x=士i从而x=±i是方程 x2=-1的两个根.据此可知x2-4x+13=0的两根为 8.(25-26七年级下·河南期中)【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代 数式最值等问题中都有广泛应用. 例如：将X-6X+8先利用配方法变形为。x十m+n 、的形式，再分解因式 配方：x2-6X+8 =x2-6x+32-32+8 =x-32-1 分解因式：x2-6x+8 20/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x-32-1 =x-3+1川x-3-1 =x-2x-4 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把x2-2x-35分解因式. (2)代数式x2+y2+4x-6y+15的最小值是 (直接写答案)· (3)若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2-2ab-2b-6c+4=0,试判断△ABC的形状， 并说明理由， 9.(2026安徽阜阳二模)【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表 示)和花卉（用“口”表示）组成图案 ☆☆☆☆☆… ▣口 口 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为 (2)第n个图案中花卉的盆数可表示为 (用含n的式子表示)： 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆. 迁移创新 1.(25-26七年级下.福建南平.期中)我们知道，一元二次方程x=-1没有实数根，即不存在一个实数的 平方等于-1.若我们规定一个新数“1”，使其满足1=-1（即方程x2=-1有一个根为）.并且进一步 规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有=i,1=-1, i3=i×i=-1xi=-ii4=2=-12=1'那么1+i2+i+i4+…+2025+2026的值为（） 21/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.i C.1 D.i-1 2.（25-26九年级上.浙江宁波期末)【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于X的一元二次方程x2+aX=b2(a>0,b>0)的图解法是：如图， 作Rt△ABC,其中∠ACB=90°，BC=号AC=b,在斜边上截取BD受则AD的长就是所求方程 的正根. 【推导验证】 对方程x2+aX=b进行配方， 得x+ax+ 2 =b2+ b 2 因为∠ACB=90°，所以 B AB2=AC2+BC2, … (1)请你继续完成上述推导， 【尝试应用】 (2)若利用此图解法解方程x2+2X=5,那么BC=,AB=,方程的正根X= (3已知关于x的一元二次方程X+ax=64(a>0),利用上述图解法求解时，有BD-3 AD 2 求a的值. 22/22 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 课标要点 1.掌握配方法的原理，能把一元二次方程转化为完全平方式，熟练完成配方、开方求解全流程； 2.区分配方法解方程与代数式配方，依托完全平方公式建立转化思想； 3.结合配方结果判断方程实数根情况，应用题中对求出的根结合实际意义检验取舍。 学习重难点 重点： 1.配方法标准五步流程：移项、化二次项系数为1、配方、写成完全平方、开方计算； 2.核心操作：二次项系数为1时，等式两边同时加上一次项系数一半的平方； 3.能运用配方法解各类一元二次方程，规范书写每一步变形。 难点 1.二次项系数不为1时，易遗漏先同除二次项系数，直接配方导致计算错误； 2.配方只在等式左边加常数，忘记同步给右边加同一个数，等式不成立； 3.含参数一元二次方程配方，时刻牢记隐含条件a≠0； 4.开平方时漏掉正负号士； 5.应用题配方求出根后，忽略实际场景限制(长度、数量为正数等)，不会舍去不合理的解。 知识点 解一元二次方程--直接开平方法 1、概念 借助平方根的性质，对整理成平方形式的一元二次方程直接开方求解，该解法称为直接开平方法。 2、适配方程结构 ①简单型：单个未知数平方等于常数x²=p ②复合型：含未知数的一次整体平方等于常数(ax+b)²=p(a≠0) 3、理论依据 一个数的平方等于非负数时，这个数存在两个互为相反数的平方根。 4、完整解题流程 ①化简整理：消去平方项外的系数，单独留出平方整体在等式左侧； ②判别常数范围：观察等式右侧常数正负； ③对等开平方：等式两边同时开平方，书写正负双重符号； ④拆分计算：拆解为两个独立一元一次方程，分别算出两个根x1，x2 特别提醒 1.仅当右侧常数大于等于0时，方程才有实数解；常数小于0时直接判定无实根； 2.复合型方程开方后，整体不能漏括号，再进行移项计算。 易错提醒 1.开平方省略正负号，丢失其中一个解； 2.平方项带有数字系数时，未先做除法消去系数就直接开方。 随学随练 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）电流通过导线时会产生热量．电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流I为_____A．（结果用二次根式表示） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解一元二次方程——直接开平方法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据公式，代入导线的电阻，的时间导线产生的热量，求出电流I． 【详解】解：因为导线的电阻，的时间导线产生的热量， 所以， 解得：（负值舍去）， 则电流I为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时乘以2，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先去括号，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （3）（4）把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得，； （2）解： ， ， ， 解得，； （3）解： ，即或， 解得，； （4）解： ，即或， 解得，． 知识点 解一元二次方程--配方法（二次项系数为 1） 核心配方规律 配上,可得完全平方式： 第一类：二次项系数为1，方程形式 解题步骤 1.移常数：将常数项c移到等号右边，得； 2.配方：等式左右两边同时加上 3.整理：左边写成完全平方，右侧合并常数，得到； 4.开方求解：分n>0、n=0、n<0三种情况求根。 随学随练 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若关于的方程可以配方成，那么______． 【答案】1 【分析】先将方程配方得，再结合题意求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解： ， 又∵关于的方程可以配方成， ∴，， ∴， ∴． 3．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 知识点 解一元二次方程--配方法（二次项系数不为 1） 第二类：二次项系数不为1，方程形式 解题步骤 1.化系数为1：方程左右两边同时除以，得到 2.移常数项：把常数项移到右侧; 3.配方：两边同时加; 4.整理：左侧化为完全平方式，右侧合并常数； 5.开方计算：用直接开平方法求方程的实数根。 特别提醒 二次项系数不为 1 是配方最容易出错的题型，必须先归一再配方。 易错提醒 1.不除以,直接用原式一次项系数配方； 2.除以时，常数项忘记同步除以; 3.一次项系数带负号，计算一半的平方时符号出错。 随学随练 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1得到①，再根据配方的规则求出②即可． 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 拓展 利用直接开平方法解新的方程 一、题型统一形式(适配直接开平方法) 所有这类题都能整理成：M·(整体)²=N(M≠0)，完全符合直接开平方法标准结构。 二、核心原理(直接开平方法本质) 对M·t²=N直接开平方： 1.变形： 2.开方得： 也就是说：只要平方前系数、等号右侧常数不变，括号里的整体t永远只有两个固定值t1、t2。不管括号内换成什么含x的式子，这个整体只能等于t1或t2。 三、标准四步解题流程(全程只用直接开平思想) 1.标准化两个方程 把已知解的原方程、待求新方程，全部整理成「系数×(含x整体)²=常数」。两个方程的平方系数、右侧常数完全相同。 2.对原方程直接开平方，求出整体的两个定值 设原方程括号内式子为t，由直接开平方法可知t仅有两个固定解t1、t2。 3.新方程整体等价替换 设新方程括号内的代数式为s,根据开方结论直接得：s=t₁或s=t₂ 4.分别解两个一元一次方程 算出两个x，就是新方程的解。 活学活用 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 2．（25-26·江苏扬州·期中）关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过已知方程的解求出参数m的值及a与b的关系，然后代入新方程求解． 【详解】解：由方程的解为，， 代入得和． 两式相减可得， 开方，得：或(不成立)， 即， 整理得， 所以． 将代入，得， 即． 将和代入方程， 得， 即， 整理得． 由于， 两边除以得， 即， 解得∶，． 故答案为：，． 拓展 双元二次代数式求最值 标准四步配方法解题流程 步骤1：分组整理，选定主元 把式子中含主元的所有项归到一起，剩余含另一字母的项、常数项放后面。以本题W=2m²+2mn+n²-m—2n+2为例：选m为主元，按m降幂分组： W=2m²+(2n-1)m+(n²-2n+2) 步骤2：主元二次项系数化为1，对m配方 提取m²系数2，对括号内m的二次三项式配完全平方： 整理出关于m的完全平方，剩余部分全部转化为只含n的一元二次式。 步骤3：对剩余单字母二次式再次配方 上一步化简后，式子变为：W=A·(含m平方)²+只含n的二次代数式单独对只含n的式子继续配方，拆出第二个完全平方式。 步骤4：利用平方非负性求最值 1.令所有完全平方式内的代数式分别等于0，联立方程组，解出两个未知数； 2.把未知数代回原式，或直接保留拆分形式：W=正数×（）²+正数×（）²+C 两个平方最小都为0，因此W最小=C。 活学活用 1．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 2．（25-26·江苏宿迁·月考）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 3．（25-26·广东深圳·月考）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用、非负数的性质，依据题意将化为，又对于任意的，都有，，进而得解．熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【详解】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 题型一 利用直接开平方法求一元二次方程 易错 1.漏写正负号士 原理：正数有两个互为相反数的平方根。 易错表现(x-2)²=9，只写x-2=3，漏掉x-2=-3，丢失一个根。 正确操作：开平方后必须同步书写士，拆成两个一元一次方程。 2.常数为负数强行开方 易错表现：(x+1)²=-4，还继续写x+1=±2求根。 正确逻辑：任何实数平方≥0，右侧常数p<0时，直接判定无实数根。 ▌例1 （25-26九年级上·北京顺义·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用直接开平方法即可计算，按移项、化系数为1、开平方的步骤求解即可． 【详解】解：， ∴ ， ∴， ∴，即． ▌对点练1-1．（25-26·重庆大足·期末）方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． ▌对点练1-2．（25-26·山西运城·期中）一元二次方程的根为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程. 通过直接开平方法解方程即可. 【详解】解：∵， ∴或， ∴， ， 故选：C. 题型二 利用直接开平方求参数的值 ▌例2（25-26·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． ▌对点练2-1．（25-26·福建福州·期中）关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得． 【详解】解：方程， ， ， ∵是该方程的两个根， ∴， 故选：C． ▌对点练2-2．（25-26·江苏南京·期中）若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 题型三 将式子进行正确配方 解题贴士 配方法化一元二次方程为(x+m)²=n题型通用解题思路 一、题型特征 已知标准一元二次方程ax²+bx+c=0，要求通过配方变形，写成完全平方等于常数的顶点式(x+m)²=n，再求参数m、n的和、差、积等代数式的值；二次项系数默认是1。 二、标准四步通用流程(二次项系数为1)（如果二次项系数不为1则先化为1在进行计算） 1.移常数 将常数项移到等号右侧，只保留含未知数的二次、一次项在左边：x²+bx =-c。 2.配常数 取一次项系数b，计算，等式左右两边同时加上这个数(等式性质，两边必须同步加)。 3.整理变形 左侧利用完全平方公式合并为(x+m)²，右侧合并常数得到数字n。 4.对比求参计算 对照标准格式(x+m)²=n，直接读出m、n的数值，再按题目要求计算m+n、m-n、mn等结果。 ▌例3 （25-26九年级上·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． ▌对点练3-1．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 题型四 解一元二次方程（计算） ▌例4（25-26九年级上·浙江杭州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】将原方程整理，且将常数项移到方程右边，接下来方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后开方解答即可． 【详解】（1）解：， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （2）解：， 两边都加上36，得， 即， 开方，得， ∴； （3）解：整理，得， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （4）解：整理，得， 两边都加上4，得， 即， 开方，得， ∴． 题型五 利用配方法比较大小 解题贴士 核心通用步骤(作差法+配方法，固定4步) 步骤1：作差 用后式减前式/前式减后式，构造差值：Q-P(推荐大的二次式减小的一次式) 步骤2：去括号、合并同类项 整理差值，化为标准一元二次整式am²+bm+c的形式。 步骤3：配方变形 对整理后的二次三项式配完全平方，拆成「平方项+常数」结构：差值=A(含未知数整体)²+k(A≠0) 步骤4：利用平方非负性判断差值符号 1.若差值恒>0:被减式更大； 2.若差值恒>0:被减式大于等于另一个； 3.若差值恒<0:被减式更小； 4.若差值可正可负：大小关系不确定。 ▌例5 已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握配方法、偶次方的非负性是解题的关键． 先求出的值，然后根据偶次方的非负性，判断出值的正负，进而判断出两者的大小关系． 【详解】解： ． ， ， ， ． 故答案为：C． ▌对点练5-1．（2025·全国·专题练习）若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． ▌对点练5-2．（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型六 利用配方法求最值 解题贴士 标准四步解题流程 情况1：二次项系数a=1 1.分组：把含未知数的二次、一次项放括号内，常数项留在外侧； 2.配常数：取一次项系数一半，平方后先加再减，保证式子恒等； 3.整理平方：括号内合并为完全平方式，外侧合并常数； 4.判断最值：利用(整体)²≥0: ①平方前系数为正：代数式有最小值(等于外侧常数)； ②平方前系数为负：代数式有最大值(等于外侧常数)。 情况2:二次项系数a≠1 1.提取系数：括号内只保留x²系数为1，把a提至括号外； 2.内部配方：括号内按a=1的方法配完全平方； 3.去括号化简：把括号外系数乘回配方多出的常数； 4.判定最值：平方项整体系数正负决定最大/最小。 ▌例6 （25-26九年级下·湖南永州·月考）将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． ▌对点练6-1．（25-26·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． ▌对点练6-2．多项式的最小值是_____． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方式的非负性，配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．将代数式配方，利用完全平方式的非负性求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：4． 题型七 配方法中新定义类问题 ▌例7 （25-26九年级上·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． ▌对点练7-1．（2026·黑龙江大庆·二模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与规律探究，根据新定义得出的指数的循环规律，每4个为一个循环，每个循环的和为0，计算总项数除以4的余数，再根据余数计算最终结果即可 【详解】解：由题意得： ，，，，， 可得的指数每4个一循环，且一个循环的和为， ， 即共有506个完整循环，剩余2项为和， ，， ▌对点练7-2．（25-26·江苏扬州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）把代入，可得得，再把代入进行计算，然后配方，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得： ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 题型八 利用配方法判断三角形的性质 ▌例8 （25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． ▌对点练8-1．（25-26八年级上·全国·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)填空： ； (2)若，求的值； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】 本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题． （1）运用完全平方公式求解即可. （2）首先将，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出a，b的值即可； （3）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， （3）解：为等边三角形，理由如下： 即， ∴，，， ∴，, ∴， 为等边三角形． ▌对点练8-2．（25-26·贵州安顺·期中）配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，等边三角形的判定，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）用完全平方公式对方程左边进行配方，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （2）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 题型九 配方法中阅读理解题 ▌例9 （25-26·江苏南京·月考）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题． 例如：，所以，即有最小值为1，此时． 再如：，所以，即有最大值为5，此时． (1)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (2)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)1，小，3 (2)，大，1 (3)矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）根据完全平方的非负性，进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）设矩形垂直于墙的边的边长为，根据矩形的性质，列出代数式，配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当，即时，，值最小； 故答案为：1，小，3； （2）∵， ∵， ∴， ∴当，即时，有最大值为1； （3）设矩形垂直于墙的边的边长为，则另一边的边长为， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大为， ∴当矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为． ▌对点练9-1．（25-26·吉林长春·期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 当时，有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长18米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，代数式有最小值，这个最小值是；（3）当时，围成的生物园最大面积为． 【分析】本题考查了配方法求最值，完全平方公式特点，解题的关键在于熟练掌握配方法． （1）根据配方法整理即可； （2）类比题干求代数式的最小值步骤，整理求代数式的最小值，即可解题； （3）根据题意得到米，米，利用长方形面积公式表示出围成的生物园的面积，再结合配方法求解，即可解题． 【详解】解：（1）， ， 即在横线上添上一个常数项为， 故答案为：； （2）代数式有最小值， ， 当时，有最小值， 当时，代数式有最小值，这个最小值是． （3）设垂直于墙的一边长为米， 即米，米， 则围成的生物园的面积为 ， ， ， ， 当时，围成的生物园最大面积为． ▌对点练9-2．（25-26·河北保定·月考）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ∵，， ∴，即的最小值是1． 试应用上述方法解决下列问题： (1)已知，则y的最小值是________． (2)已知，则y有最________值（填“大”或“小”），最值是________． (3)应用：若，，请比较P和Q的大小，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)大，9 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了用配方法解决问题，熟悉配方法是解题的关键． （1）根据题意配方求解即可； （2）根据题意配方求解即可； （3）作差，再配方比较即可． 【详解】（1）解：配方得， ∵，， ∴，即的最小值是3． 故答案为：3． （2）解：， ， ， 则y有最大值，最大值为9． 故答案为：大，9． （3），理由如下 ，， ， 即，所以． 基础通关 1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】需逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：班长：， 甲：两边同除以3，得，正确， 乙：配方，两边加1，得，即，但乙写成了，错误， ∴开始出现错误的是对应选项为B． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 【答案】D 【分析】先由新定义将转化为方程，再由配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由新定义可知， ， 则， ， 则或， 解得或． 5．（25-26·江西赣州·期末）小东在用配方法解方程时，配成，发现，判断该方程无实数根，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，关键是熟练应用配方法解题；将原方程配方后与所给方程对照，利用求的值即可． 【详解】解：， 配方得：， 即：， ∵，， ∴， 解得：． 故选：D ． 6．（25-26·广东广州·期末）形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法的几何意义与方程求解，先利用方程的解求出参数的值，再根据几何构造的面积关系求出大正方形的面积． 【详解】解：将方程的正数解代入方程，得， 展开化简：，解得． 根据图2的构造，大正方形的边长为， 代入、，得边长为， 因此大正方形的面积为； 故选：D． 7．（2026·江苏盐城·三模）设方程的正根介于整数m与之间，则________． 【答案】3 【分析】先求出方程的正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：得，， 可知方程的正根为． ， ， ， 则． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 10．（2026·河北张家口·一模）清代数学家罗士琳（）提出了推算勾股数的公式，被称为罗士琳法则．具体如下： Ⅰ．若是大于1的奇数，则，，是一组勾股数； Ⅱ．若是大于2的偶数，则，，是一组勾股数． 经研究，在Ⅰ中，最小的数是，最大的数是；在Ⅱ中，若，则最小的数是，最大的数是． 若一组没有公约数的勾股数中，最小的数是，最大数是；另一组勾股数中，最小的数是，则最大数是________． 【答案】 【分析】分三类讨论，当为大于的奇数，根据题意可得，最大的数为，解得，从而计算出第二组最大的数为；当时，第一组勾股数为，，，与题意矛盾；当为大于的偶数时，根据题意最大的数为，解得，与题设矛盾． 【详解】解：①当为大于的奇数时，根据题意第一组勾股数中，最大的数为， ∴， 解得（负值舍去）， ∵， ∴在第二组勾股数中，最大的数为； ②当时，第一组勾股数为，，， 最大的数为，与题干最大的数为矛盾，故舍去； ③当为大于的偶数时，根据题意最大的数为， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； 综上所述，第二组勾股数中最大的数为． 11．（25-26九年级上·重庆·期末）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， ， ，． 12．（25-26九年级上·江苏常州·期中）对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是 ．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 13．（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 14．（2026·河北保定·模拟预测）定义：使成立的一对有理数、称为“相伴有理数对”，记作．例如：因为，所以是“相伴有理数对”． (1)判断数对是否为“相伴有理数对”．并通过计算说明理由； (2)若是“相伴有理数对”．求的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) 不是，理由 ，， ， ， ， 不是“相伴有理数对”． (2) (3) 【分析】本题考查了对新定义的理解与应用、一元二次方程的求解以及代数式的化简求值，解题的关键是准确理解“相伴有理数对”的定义，将其转化为等式进行计算． （1）根据定义，分别计算与的值，比较是否相等； （2）将代入定义式，得到关于的方程，求解方程； （3）由是“相伴有理数对”得到，再将所求代数式展开，代入该等式化简求值． 【详解】（1）略 （2）解：是“相伴有理数对”， ， 即， 整理得， 即， 解得． （3）解：是“相伴有理数对”， ， ． 素养提升 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．代入到方程，整理得到，再利用配方法解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 代入到方程，得， 整理得：， ， ， ， ， 解得：，， 关于x的一元二次方程的其中一个根必为2022． 故选：A． 2．（25-26·贵州六盘水·月考）若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到，，再根据一次函数的性质判断即可得到答案； 【详解】解：方程配方得， ， ∴，， ∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限， 故选：C． 3．（25-26·江苏苏州·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ； ∵， ∴，即剩下的钢板面积， ∴剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合； 故选：B． 4．（25-26·安徽宿州·月考）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】将一元二次方程进行配方的步骤为第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；据此进行运算后判断，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的配方，掌握配方的步骤是解题的关键． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式 ， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 6.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于________． 【答案】16 【分析】先将方程整理为标准形式，利用直接开平方法得出根的特征（互为相反数），再根据根的和为求出的值，进而得到方程的两个根，最后代入原方程求出的值． 【详解】解：方程化为一般形式为 ，设两根分别为 ，， 则由根与系数的关系，有 ，即 ， 解得 ． 又 ，即 ， 代入 得 ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程和根的性质，解题关键是发现方程的两个根互为相反数，从而利用两根之和为求出的值，再代入求解． 7．（25-26·山东德州·期中）定义：如果存在一个数i，使时，有，从而是方程的两个根．据此可知的两根为________． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，再利用定义中i的性质求解． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ∵是方程的两个根， ∴， 即， 则将开平方得， 解得，． 故答案为：，． 8．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 9．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】(1)8 (2) (3)盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【详解】（1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉的盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 迁移创新 1．（25-26七年级下·福建南平·期中）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么的值为（  ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给出的新数的运算规则，可发现每4个连续的幂次和为0，利用循环规律即可计算出最终结果． 【详解】解：，，，， ， 即每连续4个的幂次的和为0， ， 前2024项的和为，剩余两项为和， ，， 原式． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方， 得， 因为，所以， …… (1)请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 (2)若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． (3)已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【答案】(1)因为，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 取， 所以． (2)1，， (3) 【分析】（1）根据推导思路，将，，代入，得到，结合得出，即可求出； （2）仿照所给方法求解即可； （3）由，得到，根据得到，代入，求出a的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：利用此图解法解方程，那么，，， ∴根据勾股定理，， 方程的正根． （3）解：如图， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 由，得， ∵， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $