辽宁省实验中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

辽宁省实验中学2025-2026学年度下学期期末考试 高一年级数学试卷参考答案 考试时间：120分钟试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. ACDC BCAB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AB 10.BD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 86: 12V5-10m 12.2525:13. 3；14 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 1分 又由2a-6.6)2,i-8j6=2a6-6>0 g2（23(2)-4+r）=r+a-6>0 解得3-V5<t<3+V5 5分 f(a)=2sin +a +3-4cos'a (2)由t=1得 (6 2 21 2sin a +3-4x1+cosa 2 π =3sina-cosa+1=2sin a- +1 6 7分 f0+-=2n0+1=4+ .·sina=2v5 5,又0是锐角，所以tan0=2,9分 5 tan⑩= =3 os2p=-4 4 又 5且P是锐角，所以 1+5) 11分 2+3 a(0+o)二2x3-,又8+p∈(0，)，所以 =-1 +o=37 所 4 13分 16.(15分) 【答案】(I)证明：：AB,CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD, E F D A B D 又AB丈平面CDEF, CDC平面CDEF ∴.AB∥平面CDFE 2分 :EF是面ABFE与面CDEF的交线， ABC平面ABFE ∴.ABEF. 4分 'AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外， ∴.EF∥面ABCD.7分 (2)由 G-BC.BCBC,知岛为BF市点，从百48为快形EFB4位线，街似EF=2, 且EF到平面ABCD距离为28分 过F作平面FMNI平面EAD,分别交AB,CD于M,N,交AB,CD于M,N则多面体 EFCBAD被分成三棱柱FMN-EAD和四棱锥F-BCNM 9分 M -cw=BM-BC2=×6×4x2=16 3 10分 BM=3 VB-FMN=1 由于MA,所以B到平面FMN的距离与M到平面EAD的距离之比为3，所以'wN-EAD 又'-pw=yaw=ac= 2w=8 所以'FN-EAD=8 12分 由于A是AE的中点，所以 MMw-4a=awED三6 VNCB-MINCB-8 F-BCWM =14 所以该六面体体积为'MXGB-MCB+'MNM-4DA=20 15分 17.(15分) sinB=cosA=sin (1)由题意， C B M B=元-AA+B= 由sinB=CosA>0,所以A为锐角，又AC<BC,所以B<A.所以2，即 2 Csπ 2.△ABC为直角三角形.3分 又由C=2,c=25,得m4=5,4-,8=8 64分 从而在△ACM中， CM AC √3 CM=- π sin 3 sin 由正弦定理得 (3 +C ,即 (3+a sin CN BC ∠BCW-π sin- s咖/ π -a+ 在△BCN中， ,由正弦定理得 6 3 6 Cw=3 cosa 6分 SACMN =CM-CN sin 3 3 2 6 4sinπ +cosa4V3。I 3 所以 29 3 3 +3cos2a+sin2a 3+2sin 2a+ 3 S= 即 所以3 所uSe[6-55] 9分 (2)由(1)知∠ACM=a,当 AM=46 ”3 BN S△cAM= 时， AJ6SC 3 4cama-gceng 因为BC=V3AC, 4√2CW.sin 所以 -a-Cat-sina 11分 CM= 5 sin CN=3 cosa, π √3sin - 4V2 （3 3sina cosa sin + 所以 3 即 13分 整理得：√2sin2a+sinacosa-3V2cos2a=0, 两边同除以cos2a,得V2tan2a+tana-3V2=0, 解得tana=V2或 anas-32 2(舍去)， os∠ACM=cosa= 此时 3 15分 18.(17分) (I)证明：在三棱柱ABC-4B,C中，取AC的中点H,连接AH,HD,AC, 因为H、D分别为AC,BC的中点，所以HDAB,所以HDIA B,所以平面AHDB即为平面 ABD 因为△44C为正三角形，所以4HLAC 又B在平面ACCA内的射影在线段AC上， 所以平面ACCA上平面ABC,1分 又平面ACC,4∩平面ABC=AC, AHC平面ACCA,所以AH⊥平面ABC, 所以AH⊥BC 2分 C=2BC=2 -AB 在△ABC中，由 3得AB2+BC2=AC2, 从而AB⊥BC, 因为HDIIAB,所以BC⊥HD,3分 因为AHOHD=H,AHc平面AHDB,HDc平面AHDB, 所以BC⊥平面4HDB,4分 又BCc平面B,CC,所以平面4HDB1平面BB,CC, 即平面AB,DL平面BB,CC.5分 A (2)设A4=4,则4AC=4H,BC=21,AB=23 作AK IBD于K,由平面ABDL平面BB,CC 平面4B,D∩平面BB,CC=B,D 所以AK1平面BCCB, 所以∠ADK即为AD与平面BB,CC所成的角 7分 如图所示，在直角梯形ABDH中，4B=2W31,HD=V5,AH=2W5t,作DM⊥AB于M, 则 DMAH,又AMHD,所以四边形4MDH为平行四边形，所以 AM=DH-34B=MB=31 MD=AH=23 A M K H D BD=VMD2+BM=23+3=15=4D 又△DMBP△AKB, AK_DM ,4K=4BDM_23x23_4VI5 所以4BDB,即 DB V15t5 所以在Rt△AKD中， 4v15 sin∠ADK=AK_ 5 4 4D 5-5 9分 (3)略 19.(17分) 解(1)由题意，此时人()=cosx+c0s2x+c0s3x,它的一个周期为T=2元，2分 Cosx+cos3x+cos2x=cos(2x-x)+cos(2x+x)+cos2x cos 2x cosx+sin 2xsinx+cos 2xcosx-sin 2xsinx+cos 2x, =2cos2xcosx+cos 2x=cos 2x(2cosx+1) 2x=π sπ 所以cos2x=0,所以2，即4 π 4分 2n=1,4=1,8)-cs(2x+-m,网孕】 sπ 2x2+0=k 又由8(x)图象关于直线6对称，所以6 ，k∈乙，即9 o=kn-3,keZ, = 所以3， 6分 t=2x-π∈「5π t+ X=- 3 所以 332),则2由“ π17π g(x)在区间 ∈ 312上恰有三个零点，，”，不妨设<<， π5π 得“方程cost=m在区间L3’2 上恰有三个不同实数根，2，”，7分 而y=cost的图象如下： ππ π5π t2+ t∈ 3 3 x2+=2 37π 从而3'2)，由图得，4+4=4红，所以 2 3’12 2 3, 8π11π +x2+为3∈ 即 3’4, 8分 √23 sin(x+x2+x3)E 综上， 2’2 9分 (3)略 辽宁省实验中学2025—2026学年度下学期期末考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（ ） A． B． C． D． 2．已知函数在上是增函数，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则（ ） A． B． C． D． 4．一个圆台的轴截面是一个底角为的等腰梯形，则这个圆台的侧面积与轴截面面积的比值为（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．已知正三棱台上下底面边长分别为2，4，高为2，则它的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．如图，水平地面上有两座高塔，为测量塔高，选择水平地面上一点和另一座塔的塔顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．现已知塔高，则塔高（ ） A． B． C． D． 8．已知是圆的内接三角形，若，且的最大值为3，则圆的半径为（ ） A．3 B． C． D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．， C．若，则 D．若，则 10．如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（ ） A．平面平面 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得平面平面 11．如图，在平面直角坐标系中，已知、、、．有一封闭图形，其中图形第一、三象限的部分为线段、，第二、四象限的部分为两段圆心在原点，半径为1的圆弧．角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形交于点，点的横坐标关于的函数记为，则下列说法正确的是（ ） A．是偶函数 B．函数没有对称中心 C．的解集为 D．函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则的值为________． 13．一个正三棱柱的底面边长为，侧棱长为4，其内部有一个半径为1的能自由滚动的球，则在该三棱柱内，球任意滚动过程中始终不能到达的部分的体积为__________． 14．已知，，设，若对每个实数，的元素不超过2个，且存在使有2个元素，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量，，设函数． （1）若，与的夹角小于，求的取值范围； （2）若，，，，，求． 16．（15分） 如图，在六面体中，上、下底面平行且均为矩形，侧棱延长后相交于，两点． （1）证明：平面； （2）若，，，，平面与平面的距离为1，求六面体的体积． 17．（15分） 已知中，，，，、为线段上两点，在线段上，． （1）设，将的面积表示为的函数，并求其值域； （2）若，求． 18．（17分） 如图，在三棱柱中，为正三角形，，在平面内的射影在线段上，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）为线段上的动点，已知的最小值为，记四面体与四面体的公共部分为，用平面去截的外接球球面，求所得交线在侧面内的部分的弧长． 19．（17分） 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型或余弦型函数，现有某种信号的波形的数学模型为，其中，是待定系数．经研究知这个函数的图象呈现的仍是周期性变化，即是一个周期函数． （1）当，，时，写出的一个周期并求出函数在上的零点； （2）当，时，令函数，，若的图象关于直线对称，且在区间上恰有三个零点，，，求的取值范围； （3）当时，，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $