广东汕头市澄海实验高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 澄海实验高中高一级数学期中试卷，以复数、立体几何、向量等知识为载体，通过正四棱台实际应用、斜坐标系创新设计，考查空间观念、运算能力与模型观念，体现知识整合与素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数象限、直观图还原、向量条件判断|基础概念与空间想象结合，如第2题直观图原图形边长计算| |多选|3/18|向量性质、不等式解集、三角形判定|多角度辨析，如第11题结合正弦定理与三角恒等变换判定等腰三角形| |填空|3/15|圆锥侧面积、正方体截面周长|空间几何计算，如第14题正方体截面图形周长求解| |解答|5/77|正四棱台表面积与体积、三角形面积最值、斜坐标系应用|综合应用与创新，如16题铁料打磨圆台体积（空间几何与实际应用）、19题斜坐标系向量运算（创新情境）|

澄海实验高中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一级数学科试卷 1、 单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形中最长的边长等于（   ） A．2 B． C． D． 3．若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若异面直线m，n分别在平面，内，且，则直线l（    ） A．与直线m，n都相交 B．可能与m，n都平行 C．与m，n中的一条相交，另一条平行 D．至少与m，n中的一条相交 5．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，， 则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．9 二、多项选择题（本大题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．计算：__________. 13．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________． 14．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 四、解答题（本大题共5题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分13分) 已知复数，i为虚数单位． (1)求z的共轭复数； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 16.（本题满分15分） 如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm，，O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm. (1)求正四棱台的表面积； (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积. 17.(本小题满分15分) 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若M为的中点，，求面积的最大值． 18.(本小题满分17分) 已知函数． (1)求的最小值； (2)将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 19.(本小题满分17分) 如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条射线，，分别为Ox，Oy同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． (1)在斜坐标系中，，求； (2)在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②A，B分别在射线Ox，Oy上，，E，F为线段AB上两点，且，，求的最小值． 澄海实验高中2025-2026学年度第二次学期期中考试 高一级数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D A D A C 一．单项选择题答案：(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 二．多项选择题答案：(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 题号 9 10 11 答案 ABC ACD ABD 三．填空题答案：(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12． 13． 14． 四．解答题答案：(本题共5题，共77分) 15．【详解】（1）因为，.…5分（分子分母同除以分母的共轭复数给1分，分母计算正确给2分，加法运算结果给2分） 所以z的共轭复数.….…7分 （2）由题意可知：、是方程的根，.….…9分 则，.….…11分 即..….…13分 （另外一种解法：把复数代入方程给1分，整理成复数代数形式给1分，根据复数相等列方程组给2分，解得正确结果给2分） 16．【详解】（1）如图，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形， 分别取的中点为，连接， 过点M作于H， 则， 故，.….…3分 所以正四棱台的表面积为；.….…8分 （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为20cm，下底面半径为40cm，高为60cm，.….…10分 则圆台的体积为..….…15分 （提醒：表面积、体积列式正确给3分，结果给2分，没有单位的整个题扣1分） 17． 【详解】（1）解法一：因为， 由正弦定理得：，..….…2分 所以， 因为， 所以， 为，..….…5分 所以．..….…7分 解法二：因为， 由余弦定理得：，..….…2分 整理得， 即， 又由余弦定理得 所以，..….…5分 因为， 所以．..….…7分 （温馨提醒：边角互化没有过程但有写由正弦定理得不用扣分，如果都没有扣1分，，，没写各扣1分） （2）解法一：因为M为的中点， 所以，..….…9分 所以， 即， 即，..….…11分 而， 所以即，当且仅当时等号成立..….…13分 所以的面积为． 即的面积的最大值为．..….…15分 解法二：设， 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以..….…9分 所以①+②式得．③ 在中，由余弦定理得， 而，所以，④ 联立③④得：，即，..….…11分 而， 所以，即，当且仅当时等号成立．..….…13分 所以的面积为． 即的面积的最大值为．..….…15分 （温馨提醒：没写当且仅当扣1分） 18．【详解】（1）由，..….…3分 所以（当即，时取等号）. ..….…5分 （2）将的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象； 再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ...….…7分 由，，. 所以函数的单调递减区间为：，...….…10分 （温馨提醒：没写扣1分） （3）因为，， ...….…11分 所以可化为. 设，因为，所以，所以，即， 则，....….…12分 要使原方程在上有四个不同的实数根，等价于方程在上有两个不同的实数根. ...….…14分 设， 由. 即实数的取值范围为....….…17分 19． 【详解】（1）因为，所以，...….…2分 所以，...….…4分 所以．...….…5分 （2）①因为，， 所以，， 得到， 则，...….…8分 化简并整理得， 解得或（舍去），则．...….…10分 ②依题意设，，，...….…11分 如图，作出符合题意的图形， 因为为中点，则， 同理， 则 ，..….…12分 在中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得，..….…13分 所以 ，..….…14分 在中，，， 由正弦定理， 设，则，， ，..….…16分 因为，所以，则， 所以当时，取得最小值， 即取最小值，此时取最小值．..….…17分 共4页 第 页1 学科网（北京）股份有限公司 $