课时作业35 对数函数的图象和性质的应用 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦对数函数图象和性质应用，分层设计梯度合理，知识覆盖从单一概念到综合应用，培养运算能力、推理意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义域、反函数、单调性判断|对应课时核心考点，如选择1-5题直接考查概念辨析| |中档|奇偶性、复合函数性质|结合函数性质综合应用，如填空12-14题涉及单调区间与值域| |拔高|创新题型、跨知识点应用|融入“友好点对”（选择9）、多选题（选择10）等探究性问题，提升数学思维|

课时作业35　对数函数的图象和性质的应用 一、选择题 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(0，1 000] B．[3，1 000] C．(0，) D． 2．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f()的值为(　　) A．－log23 B．－log32 C． D． 3．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　) A. B． C．2 D．4 4．若函数f(x)＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1，2)内单调递增，则f(x)在区间(2，＋∞)内的单调性为(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 5．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上为x的减函数，则a的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，＋∞) 6．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　) A.f(x)在(0，2)单调递增 B．f(x)在(0，2)单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 7．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2} 8．若x∈[0,1]，且log2[log2(2x＋2)]＋22x＋2为整数，则满足条件的实数x的个数为(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 9．若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P和Q关于原点对称，则点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”([P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“友好点对”有(　　) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 10．(多选题)某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，以函数f(x)＝lg为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果．下列研究成果中正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为(－1,1) B．函数f(x)是偶函数 C．对于任意的x∈(－1,1)，都有f＝2f(x) D．对于任意的a，b∈(－1,1)，都有f(a)＋f(b)＝f 二、填空题 11．函数y＝log(2x＋1)的值域为________． 12．函数y＝－log(x2－5x－6)的单调递减区间为____________，值域为________． 13．已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是 . 14．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝ . 15．已知f(x)＝a，b，c，d是互不相等的正数，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则a·b＝ ；a·b·c·d的取值范围是 ． 三、解答题 16．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx. (1)求当x<0时，f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)≤2. 17．已知f(x)＝log(x2－ax－a). (1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域； (2)若f(x)在区间(－∞，－)内单调递增，求实数a的取值范围． 18．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为N，试确定M＋N的值． 19．设函数f(x)＝log2(1＋a·2x＋4x)，其中a为常数． (1)当f(2)＝f(－1)＋4时，求a的值； (2)当x∈[1，＋∞)时，关于x的不等式f(x)≥x－1恒成立，求a的取值范围． 20．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0. (1)求证：f(x)是奇函数． (2)若f(1)＝，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值． (3)是否存在m，使f(2(log2x)2－4)＋f(4m－2log2x)>0对于任意x∈[1,2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 课时作业35　对数函数的图象和性质的应用 （答案） 一、选择题 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(0，1 000] B．[3，1 000] C．(0，) D． 解析：由题意得3－lg x≥0，∴lg x≤3， ∴0<x≤103＝1 000. 答案：A 2．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f()的值为(　　) A．－log23 B．－log32 C． D． 解析：由题意可知f(x)＝log3x， 所以f()＝log3＝－log32，故选B. 答案：B 3．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　) A. B． C．2 D．4 解析：当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝(舍去)；当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，loga2＝－1，a＝. 答案：B 4．若函数f(x)＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1，2)内单调递增，则f(x)在区间(2，＋∞)内的单调性为(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 解析：当1<x<2时，函数f(x)＝loga|x－2|＝loga(2－x)在区间(1，2)内单调递增，所以0<a<1；函数f(x)＝loga|x－2|在区间(2，＋∞)内的解析式为f(x)＝loga(x－2)(0<a<1)，故在区间(2，＋∞)内单调递减． 答案：D 5．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上为x的减函数，则a的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，＋∞) 解析：a>0时，2－ax为减函数，故要使y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，则a>1，且2－ax在x∈[0，1]时恒为正数，即2－a>0，故可得1<a<2. 答案：B 6．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　) A.f(x)在(0，2)单调递增 B．f(x)在(0，2)单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析：函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]，其中0<x<2，则函数f(x)是由y＝ln t，t(x)＝x(2－x)复合而成的，由复合函数的单调性可知，x∈(0，1)时，f(x)单调递增，x∈(1，2)时，f(x)单调递减，则A、B选项错误；t(x)的图象关于直线x＝1对称，即t(x)＝t(2－x)，则f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C选项正确，D选项错误． 答案：C 7．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2} 解析：在平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示． 由图可知，当－1<x≤1时，函数f(x)的图象在y＝log2(x＋1)的图象的上方，所以f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1<x≤1}．故选C. 8．若x∈[0,1]，且log2[log2(2x＋2)]＋22x＋2为整数，则满足条件的实数x的个数为(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：令f(x)＝log2[log2(2x＋2)]＋22x＋2，x∈[0,1]，则f(x)为增函数，且f(0)＝4，f(1)＝17，故f(x)的值域为[4,17]．又log2[log2(2x＋2)]＋22x＋2为整数，则一共能取14个整数值，故相应的x有14个．故选C. 9．若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P和Q关于原点对称，则点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”([P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“友好点对”有(　　) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 解析：根据题意作出f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象．由题意知，该图象与函数f(x)＝log2x(x>0)图象的交点个数即为“友好点对”的个数．如图，观察图象，可得它们的交点个数是2，即f(x)的“友好点对”有2对．故选C. 10．(多选题)某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，以函数f(x)＝lg为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果．下列研究成果中正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为(－1,1) B．函数f(x)是偶函数 C．对于任意的x∈(－1,1)，都有f＝2f(x) D．对于任意的a，b∈(－1,1)，都有f(a)＋f(b)＝f 解析：在A中，因为f(x)＝lg，所以>0，解得函数的定义域为(－1,1)，所以A是正确的；在B中，f(x)＝lg＝－lg＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以B是错误的；在C中，对于任意x∈(－1,1)，有f＝lg＝lg＝lg，又2f(x)＝2lg＝lg，所以C是正确的； 在D中，对于任意的a，b∈(－1,1)， 有f(a)＋f(b)＝lg＋lg＝lg ＝lg，又f＝lg ＝lg，所以D是正确的，故选ACD. 二、填空题 11．函数y＝log(2x＋1)的值域为________． 解析：因为2x＋1>1，函数y＝log(2x＋1)在区间(0，＋∞)内是减函数， 所以log(2x＋1)<log1＝0， 即所求函数的值域为(－∞，0). 答案：(－∞，0) 12．函数y＝－log(x2－5x－6)的单调递减区间为____________，值域为________． 解析：由x2－5x－6>0，得x<－1或x>6. 因为函数y＝－logt在定义域内单调递增，t＝x2－5x－6在区间(－∞，－1)内单调递减，所以函数y＝ －log(x2－5x－6)的单调递减区间为(－∞，－1). 因为x2－5x－6>0，所以函数y的值域为R. 答案：(－∞，－1)；　R 13．已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是 . 答案：. 14．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝ . 解析：由函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln＝2ax＝lne2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－. 答案：－. 15．已知f(x)＝a，b，c，d是互不相等的正数，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则a·b＝ ；a·b·c·d的取值范围是 ． 解析：画出函数f(x)的图象，f(a)＝f(b) ＝f(c)＝f(d)的含义是平行于x轴的直线与函数f(x)的图象有4个交点，如图所示，不妨记四个交点的横坐标分别为a，b，c，d，且0<a<1<b<c<d， 由f(a)＝f(b)，得|log3a|＝|log3b|，且0<a<1<b， 所以－log3a＝log3b，即log3a＋log3b＝0， 所以log3(a·b)＝0，从而得出a·b＝1. 由f(c)＝f(d)，结合图象可以得出c＋d＝10，且c∈(3,4)，所以a·b·c·d＝c·d＝c·(10－c)，将此式看成关于c的函数，因为c∈(3,4)，所以c·(10－c)∈(21,24)．即a·b·c·d的取值范围为(21,24)． 答案：1；(21,24) 三、解答题 16．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx. (1)求当x<0时，f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)≤2. 解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)， 又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x).故当x<0时，f(x)＝－log(－x). (2)由题意及(1)知，原不等式等价于 或 解得x≥或－4≤x<0. ∴不等式的解集{x|x≥或－4≤x<0}． 17．已知f(x)＝log(x2－ax－a). (1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域； (2)若f(x)在区间(－∞，－)内单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1). 因为x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥， 所以log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23， 因此f(x)的值域为(－∞，2－log23]. 又t＝x2＋x＋1在区间上单调递减， 在区间内单调递增， y＝logt在区间(0，＋∞)内单调递减， 故f(x)的单调递增区间为， 单调递减区间为. (2)令u＝x2－ax－a＝(x－)2－－a， 因为f(x)在区间(－∞，－)内单调递增， 又y＝logu在定义域上为减函数， 所以u在区间(－∞，－)内单调递减， 且u>0在区间(－∞，－)内恒成立． 因此即 解得－1≤a≤. 故实数a的取值范围是. 18．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为N，试确定M＋N的值． 解：由已知得f(x)＝1＋. 因为ln(＋x)＋ln[＋(－x)]＝ln(x2＋1－x2)＝ln1＝0， 所以ln[＋(－x)]＝－ln(＋x)， 因此，y＝ln(＋x)是奇函数． 进而可判定， 函数g(x)＝为奇函数． 则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1＋N1＝0.因为M＝M1＋1，N＝N1＋1，所以M＋N＝2. 19．设函数f(x)＝log2(1＋a·2x＋4x)，其中a为常数． (1)当f(2)＝f(－1)＋4时，求a的值； (2)当x∈[1，＋∞)时，关于x的不等式f(x)≥x－1恒成立，求a的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝log2(1＋a·2x＋4x)， ∴f(－1)＝log2，f(2)＝log2(1＋4a＋16)，由于f(2)＝f(－1)＋4，即log2(4a＋17)＝log2＋4，解得a＝－. (2)∵f(x)≥x－1恒成立，∴log2(1＋a·2x＋4x)≥x－1，即1＋a·2x＋4x≥2x－1，分离参数a得a≥－(2x＋2－x)． ∵x≥1，∴(2x＋2－x)≥，当x＝1时等号成立， ∴a≥－＝－2，即a的取值范围为[－2，＋∞)． 20．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0. (1)求证：f(x)是奇函数． (2)若f(1)＝，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值． (3)是否存在m，使f(2(log2x)2－4)＋f(4m－2log2x)>0对于任意x∈[1,2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：令x＝0，y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． (2)任取x1，x2∈R，且x1<x2. ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)． ∵当x>0时，f(x)>0，且x1<x2，∴f(x2－x1)>0， 即f(x2)>f(x1)，∴f(x)为增函数， ∴当x＝－2时，函数有最小值， f(x)min＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝－1. 当x＝6时，函数有最大值，f(x)max＝f(6)＝6f(1)＝3. (3)由(1)知函数f(x)为奇函数，∴不等式f(2(log2x)2－4)＋f(4m－2log2x)>0可化为f(2(log2x)2－4)>f(2log2x－4m)． 又∵f(x)为增函数，∴2(log2x)2－4>2log2x－4m，令t＝log2x， ∵x∈[1,2]上不等式恒成立， ∴0≤t≤1，问题转化为2t2－4>2t－4m在t∈[0,1]上恒成立，即4m>－2t2＋2t＋4对任意t∈[0,1]恒成立，令y＝－2t2＋2t＋4，只需4m>ymax，而y＝－2t2＋2t＋4＝－22＋(0≤t≤1)， ∴当t＝时，ymax＝，则4m>， ∴m的取值范围是m>. 学科网（北京）股份有限公司 $