精品解析：上海市金山区金山实验中学2023-2024学年上学期九年级数学12月月考试卷

金山实验中学2023学年第一学期12月学情诊断调研 初三数学试卷 2023.12 （测试时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 2. 在中，，那么的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求余弦，勾股定理，先求出，根据余弦定义计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，邻边，斜边为， ∴， 故选：C． 3. 已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 4. 如图，，、在上，在上，．下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，证明，利用相似三角形的性质即可得对应边成比例． 【详解】解：，， ，， ， ， ∴选项C正确， 故选：C． 5. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似； B. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似； C. 底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似； D. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的各种判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．当这个锐角是一个三角形的底角而是另一个三角形的顶角时，这两个等腰三角形不相似，故该选项错误，是假命题； B．有一个锐角相等的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，是真命题； C．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形是相似的，故该选项正确，是真命题； D．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比． 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据图象如何判断a、b、c的符号． 通过图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点，可推导a、b、c的符号，进而判断选项的正确性． 【详解】解：由函数图象，可得： ∵函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴负半轴， ∴， 故正确的结论是C． 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知比例关系，设 ，（），再代入所求表达式进行化简． 【详解】解：由 ， 设 ，（）， 则 ． 故答案为：． 8. 已知：点P是线段的黄金分割点，其中较短，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，其中较短，， ， ， 故答案为：． 9. 两个相似三角形的相似比为，则它们的周长之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为． 故答案为：． 10. 如图，已知，cm，cm，cm，那么___________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出，再求出即可． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵cm，cm， ∴，即， cm， ∴，即， ， 故答案为：． 11. 抛物线开口向下，则的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到，求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 解得：， m的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数，当时，开口向下，当时，开口向上，是解题的关键． 12. 抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】把代入得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 13. 已知，在抛物线上，则________ (填“”“ ”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据图象上的点越靠近对称轴时，对应的函数值越大即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向下，对称轴是直线， 越靠近直线时，的值越大， ，， 比靠近直线， ， 故答案为：． 14. 如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了米，则木箱升高了_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，设木箱升高了米，根据坡度的概念用表示出木箱前进的水平距离，再根据勾股定理计算即可得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：设木箱升高了米， ∵斜坡的坡度为， ∴木箱前进的水平距离为米， 由勾股定理得， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，于点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数． 首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值． 【详解】解：在中， ，，， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为__． 【答案】6 【解析】 【分析】由∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，可证明△ABC∽△CBD，进而根据面积比等于相似比的平方求得的长． 【详解】∵S△ADC：S△BDC＝5：4， ∴S△BCD：S△ABC＝4：9， ∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD， ∴△ABC∽△CBD， ∴（）2， ∴， ∴AC＝6 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17. 设抛物线l：的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线的伴随抛物线的解析式______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意求出抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后即可得出伴随抛物线的顶点坐标和所过点，列出顶点式解析式，代入所过点，即可得出其解析式. 【详解】根据题意，得 抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点是 ∴其伴随抛物线的顶点坐标为，过点 则其解析式为，将点代入，得 ∴其解析式为 【点睛】此题主要考查抛物线的性质，熟练掌握，即可解题. 18. