第03讲 集合的基本运算（培优讲义）新高一数学人教A版

第03讲 集合的运算（培优讲义） 2 知识点01 交集及其运算 2 知识点02 并集及其运算 2 知识点03 补集及其运算 3 3 题型1 交集的概念及其运算 3 题型2 并集的概念及其运算 4 题型3 补集的概念及其运算 5 6 题型1 根据交集性质求集合或参数 6 题型2 根据并集性质求集合或参数 7 题型3 根据补集性质求集合或参数 7 题型4 利用Veen图求集合 8 9 10 课标要点 1.理解交集、并集、补集的概念，掌握三种集合运算的符号表达与数学语言描述； 2.能借助Venn 图、数轴直观表示集合运算，建立数形结合思想； 3.掌握交、并、补的基本运算性质，能进行混合运算； 4.理解集合包含关系与交并运算的等价转化：； 5.掌握德摩根定律，能利用补集转化复杂集合问题； 6.会结合含参数集合，根据交、并、补的结果求解参数范围，分类讨论空集。 知识点01 交集及其运算 1.定义：由所有 的元素组成的集合，叫做A与B的交集。 2.符号：，读作 “A交B”，即 3.图形表示：Venn 图中两集合重叠部分；数集常用数轴表示公共区间。 4.基本性质 练习 1．若全集，，，则（   ） A． B． C． D． 知识点02 并集及其运算 1.定义：由所有 的元素组成的集合，叫做A与B的并集。 2.符号：，读作 “A并B”，即 注：“或” 包含三种情况：只在A、只在B、同时在A和B。 3.图形表示：Venn 图中两集合全部区域；数集用数轴合并区间。 4.基本性质 练习 1．设全集，集合，则B)（    ） A． B． C． D． 知识点03 补集及其运算 1.定义：由全集U中 的所有元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U的补集。 2.符号：，读作 “U中A的补集”，即 3.图形表示：Venn 图 / 数轴中，全集内除去集合A的剩余部分。 4.基本性质 5.等价转化 6.德摩根定律 练习 1．已知全集，集合={xlx≥2}，则（ ） A． B． C． D． 题型1 交集的概念及其运算 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．若全集，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，求的子集个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧 · 列举集：找出两个集合公共元素； · 数集（不等式）：画数轴，取重叠区间； · 最终结果保证元素互异、书写规范。 题型2 并集的概念及其运算 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，则B)=（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 · 列举集：合并两个集合元素，重复元素只写一次； · 数集：数轴上合并所有覆盖区间。 题型3 补集的概念及其运算 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 3．已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 5．已知全集，集合，则B)=（   ） A． B． C． D． 6．已知全集，集合，集合，则B（     ） A． B． C． D． 7．已知全集，，，则B（     ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则B)（   ） A． B． C． D． 方法技巧 先明确全集范围，再剔除集合A中的元素； 不等式型集合，数轴上截取全集内不属于A的部分。 题型1 根据交集性质求集合或参数 1．已知集合，，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．已知集合，，AՈB={(1,3)}，则（    ） A． B． C． D．1 3．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 ：两集合无公共元素，不等式型结合数轴列不等关系； ：说明C的元素同时属于A、B，且C是二者公共部分； · 含参数时，优先讨论空集，结合集合包含关系综合分析。 题型2 根据并集性质求集合或参数 1．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，且，则_______． 3．已知集合.，求实数m的取值范围. 4．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 5．设已知集合，若，求实数a的取值范围. 6．已知集合，.若，求m的取值范围. 方法技巧 · 重要等价结论：，转化为上一讲集合包含关系问题； · 不等式集合借助数轴分析区间包含，列式求解参数； · 求出参数后检验集合元素合理性。 题型3 根据补集性质求集合或参数 1．设集合，集合． (1)若，求，∪B； (2)若，求实数a的取值范围． 2．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 3．设集合，， (1)若，求，ՈB； (2)若ՈB中只有一个整数，求实数m的取值范围． 方法技巧 · 利用还原原集合； · 紧扣全集范围，补集一定依附全集存在，审题先圈出全集U； · 混合运算（交、并、补结合）分步计算，不要跳步。 题型4 利用Veen图求集合 1．已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 2．设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 3．已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 4．如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C．AՈB) D．B∪A) 方法技巧 区分图中单独区域、重叠区域、外部区域分别对应单一集合、交集、补集； 按区域拆分元素，分步计算交、并、补，适合多集合混合运算。 1．（2023·全国甲卷数学（理）·高考真题）设全集,集合，=（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国乙卷数学（理）·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 6．已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则______． 8．已知集合，若，求实数t的取值范围. 9．已知集合，或.若，求实数的取值范围. 10．已知集合，集合或 (1)当时，求A∪B)； (2)若，求实数的取值范围. 11．记全集，已知集合，.若A∪B)=R，求的取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合的运算（培优讲义） 2 知识点01 交集及其运算 2 知识点02 并集及其运算 2 知识点03 补集及其运算 3 4 题型1 交集的概念及其运算 4 题型2 并集的概念及其运算 5 题型3 补集的概念及其运算 6 8 题型1 根据交集性质求集合或参数 8 题型2 根据并集性质求集合或参数 10 题型3 根据补集性质求集合或参数 13 题型4 利用Veen图求集合 15 17 18 课标要点 1.理解交集、并集、补集的概念，掌握三种集合运算的符号表达与数学语言描述； 2.能借助Venn 图、数轴直观表示集合运算，建立数形结合思想； 3.掌握交、并、补的基本运算性质，能进行混合运算； 4.理解集合包含关系与交并运算的等价转化：； 5.掌握德摩根定律，能利用补集转化复杂集合问题； 6.会结合含参数集合，根据交、并、补的结果求解参数范围，分类讨论空集。 知识点01 交集及其运算 1.定义：由所有既属于集合A又属于集合B 的元素组成的集合，叫做A与B的交集。 2.符号：，读作 “A交B”，即 3.图形表示：Venn 图中两集合重叠部分；数集常用数轴表示公共区间。 4.基本性质 练习 1．若全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由补集的定义及交集的定义可得. 【详解】因为全集，，所以， 因此． 知识点02 并集及其运算 1.定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集。 2.符号：，读作 “A并B”，即 注：“或” 包含三种情况：只在A、只在B、同时在A和B。 3.图形表示：Venn 图中两集合全部区域；数集用数轴合并区间。 4.基本性质 练习 1．设全集，集合，则B)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，所以. 知识点03 补集及其运算 1.定义：由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U的补集。 2.符号：，读作 “U中A的补集”，即 3.图形表示：Venn 图 / 数轴中，全集内除去集合A的剩余部分。 4.基本性质 5.等价转化 6.德摩根定律 练习 1．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义，由集合在全集下的补集直接求解集合. 【详解】已知，，则不属于的实数满足，即. 题型1 交集的概念及其运算 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 2．若全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由补集的定义及交集的定义可得. 