25.1 一元二次方程的概念（讲义） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理定义（只含一个未知数、最高次数为2的整式方程）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）、解（根）（使方程左右相等的未知数的值），构建从定义到形式再到应用的学习支架。 该资料通过“理解要点”细化定义要素培养抽象能力，“典例剖析”结合规范解答与方法总结发展推理意识，如例1用“三看”判断方程，例3借表格数据求根。课中辅助教师系统授课，课后分层作业帮助学生巩固提升，查漏补缺。

25.1 一元二次方程的概念 讲义新知精讲 1.1 知识点1：一元二次方程的定义 【概念定义】 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程. 【符号表示/公式表达】 若关于 的方程可化为 的形式，则它是一元二次方程. 【理解要点】 ① 必须是整式方程——分母中、根号内不能含有未知数（如 不是一元二次方程）； ② 只含一个未知数（如 不是一元二次方程）； ③ 未知数的最高次数为 2，且化简后二次项系数不为 0（如 未限定 时不一定是一元二次方程）. 1.2 知识点2：一元二次方程的一般形式 【概念定义】 一般地，任何一个关于 的一元二次方程，经过整理（去括号、移项、合并同类项），都能化成 （）的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式（标准形式）. 其中 是二次项， 是一次项， 是常数项； 是二次项系数， 是一次项系数. 【符号表示/公式表达】 【理解要点】 ① 是一般形式的前提，、 可以为 0； ② 二次项系数、一次项系数、常数项都要带上它前面的符号（如 中，一次项系数是 2，常数项是 ）； ③ 整理习惯：右边化为 0，左边按降幂排列，二次项系数一般化为正数（"右化零、左降幂、二次系数化为正"）. 1.3 知识点3：一元二次方程的解（根） 【概念定义】 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【符号表示/公式表达】 若 使 成立，则 是方程 （）的根. 【理解要点】 ① 检验方法——代入法：把未知数的值代入方程左、右两边，两边相等则是方程的根，否则不是； ② 常用速判结论（将特殊值代入 ）：若 ，则必有一根 ；若 ，则必有一根 ；若 ，则必有一根 ；若 ，则必有一根 ； ③ 由根求参数：把已知根代入原方程得到关于参数的方程，解出参数后必须用 等题设条件检验取舍.典例剖析 题型一：一元二次方程的定义 例1 （26-27九年级·全国·暑假作业）下列方程中是关于 的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 紧扣定义三条件"整式方程、只含一个未知数、最高次数为 2"逐项排查；特别注意 B 中字母系数 没有限定不为 0. 【规范解答】 第1步　A：，未知数最高次数为 1，是一元一次方程，不符合； 第2步　B：，未说明 ，当 时方程不是一元二次方程，不符合； 第3步　C：，只含一个未知数 ，最高次数为 2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 第4步　D：，含有两个未知数，不符合. 故选 C. 【方法总结】 判断一元二次方程"三看"：一看是否为整式方程（分母、根号下无未知数）；二看是否只含一个未知数；三看最高次数是否为 2 且二次项系数不为 0——含字母系数时，必须先确认系数不为 0. 【变式训练1】 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】A：未知数最高次数为 3，不是；B：含 、 两个未知数，不是；C：只含一个未知数，最高次数为 2，且是整式方程，是；D：分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不是. 题型二：化成一元二次方程的一般形式 例2 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程 化为一般形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 按"去括号→合并同类项→移项"的顺序整理；注意一般形式要求右边为 0，A、B 可先排除. 【规范解答】 第1步　去括号：； 第2步　合并同类项：； 第3步　移项使右边为 0，两边同乘 把二次项系数化为正：. 故选 C. 【方法总结】 化一般形式三步曲：第1步去括号展开；第2步移项，右边归 0；第3步合并同类项、按降幂排列并把二次项系数化为正. 口诀："右化零、左降幂、二次系数化为正". 【变式训练2】 将一元二次方程 化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，，　　B．3，，1　　C．3，2，1　　D．3，2， 【答案】D 【解析】移项整理为一般形式 ，二次项系数为 3，一次项系数为 2，常数项为 （各项均带符号），故选 D. 题型三：判断是否是一元二次方程的解 例3 （25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如下表是某同学求代数式 （， 为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于 的方程 的实数根是（　　） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】 方程 等价于 ，只需在表中找出代数式 的值等于 2 时对应的 值. 【规范解答】 第1步　移项转化： ⟺ ； 第2步　读表：当 时，；当 时，； 第3步　由方程根的定义，方程的实数根为 ，. 故选 B. 【方法总结】 表格求根模型：第1步把方程移项化为"代数式=常数"；第2步在表中找出代数式的值等于该常数时 的值；第3步这些 的值即为方程的根. 【变式训练3】 已知代数式 的值如下表，则关于 的一元二次方程 的根为（　　） … 9 10 11 13 0 … 0 13 A．　　B．　　C． 或 　　D． 或 【答案】C 【解析】方程 的根，即代数式 的值为 0 时 的值. 由表知，当 或 时 ，∴方程的根为 或 ，故选 C. 题型四：由一元二次方程的定义求参数 例4 （25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知关于 的方程 是一元二次方程，则 的值为 ______． 【思路点拨】 一元二次方程要求：未知数最高次数为 2 → ；同时二次项系数不为 0 → . 两个条件缺一不可. 【规范解答】 第1步　由未知数最高次数为 2，得 ，解得 ； 第2步　由二次项系数不为 0，得 ，即 ； 第3步　综合两个条件，得 . 【答案】 【方法总结】 由定义求参数"双保险"：第1步令未知数最高次数等于 2 列方程；第2步令二次项系数不等于 0 列不等式；第3步取公共解，舍去使二次项系数为 0 的值. 【变式训练4】 若关于 的方程 是一元二次方程，则 =______． 【答案】 【解析】∵方程是一元二次方程，未知数 的最高次数为 2，∴，解得 ；此时二次项系数为 1（不为 0），符合一元二次方程的定义. 题型五：由一元二次方程的解求参数 例5 （24-25八年级下·浙江台州·期中）关于 的一元二次方程 的一个解为 1，则 =______． 【思路点拨】 把 代入方程得到关于 的方程求解；求出 后别忘了一元二次方程的前提——二次项系数 . 【规范解答】 第1步　代入：把 代入 ，得 ； 第2步　整理得 ，因式分解得 ，解得 ，； 第3步　检验：∵原方程为一元二次方程，∴二次项系数 ，即 ； 第4步　结论：. 【答案】 【方法总结】 由根求参数三步：第1步把已知根代入原方程，转化为关于参数的方程；第2步解出参数的所有可能值；第3步用"二次项系数不为 0"等题设条件检验取舍. 【变式训练5】 如果 是方程 的一个实数根，则 的值为 ______． 【答案】2027 【解析】∵ 是方程 的一个实数根，∴，即 ；∴.（整体代入，无需求出 ） 课后作业 A组 基础巩固 1．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．（26-27九年级·江苏·暑假作业）下列方程，是一元二次方程的有 ____________（填序号） ①；②；③；④． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程 化为一般形式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．（2026·广东珠海·一模）下列选项中是一元二次方程 的解是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5． 若关于 的一元二次方程 中的 ，， 满足 ，则方程必有根（　　） A．　　B．　　C．1　　D．2 6． 已知方程 的一个根是 2，则 的值为（　　） A．2　　B．1　　C．3　　D． 7． 若 ，则一元二次方程 的一个根为 ______． B组 能力提升 1．（26-27九年级·江苏·暑假作业）已知一元二次方程 （），，， 满足 ，，则一元二次方程 的根为（　　） A．， B．， C．， D．， 2． 已知关于 的一元二次方程 （ 为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的 2 倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根． 3． 解方程：解一元二次方程 时，小江同学的解法如下表所示： 小江同学： 解：，所以 或 ，所以 ，． (1) 你认为 是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2) 请选择合适的方法解原方程． 4． 如果 是关于 的一元二次方程 的一个根，求 的值及方程的另一个根． 5． 我们将关于 的一元二次方程 与 称为"同构二次方程"．比如 与 就是"同构二次方程"．已知两个关于 的一元二次方程 与 是"同构二次方程"，则 ， 的值分别为（　　） A．1，　　B．，2　　C．，4　　D．，0 附：课后作业参考答案与解析 A组 1．B　A：含 、 两个未知数，不是；B：整理为 ，只含一个未知数，最高次数为 2，是整式方程，符合定义；C：分母含未知数，不是整式方程；D：展开化简得 ，是一元一次方程. 2．①④　①只含一个未知数，最高次数为 2，是整式方程，符合；②含 、 两个未知数，不符合；③分母含未知数，不符合；④只含一个未知数，最高次数为 2，是整式方程，符合. 3．C　去括号得 ；移项得 ；合并同类项得 ．故选 C. 4．C　因式分解：，得 或 ，解得 或 ，选项中只有 . 故选 C. 5．A　当 时，代入方程左边得 ，满足方程，∴方程必有一根 . 故选 A. 6．B　把 代入原方程得 ，即 ，整理得 ，解得 . 故选 B. 7．2　当 时，，∴方程必有一根 . B组 1．D　当 时，；当 时，，∴方程的根是 ，. 故选 D. 2． 解：方程的各项系数：二次项系数为 （由一元二次方程定义，，即 ），一次项系数为 ，常数项为 . 根据题意：，解得 . 代入原方程：，整理得 . 判别式 ，∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得 或 . 3． (1) 将 代入原方程：左边 ，右边 ，∵左边≠右边，∴ 不是原方程的解； (2) ，移项得 ，因式分解得 ，∴ 或 ，解得 ，. 4． 解：∵ 是关于 的一元二次方程 的一个根， ∴代入得 ，解得 ； ∴方程为 ，即 ， ∴，解得 ，， ∴方程的另一个根为 . 5．C　由"同构二次方程"的定义， 与 是同一个方程. 展开：， 比较系数得：，且 ， 解得 ，. 故选 C. 学科网（北京）股份有限公司 $