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=20cm，AC=15cm；AD=12cm，点E在AB边上，点F、G在BC边上，点H不在△ABC外．如果四边形EFGH是符合要求的最大的正方形，那么它的边长是_____cm． 【答案】或3． 【解析】 【分析】根据题意画出图形（有两种情况），如果四边形EFGH是符合要求的最大的正方则点H，在AC上，由勾股定理先求出BD和CD的值，设正方形边长为x，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出x． 【详解】①当AD在三角形内部是， ∵AD⊥BC于点， ∴BD= ==16cm， ∴CD===9cm， ∴BC=BD+CD=25， 设正方形边长为x,设正方形交AD于点P,则AP=(12−x)cm. ∵EH∥PG， ∴△AEH∽△ABC， ∴， 即， 解出：x=； ②当AD在BC延长线上时，CD=9，BD=16，设正方形边长为x，设正方形交AB于点P， 则BF=(7−x)cm, ∴， ∴x=3， 故答案为或3. 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用及正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用及正方形的性质以及相似三角形的判定与性质. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 抛物线中，函数值与自变量之间部分对应关系如下表： … 0 1 2 … … 0 … （1）开口方向________，顶点坐标：________，的值为________． （2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点的位置，那么其平移的方法是________． 【答案】（1）下，，； （2）向右平移3个单位 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表格数据得到二次函数的对称轴，再利用二次函数的性质求解． （1）根据表格数据以及二次函数的性质可得，对称轴为，顶点坐标为，最大值为，得到开口向下，由对称性可得，与关于对称，即可求解； （2）由（1）可得二次函数的顶点坐标为，根据函数的平移法则即可求解． 【小问1详解】 解：由表格数据可得，和时，， 可得二次函数的对称轴为，顶点坐标为，最大值为， ∴二次函数的开口向下， 由对称性可得，与关于对称， ∴， 故答案为：下，，； 【小问2详解】 解：由（1）可得二次函数的顶点坐标为， 可得将二次函数图像向右平移3个单位可将二次函数的顶点移动到的位置， 故答案为：向右平移3个单位． 20. 如图，在中，点、分别在边、上，且，，，， （1）求的长 （2）联结，如果，．试用、表示向量． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据SAS判定，再根据相似三角形对应边成立解题即可； （2）根据相似三角形的判定与性质解题即可． 【详解】解：（1），，，， ； （2）由（1）中， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 如图，在Rt中，，，点在边上，且，，垂足为点，联结，求： （1）线段的长； （2）的余切值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先计算出AD的长，进而算出AE的长，在Rt△ABC中，得到AB的长，由BE=AB-AE即可得到结论； （2）过点E作EH⊥BC于H，可得到EH=BH=2，从而有CH=1，在Rt△ECH中，由三角函数定义可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，在Rt中，，， ∴，； ∵，∴， ∴ ∴，即线段的长是； （2）过点作，垂足为点． 在Rt中，，， ∴，又， ∴．在Rt中， ，即的余切值是． 22. 某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449） 【答案】楼MF的高56.1米． 【解析】 【分析】设MC=x，利用求得AC=x，再根据∠MBC＝45°得BC=MC=x，然后由AC-BC=40列出方程并解解方程，求得MC=x，再加上测角仪的高度即可求解． 【详解】解：设MC＝x， ∵∠MAC＝30°， ∴在Rt△MAC中，AC＝＝x， ∵∠MBC＝45°， ∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x， 又∵AB＝DE＝40， ∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40， 解得：x＝20+20≈54.6， ∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米）， 答：楼MF的高56.1米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的意义，熟练运用锐角的三角函数解直角三角形是解答的关键． 23. 如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】 解：（1）∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据得，再由，可以证明，即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质结合（1）的结论，证明，即可证明，就能得到结论． 【详解】解：（1）略； （2）略． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 24. 在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，平移后抛物线的顶点在原抛物线上，如果线段的长与点到轴的距离的比值为，求点的坐标； （3）原抛物线与轴正半轴交于点，在的上方作，直线交的延长线于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由题意可得，点到轴的距离为，根据两点之间距离公式可得，再根据线段的长与点到轴的距离的比值为，得到方程，解方程求出，即可求解点坐标； （3）先求出直线，则，可得，在中，，则，再根据等腰三角形导角得到轴，同理可求直线，再将代入直线表达式即可求解． 【小问1详解】 解：∵点，都在抛物线上， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵平移后抛物线的顶点在原抛物线上， ∴，点到轴的距离为， ∵， ∴， ∵线段的长与点到轴的距离的比值为， ∴ 解得或（舍）， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设直线交轴于点， 对于，当时，则， 解得， ∴， ∵， 设直线， 则， 解得 ∴直线， 当 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴轴， ∵，， 同理可求直线， ∴当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，与角度的综合问题，待定系数法求解函数解析式，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点． 25. 如图，已知在锐角三角形ABC中，． （1）求点C到直线AB的距离； （2）将绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处． ①当点D在边BC上时，联结CE，求的正弦值； ②当时，求点B与点E的距离． 【答案】（1）4； （2）①；②或3． 【解析】 【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，如图1，在Rt△ABM中，求得AM和BM的值，在Rt△ACM中，由勾股定理得，求得CM的值，进而得到BC的值，利用等积法即可得到点C到直线AB的距离； （2）①由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC，则AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，当点D落在边BC上时，可得∠ADB＝∠B＝60°，则∠CDE＝60°，由等腰三角形三线合一得DM＝BM＝，求得CD＝3，过点C作CN⊥DE于点N，在Rt△CDN中，求得CN＝，，进一步得，在Rt△CEN中，由勾股定理得，CE＝7，进一步得到的正弦值；②当ADBC时，过点E作EP⊥BC于点P,交AD于点Q，则四边形AMPQ是矩形，PQ＝AM＝，PM＝AQ，在Rt△DEQ中，得到EQ和DQ的值，进一步得到PM＝1，分点D在点A的右侧和点D在点A的左侧两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点A作AM⊥BC于点M，如图1， ∴ ∠AMB＝∠AMC＝90°， 在Rt△ABM中，∠B＝60°，AB＝5， ∴ AM＝，， 在Rt△ACM中，AC＝7，由勾股定理得， CM＝， ∴， 设点C到直线AB的距离为h， 由，得 ， 即点C到直线AB的距离为4； 【小问2详解】 解：①将△ABC绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处，如图2， 由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC， ∴AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8， 当点D落在边BC上时，∠ADB＝∠B＝60°， ∴∠CDE＝180°－∠ADE－∠ADB＝60°， ∵AM⊥BD， ∴DM＝BM＝， ∴CD＝BC－BM－DM＝3， 过点C作CN⊥DE于点N， 则∠CND＝∠CNE＝90°， 在Rt△CDN中， CN＝，， ∴ ， 在Rt△CEN中，由勾股定理得， ， ∴， 即∠CED的正弦值为； ②当ADBC时，过点E作EP⊥BC于点P,交AD于点Q，则∠EQD＝∠EPC＝∠EPB＝90°＝∠AMP， ∴四边形AMPQ是矩形， ∴PQ＝AM＝，PM＝AQ， 在Rt△DEQ中， ，， ∴PM＝AQ＝AD－DQ＝1， 若点D在点A的右侧，如图3， 则EP＝EQ＋PQ＝， ∴ BP＝BM＋PM＝， 在Rt△BPE中，由勾股定理得， BE＝； 若点D在点A的左侧，如图4， 则EP＝EQ－PQ＝， ∴ BP＝BM－PM＝， 在Rt△BPE中，由勾股定理得， BE＝， 综上所述，点B到点E的距离为或3． 【点睛】此题考查了图形的旋转、解直角三角形、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形的面积等知识，根据题意作出正确的图形和辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金山实验中学2023学年第一学期12月学情诊断调研 初三数学试卷 2023.12 （测试时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 2. 在中，，那么的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，、在上，在上，．下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似； B. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似； C. 底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似； D. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么的值是________． 8. 已知：点P是线段的黄金分割点，其中较短，若，则___________ 9. 两个相似三角形的相似比为，则它们的周长之比为________． 10. 如图，已知，cm，cm，cm，那么___________cm． 11. 抛物线开口向下，则的取值范围是 _____． 12. 抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 13. 已知，在抛物线上，则________ (填“”“ ”或“”) 14. 如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了米，则木箱升高了_____米． 15. 如图，在中，，，，于点，则的值为___________． 16. 如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为__． 17. 设抛物线l：的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线的伴随抛物线的解析式______. 18. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=20cm，AC=15cm；AD=12cm，点E在AB边上，点F、G在BC边上，点H不在△ABC外．如果四边形EFGH是符合要求的最大的正方形，那么它的边长是_____cm． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 抛物线中，函数值与自变量之间的部分对应关系如下表： … 0 1 2 … … 0 … （1）开口方向________，顶点坐标：________，的值为________． （2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点的位置，那么其平移的方法是________． 20. 如图，在中，点、分别在边、上，且，，，， （1）求的长 （2）联结，如果，．试用、表示向量． 21. 如图，在Rt中，，，点在边上，且，，垂足为点，联结，求： （1）线段的长； （2）的余切值． 22. 某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449） 23. 如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F， （1）求证：； （2）求证：． 24. 在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，平移后抛物线的顶点在原抛物线上，如果线段的长与点到轴的距离的比值为，求点的坐标； （3）原抛物线与轴正半轴交于点，在的上方作，直线交的延长线于点，求点的坐标． 25. 如图，已知在锐角三角形ABC中，． （1）求点C到直线AB的距离； （2）将绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处． ①当点D在边BC上时，联结CE，求的正弦值； ②当时，求点B与点E的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $