辽宁沈阳市第二中学2025-2026学年高一年级下学期期末数学试卷

沈阳二中2025—2026学年度下学期期末考试 高一（28届)数学试题答案 一、单选题： 1-5.CDBCA 6-8.DDB 二、多选题： 9.ABD 10.BCD 11.ABD 三、填空题： 3 √万 12.513.614.2 四、解答题： 15.解：(1)由题意，D,E分别为AB,AC的中点，.DE/BC, 又DEt平面BBCC,BCC平面BB,CC,∴DEW平面BB,CC, :ABAB,D为AB的中点，AB=2AB,AB,=BD,AB,lBD, ∴四边形4B,BD为平行四边形，·ADBB, 又ADt平面BB,CC,BBc平面BBCC,·AD∥平面BB,CC, 又4D04E=A,平面ADE∥平面B,CC :BCC平面BBCC,·BC∥平面ADE.6分 (2)由题意及(1)得，设△4B,G的面积为S, 则由几何知识知△ABC的面积为4S,△ADE的面积为S, 设三被台1BC-48G的高为h,则'4 _1Sh=1 3 4G-cS+4S+S×4Sh=Sh=7 .13分 ,2km-T≤2x+元≤2km+ km-sxskn+ 16.解：(1)令 2 6 2,k∈Z,得3 6,k∈Z, m、 所以/()的单调送增区间为机一3+6 6.k∈Z.4分 ∈0 2时 2x+π∈「π7m 666, 2x+ X=T (2)因为当 所以当62，即6时，f()取得最大值， =2sin2+a+1=a+3=4 即 6 ,解得a=1.9分 .π f(x)=2sin 2x+ +2=1sin2x+=-1 (3)由 6 ，可得(x+6厂2 元-1远+2km.keZ, =12kZ66 2x+ 2x+ 则66 kZ我g+m,k乙，又阳E X= 即2 πππ5π πππ5π =2,6,2,6,所以x的取值集合为262'6.15分 X=一 可解得 17.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及csin B+V3 bcosC=V3a sin Bsin C+3 sin B cosC=3sin A=3sin(B+C)=3sin BcosC+3 cos BsinC 即sin BsinC=V3 cos BsinC,而C∈(0，)，sinC≠0， ,B=π 解得tanB=V5,又B∈(0，四，所以83：4分 Bπ (2)由53及b=V5,由余弦定理得3=c2+a2-ac=(c+a-3ac,又a+c=2, 1 ac= 1 解得C3,由SA1c=SAD+S△BnC,得20 2 acsin B=c~BD-sin号 2+2aBD.sinB B 1 22 acsin -BD.(c+a)sinx 3 6,则32 =BDx2 BD=3 2,所以6；9分 BE=(BA+BC) (3)因为E是AC的中点，所以 E-厨aC4c）e+。+m3 则 b ac sin A.b 由正弦定理得， sin B sin B inCsin sinsin sin 25 sin Acos+sinsi24-co2+12sin 0<A< 2 △ABC为锐角三角形( 02t一A222下，、 3 .2-后 24-别封 所 ue-2sinle(. BE2-3+2ac797 所 444 3 所以 即边4C上的中线BE的取值范围为2'2 .15分 18.(1)证明：如图，AB=AC=2,BC=2V2AB2+AC2=BC2,即AB⊥AC 以A为原点建立空间直角坐标系，则4(0,0,2)，B(2,0,2),M(0,2,1),N11,0), 4P=元4B=(21,0,0).Ap=AA+4P=(0,0,2)+(2元，0,0)=(2元，0,2)、 即P(2元，0,2)，PW=(1-2元，l,-2),又AM=(0,2,),AM.PN=0, 所以无论乙取何值，AM⊥PN.5分 (2)假设存在，易知平面ABC的一个法向量为i=(0,0,) 因为M=4,-l,-）,P=0-21,-2), 设i=(x,y,2)是平面PMN的一个法向量. x-y-z=0 则， 0-2元)x+y-2z=0,取x=3,z=2-21,y=1+21, ∴.i=(3,1+2,2-22), |2-22 √6 .cos(,=- 9+(1+2)2+(2-2)2 6,化简得82-22元+5=0， 解得4成2-，4e0:A= 1=}= 30 ∴.存在点P使平面PMN与平面ABC所成二面角正弦值为6， 点P为4B上靠近4的四等分点.11分 (3)AM=(0,2,),AN=(,1,0),设平面AMN的一个法向量为m=(c,八，2) 2y+z=0.「z=-2y 则x+y=0,x=-y,取y=1,则x=-1,z=-2,·m=（-1,1,-2) sin @-cos<PNPNm 2(2+2) 1PNm6V-2+5,令t=元+2，te[2,3刘 .sin0=1 t 1 1 5V2r2-10t+15√5 1510 +2 时sino=2 当t=2.即元=0时，日取得最小值，此时n03.17分 19.解：(1)取BD的中点P,连接PA,PC,如图所示， p 则BD⊥PA,BD⊥PC,于是∠APC是二面角A-BD-C的平面角， AP= 2PC-6 设AB=1,则2 因为∠ABC=90°，所以AC=VAB2+BC2=V3. 1,3 Cos∠4PAP2+PC-AC=223 2AP.PC 2x2x6 3 -X 由余弦定理得 22 sin∠Arc=v6 3.4分 (2)二面角A-BD-C的平面角的大小为日， 利用三面角余弦定理得cos90°=cos45°cos60°+sin45°sin60°cos0, cos0=_13 计算得 3,6分 是cos∠AEH=-V3 sim∠AEH=6 于是 3 由于AB=4,则AE=4sin45°=2V2,AH=AEsin∠ABH=4 3， B.sin6cC+ 1 =3 32 33 32 即当BC=BD=3时，三棱锥A-BCD体积的最大值为3.10分 (3)证明：如图过射线PC上一点Q在面PAC作QM1PC交PA于点M, 在面PBC内作ON L PC交PB于点N,连接MN, 则∠MQN是二面角A-PC-B的平面角， 在△MNP中，由余弦定理得：MN2=MP2+NP2-2MP.NP·cosy, 在△MN№中，由余弦定理得：MN2=MQ+NQ-2Mg:N0·cos0, 两式相减得：MP2-M0+p2-Ng2-2MP.NP.cosy+2M0-NO.cos0=0, 则2MP.NP.cosy=2Pg2+2Mg·N0cos0 两边同除以2MP·NP,得： cosy-PtMoNo-cos0Po po M Ne cos0 cosa cos B+sina sin Bcos0 MP.NP MP NP MP NP 从而得证.17分 沈阳二中2025—2026学年度下学期期末考试 高一（28届）数学试题 说明：1．测试时间：120分钟总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷（58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A．复数的虚部是 B． C．复数的共轭复数是 D．复数对应的点位于第四象限 2．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 3．如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 4．如果是平面向量的一组基底，则“与的夹角是钝角”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 6．郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点，分别在堤坝斜面与地面上，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，二面角的大小为，则（ ） A．3 B． C． D．6 7．已知的内角，，所对的边分别为，，，对于下列判断，其中错误的是（ ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，，，则符合条件的不存在 D．若，则为等腰三角形 8．已知，，，则（ ）． A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数，则对于下列结论，其中错误的是（ ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．在中，，，，点，分别满足，，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A． B．若为直线上的动点，则为定值 C．点到平面的距离为 D．过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知角的终边过点，则__________． 13．在中，在线段上，，，，，则线段的长是__________． 14．如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点．点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积． 16．（本小题15分） 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，的最大值为4，求的值； （3）在（2）的条件下，求满足，且的的取值集合． 17．（本小题15分） 在中，内角，，的对边分别是，，，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18．（本小题17分） 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在线段上，且． （1）证明：； （2）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． （3）当取何值时，直线与平面所成角最小？ 19．（本小题17分） 如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：． （1）如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值； （2）如图3，在三棱锥中，平面，，连接，，，，，，求三棱锥体积的最大值； （3）当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． 学科网（北京）股份有限公司 $