广东汕头市澄海区2025-2026学年高一第二学期期末质量监测数学试卷

2025-2026学年度第二学期质量监测高一级试卷 数学科试题参考答案 一、 单项选择题答案(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 单选 2 3 4 6 7 8 答案 C A D A D 1.【答案】B 【详解】由A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩B={5} 2.【答案】C 【详解】由复数z=2-i,得三-2+i,所以同=V5 3.【答案】A 【详解】将题中数据按从小到大排列为10,14,16,16,19,20,40,50,则众数为16, 因为8 60%=4.8,所以第60百分位数为19,所以众数与第60百分位数之和为16+19=35 4.【答案】D 【详解】BC=OC-OB=-OA-OB=-a-b D 5.【答案】C 【详解】由5e1=3e,两边取对数得x+n5=x,+n3,则 x2-x=1n5-ln31.61-1.10=0.51 6.【答案】A 【详解】方程x2-3x-4=0的根为x=-1或4,因为0∈0,。 2 ,所以tan6>0,即tan0=4 sin0cos0tan044 sinecos0= sin8+cos20tan20+142+117 7.【答案】C 第8页,共8页 【详解】 h h 2r - 设圆台的上底面圆的半径为”,则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为2r, “圆锥的母线1=V(2)2+22=2VF2+1, :圆锥的侧面积是8V5元,∴ 2r1=85元,得r√P+1=2√5,解得r=V5; 圆台的母线1,=V(2r-)2+22=√7, 圆台侧面积为 (+2),=3 ,=3元x√5 √7=3√21元. 8.【答案】D 【样1令f==x-a小og》l-是0,得x2孩<0,腰数f儿到的 定义域为(-o,0)U(2,+o).由曲线关于直线x=b对称,得定义域关于直线x=b对称,则 b=0+2=1, 2 此时必有f(-l)=f(3),即(-1-a1log3=(3-alg:3,解得a=1, 时/2-2 -到, 因此函数f(x)的图象关于直线x=1对称,即a=1,b=1满足题意,故a-b=0. 二、多项选择题答案(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 多选题 9 10 11 答案 ABC AC BCD 9.【答案】ABC 【详解】由题意可知b∈(0,1)’ A项正确:由题意可知a∈(0,1),所以lna<0,B项正确: b(a)-母)-出汉*a=h到5联等c项E瑞 第8页,共8页 +后合引a-3台+号2.当汉当a万-162反时取年u顺 错误。 10.【答案】AC 【详都1对于A由0)=1钓09子由-受9c0符9=号 由f》-0得ceam=0.故-o+)-子+akc2, 化简得0=- 5-3k(k∈Z), 由图可知该函数的周期T=2江>? 4,故0<0<2,解得0=】 03 所以f(x)=2cos 1 故A正确; 对于B, 由f 2设0, 12 (30 不是函数的对称中心,故B错误: 对于C,由-1<x<2,可得 1<x-<1- 2323 3 -1 <1-< 鱼)<一,?<3得函数了x)在(-1,2上单调递增,故C正 对D.儿0的国架向左牛移个单位长应后闲到故了x)-2m行的离系,此 2元 时fx+ 为偶函数,故D错误.故选:AC 3 11.【答案】BCD B B 【详解】设三棱合上下底面中心分别为01,0,连接010、A101、A0。 上下底面均为正三角形,则A101-号A1B1=25A0=9AB= 已知侧棱长A1A=2,由正三棱台性质可知,0101上下底面。 在直角梯形A00,A中,00-VA4-40-A102-、2-()=2, 第8页,共8页 选项A:假设B1C1平面ACC1A1,而B1CC平面BCC1B1,则平面BCC1B11平面ACC1A1,与正 三棱台的两个相邻侧面不垂直矛盾,因此B1C不垂直于平面ACC1A1,选项A错误; 选项B:取BC中点M,B1C1中点M1,连接AM,B1M,MM1,AM1BC,MM11BC,∠AMM1为 二面角A-BC-B1平面角。 斜高MM1=、BB好-(号)2=V3,AM=23AB1=0,02+(40-9)2=V而。 由余弦定理: COS ZAMM1=2 AM-MM1 AM2+MM?-AM?1 =3 即二面角A-BC-B1的余弦值为,选项B正确; 选项C:延长AA,BB,cC交于点S由相似比0=专得SA1=SB1=SC1=2.SA=SB= SC=4。易知侧面 SAB、 SBC均为等边三角形,∠ASB=∠BSC=60 。 将侧面SAB与侧面SBC沿SB展开至同一平面,连接AC,则线段AC的长度即为AP+CP的最小值 展开后LASC=LASB+∠BSC=120 ,在 SAC中,由余弦定理: AC=SA2+SC2-2 SA SCc0s120 = 42+42-2 4 4 (-7)=43 可证AC与SB的交点恰为B1,满足点P在棱BB1上,故AP+CP的最小值为4V5,选项C正确; 选项D:正方体在棱台内能任意转动,等价于正方体的外接球完全含于棱台内部,棱台内能 容纳的最大球为其内切球。 该正三棱合斜高h=√2-(号)P=5,上下底面边心距之和为普 2+9 4=V5满足正 6 棱合内切球存在条件。 内切球直径等于棱合的高。放半径R= -5。设正方体棱长为a,由正方体外接球直径等 于体对角线,得V3a=2R, 解得a=滑- 3 即正方体棱长的最大值为 选项D正确。 故选:BCD 三、填空题答案(本大题共3小题,每小题5分,满分15分;) 题序 12 13 14 5 答案 -4 √m 6 12.【答案】 -4 【详解】向量 =(1,2),万=(3,k),所以a+b=(4,2+k), 若a1(a+b),则a-(a+b)=4+2(2+k)=0,解得k=-4. 第8页,共8页 13.【答案】号 【详解】甲猜错概率:1-号片乙猜错概率:1-京两人全猜错概率: 言 至少猜中1道概率:1-言号 14.【答案】√2元 【详解】因为∠BAC=∠B,AB=二,则M的轨迹为如图以A为顶点,AB为高,AC,AB,为 4 母线的圆锥侧面的},又因为母线4C=2√反 4 则点M的轨迹所形成图形的面积为:r BCAC=√2, D B A 6 四、解答题:本大题共5小题,共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 15.(1)解:因为Ce(0,元),则sinC>0, 1分 由已知可得2 sin C cosC=sinC, 3分 可得cosC= 4分 因此,C-号 -6分 (2)解:由三角形的面积公式可得8 absinC-Va=65, 8分 解得a=4..- 9分 由余弦定理可得c2=d2+b2-2 b cosC=16+9-2 4 3 11分 c=V13, 12分 所以, ABC的周长为a+b+c=7+√13 13分 16.解(1)由题意得 (0.005+0.010+0.015+a+0.025+a+0.005) 10=1, 2分 第8页,共8页 解得a=0.02- 4分 (2)平均分为: 55 0.05+65 0.1+75 0.15+85 0.2+95 0.25+105 0.2+115 0.05=88.- 8分 (3)由直方图可知,成绩在[110,120]内的频率为0.05,- 9分 成绩在内[100,110)的频率为0.2, 10分 因为800-728=0.09>0.05 11分 800 设复赛最低分数线为n,则n位于区间100,110)内,- 12分 故n=110-0.09-0.05 10=108.- 14分 0.2 因此,根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线为108. 15分 3 17.解(1)由题意有f(x)=3 sin x cos x-√5cos'x+ 2 1分 2. 2分 cos2x-5m2- 令、 2kn52x-7s2k:kez, 3分 2 6-2 解得-兀+k红≤x≤亚+k ,k∈Z 4分 6 3 所以员数)的单词适神区同是名+c,胥+ke 5分 (2)令2x-=匹+,k∈Z, 6分 62 所以x=7+你,keZ, 7分 32 当k=0时,x= 3 8分 所以的最小值为二; 9分 ed小-9-如4点里m4-8片- 10分 由04经有吾21君受所以24名-名即4君 11分 66 66 又A+B+C=,所以B+C= 6 第8页,共8页 0<B< 2 又因为ABC为锐角三角形,所以{0<C< 即<B< 12分 B+C= 5 6 所以元<2B-元<5r 2 66 所m28 6/1, 13分 所55a2B5 14分 2 所以f(B)的取值范围为 15分 18.(1)证明:连接AD,与AD交于点E,连接BC1, D B A E为 B 因为O为侧面BCC,B,的中心,所以O为BC的中点, 连接OE,因为AB/ICD,CD/CD,且AB=CD,CD=CD, 所以AB/CD,且AB=CD, 则四边形ABC,D,为平行四边形, 3分 因为E为AD,的中点,易知AB/1OE, 3分 又AB丈平面ADO,OEc平面ADO, 4分 故AB/I平面ADO 5分 (2)连接B,C,则BC BC1=O,则BO⊥B,C, 6分 易知四边形AB,CD为平行四边形, 在正方体ABCD-AB,CD中,AB⊥平面BCC1B, 又BOC平面BCCB,所以AB,⊥BO, 7分 第8页,共8页 因为AB,∩B,C=B, 故BOL平面AB,CD,即BO⊥平面ADO, 8分 所以∠BAO为直线AB与平面ADO所成的角, 9分 在Rta4BO中,易求4B=VF+年=45,B0=BC,=2N2 所以sn∠B4O=! 10分 则∠B4O= 6 故直线AB与平面ADO所成角的大小为 6 11分 (3)设三棱锥A-ADO的外接球的球心为M,半径为R, 因为 AAD的外接圆的圆心为E,所以ME⊥平面AAD,- 12分 由(1)可知,AB/OE,AB⊥平面AAD,所以OE⊥平面AAD,- 13分 因此球心M在线段OE上, 14分 易求4E=2√2,OB=4,由R2=2√2}+(4-R, 15分 解得R=3, 16分 故三棱锥A-ADO的外接球的体积为VM= 2R3=36元. 17分 19.解:(1)判断g(x)在(0,+o)上单调递增. 3分 (2)因为 f)e+h时1-C-21<5-h21en75x132063-1-031<0 4 5分 f(1)=2e+lml-1=2e-1>0. 6分 所以0<0,由西数零点存在定理可知,函数f()在行 内存在零点x,- 7分 8分 因为(x+)e+lnx-1=0台x,(+1)e=1-lnx 9分 令x(+1)e5=hge(飞+1)el=e1me 第8页,共8页 te-m)=gin 10分 3)由a,e3以x13习,h号eh2. 11分 又因为g(:+1)=g血。,且g(r)在(0,+m)上单调递增, 所以6+l=lh=1-n6,即5=1n5,e= 13分 x 所以2xe-+0-飞-1≥0台ks2es-1+1-1=2+5+1-1=飞+ 15分 由对勾函数的性质可知, M)在行 上单调递减, 所以h(1)<h(x)< 3 16分 所以要使k≤h(x,),则整数k的最大值为3, 17分 第8页,共8页2025-2026学年度第二学期质量监测高一级试卷 数学科 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。 1.已知A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩B=() A.{2 B.{5} c.{4} D.35} 2.若复数z=2-i,则=（) A.√2 B.3 c.5 D.5 3.一组数据为50,40,20,19,16,16,14,10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为() A.35 B.36 C.39 D.40 4.已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,设OA=ā，OB=b,则BC=() A.a+b B.a-b C.B-a D.-a-b 5.若实数x1,x2满足5e=3e,则与x3-的值最接近的是() (参考数据：1n2≈0.69，n3≈1.10，n5≈1.61) A.0.26 B.0.41 C.0.51 D.1.10 6.若8∈0， 2 tan0是方程x2-3x-4=0的一个根，则sin0cos0=() 4 4 A. 17 4 D 1 7.己知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1：2， 圆锥的侧面积是8√3π，则该圆台的侧面积是() A.37元 B.√21元 C.3W21元 D.63m &.若曲线y=(x-alog2 1-3 关于直线x=b对称，则a-b=() A.-2 B.2 C.1 D.0 高一数学科（第1页，共4页) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是() A.0<b<1 B.Ina<o c.absI D.- 4 n1+2≤3+22 a b 10知图是函数f(x)=20os(®x+j(@>0,于<p<0)的部分图象，则下列结论正确的是（) A.f(x)=2cos 3 B.f(x)的图象关于 -,0 中心对称 2 C.f(x)在(-1,2)上单调递增 D.f(x)的图象向左平移2 个单位长度后为奇函数 3 11.如图，正三棱台ABC-AB,C的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是2，则() A.BC⊥平面ACC1A B B二面角4-8C-8的余弦值为} C.若点P在棱BB1上，则AP+CP的最小值为4w3 A D.若该棱台内有一个正方体，且该正方体在棱台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为 3 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(1,2),b=(3,k),若a⊥(a+b),则k= 13.澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级 非遗澄海灯谜。甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜。已 知甲猪中灯谜的概率为号，乙猫中灯储的概率为】·两人箱中与香五不影响。则“红头船队”在播台竞 3 猜中至少猜中1道灯谜的概率为 14.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D1中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线AM与AB的夹 角为不，则点M的轨迹形成图形的面积为 4 高一数学科（第2页，共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)在△ABC中，sin2C=sinC. (1)求∠C: (2)若b=3,且△ABC的面积为3V3,求△ABC的周长. 16.(本小题满分15分)某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进 行适当分组，得到如下频率分布直方图 频率组距 0025------------ a 0.015 0.010 0.005 05060708090100110120分数 (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计这100名学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）： (3)若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线， 高一数学科（第3页，共4页) 1（本小恶满分15分)已知函数f()=35 sin xco-V5cosx+5 2 (1)求函数f(x)的单调递增区间： (2)若直线x=m是函数f(x)图象的对称轴（其中是正实数），求m的最小值： 8)者锁角a4Bc清足f儿)-9求f代到的取值范阳 18.(本小题满分17分)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B,C1D,中，O为侧面BCCB,的中心 (1)证明：AB//平面ADO: D B (2)求直线AB与平面ADO所成角的大小： 20 (3)求三棱锥A-ADO的外接球的体积. D C B 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=（x2+x)e+lnx-1,g(x)=xe,(其中e是自然对数的底数) (1)判断函数g(x)在(0，+o)上的单调性（不必证明）； (2)求证：函数f()在2内存在零点，且&(：+1)=8 e (3)在(2)的条件下，求使不等式2xeo-nx。+(1-k)x,-1≥0成立的整数k的最大值. (参考数据：1n2≈0.693，√3≈1.732) 高一数学科（第4页，共4页)