【详解】因为全集，，所以， 因此． 3．已知集合，集合，求的子集个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，解得或， 因为，解得，所以， 所以，有2个子集. 方法技巧 · 列举集：找出两个集合公共元素； · 数集（不等式）：画数轴，取重叠区间； · 最终结果保证元素互异、书写规范。 题型2 并集的概念及其运算 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据并集的定义，. 2．设全集，集合，则B)=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，所以. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 则. 方法技巧 · 列举集：合并两个集合元素，重复元素只写一次； · 数集：数轴上合并所有覆盖区间。 题型3 补集的概念及其运算 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 2．已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由正整数集的定义结合补集的运算即可求解. 【详解】由题意得 则共5个元素. 3．已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集，则集合为. 4．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义，由集合在全集下的补集直接求解集合. 【详解】已知，，则不属于的实数满足，即. 5．已知全集，集合，则B)=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则， 所以. 6．已知全集，集合，集合，则B（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 7．已知全集，，，则B（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，故. 8．已知集合，，则B)（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 所以． 方法技巧 先明确全集范围，再剔除集合A中的元素； 不等式型集合，数轴上截取全集内不属于A的部分。 题型1 根据交集性质求集合或参数 1．已知集合，，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【详解】已知，，说明只有是和的公共元素， 则，又因为，元素， 因此. 2．已知集合，，AՈB={(1,3)}，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用交集的性质可知点同时属于集合A和B，将该点代入两个集合对应的方程求解即可得到b的值. 【详解】由可得，点同时满足集合、的对应函数方程， 将代入的方程，得，解得； 将和代入的方程， 得，解得， 因此. 3．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 4．已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】已知集合，，， 则或. 若，因式分解为，解得或. 两种解都满足集合元素互异性. 若，整理得，判别式，无实数解. 故实数的所有取值之和为. 5．已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， . 方法技巧 ：两集合无公共元素，不等式型结合数轴列不等关系； ：说明C的元素同时属于A、B，且C是二者公共部分； · 含参数时，优先讨论空集，结合集合包含关系综合分析。 题型2 根据并集性质求集合或参数 1．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 2．已知集合，且，则_______． 【答案】1 【详解】因为，所以，即中的所有元素都属于， 因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则集合中的元素不满足互异性， 综上，. 3．已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 4．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 5．设已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论集合是否为空集并将结果取并集即可. 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即， 所以，解得； 所以实数的取值范围是. 6．已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 方法技巧 · 重要等价结论：，转化为上一讲集合包含关系问题； · 不等式集合借助数轴分析区间包含，列式求解参数； · 求出参数后检验集合元素合理性。 题型3 根据补集性质求集合或参数 1．设集合，集合． (1)若，求，∪B； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1), (2) 【详解】（1）当时，， 所以=(0,5)， 又， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围. 2．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 3．设集合，， (1)若，求，ՈB； (2)若ՈB中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 方法技巧 · 利用还原原集合； · 紧扣全集范围，补集一定依附全集存在，审题先圈出全集U； · 混合运算（交、并、补结合）分步计算，不要跳步。 题型4 利用Veen图求集合 1．已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 2．设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以. 分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分. 因此阴影部分表示集合. 3．已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 4．如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C．AՈB) D．B∪A) 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 方法技巧 区分图中单独区域、重叠区域、外部区域分别对应单一集合、交集、补集； 按区域拆分元素，分步计算交、并、补，适合多集合混合运算。 1．（2023·全国甲卷数学（理）·高考真题）设全集,集合，=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 2．（2023·全国乙卷数学（理）·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，而， 则. 2．设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以， 所以. 3．已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，，不含 ， 不满足，故选项A错误； 选项B，，不含， ， 不满足，故选项B错误； 选项C，，不含， ， 不满足，故选项C错误； 选项D，，同时含， ， 满足，故选项D正确. 4．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以． 5．已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 6．已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 7．已知集合，，若，则______． 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，此时，即； 当时，，此时，所以成立； 当时，，此时，即. 8．已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 9．已知集合，或.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 10．已知集合，集合或 (1)当时，求A∪B)； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出时集合，再根据补集与并集的定义求解即可； （2）根据得到集合A与集合B没有公共元素，分类讨论求出的范围． 【详解】（1）时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； （2），或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 11．记全集，已知集合，.若A∪B)=R，求的取值范围. 【答案】 【分析】由补集的运算性质先求出，结合即可求解的取值范围. 【详解】依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $