精品解析：2023年上海地区高中自主招生数学全真模拟试卷（七）

自主招生数学全真模拟试卷（七） 一．填空题 1. 如图，在中，，，，为内角平分线，以为弦作一圆与相切，且与、分别交于点M、N，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】连接,延长交圆于点,过点作,,过点作,根据直径所对的圆周角为可知，进而根据相切的性质，即可同角的余角相等可知，根据同弧所对的圆周角相等可知，，即可证，根据等面积法可知的长度，进而证明，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接,延长交圆于点,过点作,,过点作, ∵是圆的直径， ∴， ∴, ∵与圆相切， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴, ∵，， ∴ ∵， ∴, ∵ ∴, ∴, ∴ ∴ ∴ ∴． 2. 如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 【答案】9 【解析】 【分析】先证明点O是的内心，根据三角形的内心到三边距离相等，该距离为的内切圆半径，得出，即可解决问题． 【详解】如图，连接、、、、， 由知O在的垂直平分线上， 又，则平分， 同理平分，故O是的内心， 到的三边距离均与的内切圆的半径相等， 半径， 故所求之和为9． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内切圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 3. 对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】分别作出的图象，由图象知的最大值． 【详解】解：作出的图象， ， 如图，实线部分即的函数图象， ， 解得或 当时，， 所以的最大值为． 4. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 5. 设实数x不等于0和1和，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】将化简为，令，可得可取每一个非零实数，再将原式变形为，根据题意可得，即可求得的取值范围． 【详解】解：， 令，则， 其判别式，可知可取每一个非零实数， ，则， 判别式， 根据题意可得中，， 即， 可得或， 所以的取值范围是或． 6. 已知是非负实数，且，M是的最大值，则M的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，，，然后三式相加得，进而问题可求解． 【详解】解：依题意有，，， 三式相加得， ∵是非负实数， ∴， 当时，此时， 故M的最小值为． 7. 从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 【答案】22 【解析】 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 8. 在矩形中，，从中点射出的光线到达边的点经反射到达边上的点，再经反射到达边上的点，最后经反射到达边上的点，若，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】考虑两种情况，即当点在点右侧时或当点在点左侧时，画出图形，可得，设，列方程即可解答． 【详解】当点在点右侧时，如图， 根据反射角等于入射角，可得， 在矩形中，， ， ， 为的中点， ， 设，则, ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， 解得， ； 当点在点左侧时，如图， 同理可得， ， ， ， 解得， ； 综上，或． 二．解答题 9. 已知正方形的边长为，为正方形内一点，且，，求的长． 【答案】或 【解析】 【分析】作于点，于点，连接，证明四边形是矩形，设，， 利用勾股定理可解得，，继续使用勾股定理即可求解的长． 【详解】如图，作于点，于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，， 在和中， 由勾股定理得， 解得， 代入得或； 当时，，得； 当时，，得， 综上，的长为或． 10. 用表示不超过x的最大整数（如)，设实数x不为整数，且，求x的值． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程化为，再根据题意可得，即，根据，求得的值即可解答． 【详解】解： ， ， x不是整数， ， ， ， 表示不超过x的最大整数， ， 当时， 可得， 为整数，且， 在中没有符合题意的值； 当时， 可得； 为整数，且， 在中只有符合条件， ，． 11. 已知m、n都是实数，且，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】将进行因式分解，变形为，再分别求解即可． 【详解】解： ， ， 可得或， 当时，； 当时，， ，， 综上，的值为或． 12. 如图所示，在中，边上依次有B、D、E、C，边上依次有A、G、F、C，满足，，交于点J，交于点I，交于点K，交于点H，且，求． 【答案】 【解析】 【分析】作平行线和，根据平行线分线段成比例定理列比例式得：，，从而得：，，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可以得出，，作差可得． 【详解】解：过G作，交于P，于Q，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，即， ∴， 同理可得：， ∴， 过F作，交于M，于N， 同理得：， ∵， ∴， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自主招生数学全真模拟试卷（七） 一．填空题 1. 如图，在中，，，，为内角平分线，以为弦作一圆与相切，且与、分别交于点M、N，则________． 2. 如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 3. 对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 4. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 5. 设实数x不等于0和1和，则的取值范围是________． 6. 已知是非负实数，且，M是的最大值，则M的最小值为_________． 7. 从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 8. 在矩形中，，从中点射出的光线到达边的点经反射到达边上的点，再经反射到达边上的点，最后经反射到达边上的点，若，则_________． 二．解答题 9. 已知正方形的边长为，为正方形内一点，且，，求的长． 10. 用表示不超过x的最大整数（如)，设实数x不为整数，且，求x的值． 11. 已知m、n都是实数，且，求的值． 12. 如图所示，在中，边上依次有B、D、E、C，边上依次有A、G、F、C，满足，，交于点J，交于点I，交于点K，交于点H，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $