精品解析：上海市金山初级中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学卷

2023学年第一学期阶段诊断评估 九年级数学试卷 （满分：150分 完卷时间：100分钟） 2023.10 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在中，点、分别在边上，，那么下列条件中能够判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据给出的条件证明，根据相似三角形的性质得到，证明． 【详解】解：要判断， 则要证明， 当，，时，不能得到， ∴不能得到， ∴不能判断， 故选项A、B、C不符合题意， 当时， ∵ ， ， ， ∴， ， ∴， 故选项D可以判断， 故选：D． 2. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可. 本题考查了三角形相似的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积比为. 故选：A. 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等腰三角形都相似 B. 等边三角形都相似 C. 锐角三角形都相似 D. 直角三角形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、等腰三角形不一定相似，是假命题，故A选项错误； B、等边三角形都相似，是真命题，故B选项正确； C、锐角三角形不一定都相似，是假命题，故C选项错误； D、直角三角形不一定都相似，是假命题，故D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查命题与定理；相似三角形的判定． 4. 如果向量与均为单位向量，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】单位向量的模长均为1，因此它们的模长相等. 本题考查了单位向量的意义，熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】解：∵向量与均为单位向量， ∴， ∴， 故选项C正确. 选项A、B、D均不一定成立， 故选：C. 5. 如图，已知l1∥l2∥l3 , AB=3，BC=2，CD=1，那么下列式子中不成立的是（　　） A. EC∶CG=5∶1； B. EF∶FG=1∶1； C. EF∶FC=3∶2； D. EF∶EG=3∶5． 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得AB:BC=EF:FC，AC:CD=EC:CG，AB:BD=EF:FG，AB:AD=EF:EG；根据AB=3，BC=2，CD=1，分别求出以上的比例，即可得出答案. 【详解】∵l1∥l2∥l3 ∴AB:BC=EF:FC，AC:CD=EC:CG，AB:BD=EF:FG，AB:AD=EF:EG. ∵AB=3，BC=2，CD=1， ∴AC=5，BD=3，AD=6， ∴AB:BC=3:2，AC:CD=5:1，AB:BD=1:1，AB:AD=1:2， ∴EF:FC=3:2，EC:CG=5:1，EF:FG=1:1，EF:EG=1:2. 故选D. 【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于结合实际运用平行线分线段成比例定理. 6. 如图，已知为的角平分线，，如果，那么的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平分，得到，结合得到，得到继而得到，结合，就可以证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的加法性质，将拆分为，再代入已知条件计算． 本题考查了分式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 8. 在比例尺为1﹕的地图上量出、两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是_______________千米． 【答案】6 【解析】 【分析】设A、B两地间的实际距离是xcm，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再进行单位换算化为千米即可． 【详解】解：设A、B两地间的实际距离是xcm，根据题意得： 12：x=1：50000， 解得：x=600000， ∵1km=1000m=1000×100cm=100000cm ∴600000cm÷100000=6km． 故答案为6． 【点睛】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 9. 已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项是________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段比例中项的概念，可得，即得，从而可求b的值． 【详解】∵线段是线段和线段的比例中项， ∴，即， ∴厘米（负值舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应求平方根．求两条线段的比例中项的时候，应求算术平方根． 10. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，且，得出，代入 即可求 ． 本题考查了黄金分割，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由于点是线段的黄金分割点，且， 因此， 故， 故答案为：． 11. 在△ABC中，经过重心G作线段DE∥BC交AB于D，交AC于E，则=________． 【答案】； 【解析】 【分析】首先根据相似三角形的判定与性质得出AG：AF＝AE：AC=DE：BC，再利用根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，即可得出答案． 【详解】 连接AG并延长到BC边上一点F， ∵在△ABC中，经过重心G作线段DE∥BC交AB于D，交AC于E， ∴△ADE∽△ABC，△AGE∽△AFC， ∴AG：AF=AE：AC，AE：AC=DE：BC， ∴DE：BC=AG：AF， ∵AG=2GF， ∴DE：BC=AG：AF= 故答案为. 【点睛】此题考查三角形的重心，解题关键在于根据三角形重心的性质列出线段比例关系. 12. 已知：△ABC和△DEF相似，对应边AB与DE之比为3：4，如果△DEF的周长为12，那么△ABC的周长是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得C△ABC：C△DEF＝3：4，又因为△DEF的周长是12，所以C△ABC：12＝3：4，即可得． 【详解】解：∵△ABC和△DEF相似，对应边AB与DE之比为3：4， ∴C△ABC：C△DEF＝3：4， ∵△DEF的周长是12， ∴C△ABC：12＝3：4， ∴△ABC的周长是9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 13. 已知：如图，在三角形中，，边上的高，，，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】先证明，求出CD，再根据相似性质即可求解． 【详解】解：∵，边上的高， ∴， ∴∠B+∠BCD=90°，∠B+∠A=90°， ∴∠BCD=∠A， ∴， ∴BD：CD=CD=AD， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出CD是解题关键． 14. 如图：点G是△ABC的重心，GH∥AC，交边BC于点H，如果GH＝2，那么AC＝_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据重心可得边长之间的比例关系，进而证明三角形相似，由相似比可得CE的长度，进而可算出AC的长度． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心， ∴BG＝2GE， ∴BG：BE＝2：3， ∵GH∥CE， ∴△BHG∽△BCE， ∴， ∴CE＝GH＝×2＝3， ∵点G是△ABC的重心， ∴BE为AC边上的中线， ∴AC＝2CE＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查相似三角形的证明，重心的性质，熟练掌握相似三角形的证明是解决本题的关键． 15. 如图，矩形的一边在的边上，顶点，分别在边，上，AH是边上的高，与相交于点，已知，，，那么线段的长为____ 【答案】3 【解析】 【分析】由平行判定，设，，再根据相似三角形对应边成比例，由解得，据此解题． 【详解】∵ 设，， ∴，即， ， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16. 如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是_________cm. 【答案】20 【解析】 【详解】因为两个三角形的面积之比9：25，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形的中线． 解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25， ∴大三角形的周长：小三角形的周长是3：5， ∵小三角形一边上的中线长是12cm， ∴12÷=20cm， ∴大三角形对应边上的中线长是20cm． “点睛”本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比． 17. 如图，△ABC中，BC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且S△ADE＝S四边形DBCE，则DE＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△AEC， ∴=()2， ∵S四边形DBCE＝SΔABC-SΔADE=S△ADE， ∴S△ABC＝2S△ADE， ∴=()2=， ∴， ∵BC=12， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 18. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为B1、C1，如果点B1落在射线BD上，那么CC1的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据旋转的性质推出AB1∥BC，进而可得△AB1D∽△CBD，然后根据相似三角形的性质求出AD、CD的长，于是可求，再利用△ACC1∽△ABB1即可求出结果． 【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5， ∵将△ABC绕着点A旋转后得△AB1C1， ∴AC1＝AC＝4，AB1＝AB＝5，∠CAC1＝∠BAB1， ∴∠AB1B＝∠ABB1， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABB1＝∠CBB1， ∴∠AB1B＝∠CBB1， ∴AB1∥BC， ∴∠B1AC＝∠ACB＝90°，∴△AB1D∽△CBD， ∴，∴，， ∴，，∴， ∵∠C1AC＝∠B1AB，AC＝AC1，AB＝AB1，∴△ACC1∽△ABB1， ∴，∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质和勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键. 三、解答题 19. 已知，，求：代数式的值. 【答案】8 【解析】 【分析】设=k，将x、y、z用k表示出来，然后再通过求出k，进而确定x、y、z的值，最后代入求解即可. 【详解】解：设=k，则x=2k，y=3k，z=4k 又，即2k-3k+4k=6，解得k=2 所以x=4，y=6，z=8 所以=12-12+8=8 【点睛】本题考查了条件代数式求值，解答的关键在于通过设中间量k，辅助求出x、y、z. 20. 已知：如图，在矩形中，，，是边的中点，，垂足为.求：线段的长. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质，求得AD∥BC，即可得到∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△DAE∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长． 【详解】解：在矩形中， ∵是边的中点，，，∴. ∵，∴. ∵， ∴. ∴，即. ∴. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质．解题时要注意识图，准确应用数形结合思想． 21. 如图，是平行四边形的边上一点，交的延长线于点，若，，，求： （1）的长． （2）的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质可证得，可得，计算得出AE的长即可． （2）根据题意，，，可求得FD的长度，根据平行四边形性质，，计算求出BC的长即可． 【详解】解：（1） ∵四边形是平行四边形，E是BA延长线上一点， ∴，， ∴，， ∴（AA）， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ． （2） ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，掌握平行四边形性质及相似三角形的判定和性质是解题关键． 22. 如图，梯形中，，对角线、相交于点，如果，的面积为4，那么求： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由与是等高三角形，得到，由已知，解得，据此解题即可； （2）由平行判定，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，解出，最后根据解题即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵ ∴ （2） ∵ ∴ ∴ 的面积为4， ∴ 与是等底同高的两个三角形， ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 23. 如图，，动点从向运动，当与相似时，试求的长度． 【答案】或8或12 【解析】 【分析】设BP=x，由BD-BP表示出PD，分两种情况考虑：当△PAB∽△PCD时；当△PAB∽△CPD时，分别由相似得比例，将各自的值代入列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为PB的长． 【详解】解：设BP=x，BD=20，则PD=BD-BP=20-x， 分两种情况考虑： 假设△PAB∽△PCD，有， 又AB=6，CD=16， ∴，即6（20-x）=16x， 解得：； 假设△PAB∽△CPD，有， ∴，即x（20-x）=96， 整理得：（x-12）（x-8）=0， 解得：x1=12，x2=8， 综上，当P离B的距离为或8或12时，△PAB与△PCD是相似三角形． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，利用了分类讨论的思想，相似三角形的判定方法为：两对对应角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似． 24. 已知：如图，梯形中，，，过点作的平行线交于点． （1）如果，求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． （2） 证明：， ， 又， ， ， 又， ， ， 在和中， ，， ， 又， , 又， 四边形是等腰梯形， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形，等腰梯形的判定，掌握相似三角形的判定与性质，熟悉等腰梯形的性质，是解答本题的关键． （1）通过证明，可得，可得结论； （2）依题意，，得到，因此，，由已知，，得到，，进而得到，由已知，得到，最终得到，由等腰梯形的判定得到四边形是等腰梯形，得到证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点． （1）如果，，且为的中点，求线段的长； （2）连接，如果，且，，求的值； （3）连接，如果，且，，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，得到，，根据勾股定理计算即可． （2）取的中点G，连接，得到，，，继而得到，设，，，，，计算即可． （3）先证明，再证明，得到，再计算即可． 本题考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，线段的垂直平分线，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵是边的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵是边的中点，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 取的中点G，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，负的舍去． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第一学期阶段诊断评估 九年级数学试卷 （满分：150分 完卷时间：100分钟） 2023.10 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在中，点、分别在边上，，那么下列条件中能够判断的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等腰三角形都相似 B. 等边三角形都相似 C. 锐角三角形都相似 D. 直角三角形都相似 4. 如果向量与均为单位向量，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知l1∥l2∥l3 , AB=3，BC=2，CD=1，那么下列式子中不成立的是（　　） A. EC∶CG=5∶1； B. EF∶FG=1∶1； C. EF∶FC=3∶2； D. EF∶EG=3∶5． 6. 如图，已知为的角平分线，，如果，那么的值（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 8. 在比例尺为1﹕的地图上量出、两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是_______________千米． 9. 已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项是________厘米． 10. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么长为______． 11. 在△ABC中，经过重心G作线段DE∥BC交AB于D，交AC于E，则=________． 12. 已知：△ABC和△DEF相似，对应边AB与DE之比为3：4，如果△DEF的周长为12，那么△ABC的周长是_____． 13. 已知：如图，在三角形中，，边上的高，，，则____________ 14. 如图：点G是△ABC的重心，GH∥AC，交边BC于点H，如果GH＝2，那么AC＝_____． 15. 如图，矩形的一边在的边上，顶点，分别在边，上，AH是边上的高，与相交于点，已知，，，那么线段的长为____ 16. 如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是_________cm. 17. 如图，△ABC中，BC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且S△ADE＝S四边形DBCE，则DE＝______． 18. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为B1、C1，如果点B1落在射线BD上，那么CC1的长度为_____． 三、解答题 19. 已知，，求：代数式的值. 20. 已知：如图，在矩形中，，，是边的中点，，垂足为.求：线段的长. 21. 如图，是平行四边形的边上一点，交的延长线于点，若，，，求： （1）的长． （2）的长． 22. 如图，梯形中，，对角线、相交于点，如果，的面积为4，那么求： （1）； （2）． 23. 如图，，动点从向运动，当与相似时，试求的长度． 24. 已知：如图，梯形中，，，过点作的平行线交于点． （1）如果，求证：； （2）如果，求证：． 25. 如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点． （1）如果，，且为的中点，求线段的长； （2）连接，如果，且，，求的值； （3）连接，如果，且，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $