4.4.2对数函数的图像及性质同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学高一必修一“对数函数的图像及性质”课时同步练，聚焦新授课场景，以“基础认知—技能应用—综合迁移”分层设计，覆盖五大核心考点，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层（选择1-8题）|单一考点（图像定点、单调性、变换类型等）|直接对应核心概念，如判断恒过定点、单调性方向，强化概念辨析| |技能应用层（填空9-12题）|简单综合（定义域、函数值计算、比较大小）|结合运算技能，如求定义域、计算对数值，巩固性质应用| |综合迁移层（解答13-15题）|复杂综合（多考点融合，如定义域与单调性、图像过点求参数）|需规范步骤表达，如含对数的不等式求解，培养逻辑推理与模型构建|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十八课时 对数函数的图像及性质 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 对数函数的图像 对数函数 y ＝ logₐx（a ＞ 0且a ≠ 1）的图像恒过定点 (1, 0)，即当 x ＝ 1 时 y ＝ 0。图像位于 y 轴右侧（因为定义域为 (0, ＋∞)）。当 a ＞ 1 时，图像在 (0, ＋∞) 上单调上升，从左下到右上；当 0 ＜ a ＜ 1 时，图像在 (0, ＋∞) 上单调下降，从左上到右下。图像的关键点有：(1, 0) 为恒过定点，(a, 1) 为底数对应点，(1/a, －1) 为倒数点。底数大小影响图像的位置：当 a ＞ 1 时，底数越大，图像越靠近 x 轴；当 0 ＜ a ＜ 1 时，底数越小，图像越靠近 x 轴。y ＝ logₐx 与 y ＝ log(1/a)x 的图像关于 x 轴对称。 考点二 对数函数的性质 对数函数 y ＝ logₐx 的性质：①定义域为 (0, ＋∞)；②值域为 R；③恒过定点 (1, 0)；④单调性：当 a ＞ 1 时，在 (0, ＋∞) 上单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，在 (0, ＋∞) 上单调递减。当 a ＞ 1 时：x ＞ 1 时 y ＞ 0，0 ＜ x ＜ 1 时 y ＜ 0，x ＝ 1 时 y ＝ 0。当 0 ＜ a ＜ 1 时：x ＞ 1 时 y ＜ 0，0 ＜ x ＜ 1 时 y ＞ 0，x ＝ 1 时 y ＝ 0。对数函数 y ＝ logₐx 与指数函数 y ＝ aˣ 互为反函数，它们的图像关于直线 y ＝ x 对称，定义域和值域互换，单调性相同。 考点三 图像变换 对数函数图像的常见变换：①平移变换：y ＝ logₐ(x ＋ k) 表示将 y ＝ logₐx 的图像向左（k ＞ 0）或向右（k ＜ 0）平移 |k| 个单位；y ＝ logₐx ＋ k 表示将 y ＝ logₐx 的图像向上（k ＞ 0）或向下（k ＜ 0）平移 |k| 个单位。②对称变换：y ＝ logₐ(－x) 的图像与 y ＝ logₐx 的图像关于 y 轴对称；y ＝ －logₐx 的图像与 y ＝ logₐx 的图像关于 x 轴对称；y ＝ －logₐ(－x) 的图像与 y ＝ logₐx 的图像关于原点对称。③翻折变换：y ＝ |logₐx| 的图像是将 y ＝ logₐx 的图像在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方。 考点四 比较大小 利用对数函数的性质比较大小的方法：①同底数对数比较大小：利用对数函数的单调性，当 a ＞ 1 时，真数大的对数大；当 0 ＜ a ＜ 1 时，真数大的对数小。②同真数对数比较大小：利用底数大小与图像位置的关系。③不同底不同真数的对数比较大小：找中间值（如 0 或 1）作为桥梁。与 0 比较：真数大于 1 时对数与 0 的关系取决于底数；与 1 比较：真数等于底数时对数为 1。常用结论：logₐ1 ＝ 0，logₐa ＝ 1。 考点五 反函数 对数函数 y ＝ logₐx（a ＞ 0且a ≠ 1）与指数函数 y ＝ aˣ 互为反函数。反函数的性质：①原函数与反函数的图像关于直线 y ＝ x 对称；②原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；③原函数与反函数的单调性相同（同增或同减）；④若原函数过点 (a, b)，则反函数过点 (b, a)。求反函数的步骤：①由 y ＝ f(x) 解出 x ＝ f⁻¹(y)；②将 x、y 互换得到 y ＝ f⁻¹(x)；③注明反函数的定义域（即原函数的值域）。 知识结构思维导图 图1 对数函数的图像及性质知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数 y ＝ log₂x 的图像恒过定点（ ） A．(0, 0) B．(1, 0) C．(0, 1) D．(1, 1) 2．函数 y ＝ log₃(x － 1) 的图像恒过定点（ ） A．(0, 0) B．(1, 0) C．(2, 0) D．(1, 1) 3．函数 y ＝ log₀.₅x 的单调性为（ ） A．在(0, ＋∞)上单调递增 B．在(0, ＋∞)上单调递减 C．在(－∞, ＋∞)上单调递增 D．在(－∞, ＋∞)上单调递减 4．函数 y ＝ log₂(x ＋ 3) 的图像由 y ＝ log₂x 的图像（ ） A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 5．比较 log₂3 与 log₂5 的大小（ ） A．log₂3 ＞ log₂5 B．log₂3 ＝ log₂5 C．log₂3 ＜ log₂5 D．无法比较 6．函数 y ＝ logₐx 与 y ＝ log(1/a)x 的图像关于（ ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y ＝ x对称 7．若 logₐ2 ＜ logₐ3，则实数a的取值范围是（ ） A．0 ＜ a ＜ 1 B．a ＞ 1 C．a ＞ 0且a ≠ 1 D．a ＞ 1或0 ＜ a ＜ 1 8．函数 y ＝ |log₂x| 的图像是 y ＝ log₂x 的图像（ ） A．x轴上方部分保留，下方翻折到上方 B．y轴左侧部分翻折到右侧 C．整体向上平移1个单位 D．整体关于y轴对称 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数 y ＝ log₂(x － 2) 的定义域为 ____________。 10．已知 f(x) ＝ log₃x，则 f(9) ＝ ____________。 11．比较 log₀.₅2 与 log₀.₅3 的大小：____________。 12．函数 y ＝ log₃(x － 1) ＋ 2 的图像恒过定点 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）求下列函数的定义域： （1）f(x) ＝ log₂(x － 1) ＋ log₃(3 － x)； （2）f(x) ＝ log₀.₅(x² － 4)。 14．（14分）已知函数 f(x) ＝ log₂x。 （1）求 f(1), f(2), f(4) 的值； （2）比较 f(3) 与 f(5) 的大小； （3）若 f(x) ＞ 2，求 x 的取值范围。 15．（14分）已知函数 f(x) ＝ logₐ(x ＋ 1)（a ＞ 0且a ≠ 1）的图像过点(1, 1)。 （1）求a的值； （2）求 f(3) 和 f(－1/2) 的值； （3）若 f(x) ＞ 1，求 x 的取值范围。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． C 3． B 4． A 5． C 6． A 7． B 8． A 9． {x | x ＞ 2} 10． 2 11． log₀.₅2 ＞ log₀.₅3 12． (2, 2) ■ 详细解析 一、选择题 1．【答案】B 【解析】对数函数 y ＝ logₐx 恒过定点 (1, 0)，即当 x ＝ 1 时 y ＝ logₐ1 ＝ 0。故 y ＝ log₂x 过定点 (1, 0)，选 B。 2．【答案】C 【解析】函数 y ＝ log₃(x － 1) 恒过定点时，令 x － 1 ＝ 1，得 x ＝ 2，此时 y ＝ log₃1 ＝ 0。故图像恒过定点 (2, 0)，选 C。本题关键：logₐ(x ＋ k) 过定点 (1 － k, 0)。 3．【答案】B 【解析】f(x) ＝ log₀.₅x，底数 a ＝ 0.5，满足 0 ＜ a ＜ 1，故 f(x) 在 (0, ＋∞) 上单调递减，选 B。本题关键：0 ＜ a ＜ 1 时对数函数单调递减。 4．【答案】A 【解析】f(x) ＝ log₂(x ＋ 3) 的图像由 y ＝ log₂x 的图像向左平移 3 个单位得到（x → x ＋ 3 表示左移 3），选 A。本题关键：y ＝ f(x ＋ k) 表示将 y ＝ f(x) 向左平移 k 个单位。 5．【答案】C 【解析】f(x) ＝ log₂x，底数 a ＝ 2 ＞ 1，f(x) 在 (0, ＋∞) 上单调递增。由 3 ＜ 5，得 log₂3 ＜ log₂5，选 C。本题关键：同底数对数比较大小利用单调性。 6．【答案】A 【解析】y ＝ log(1/a)x ＝ logₐx^(－1) ＝ －logₐx，故 y ＝ logₐx 与 y ＝ log(1/a)x ＝ －logₐx 的图像关于 x 轴对称，选 A。 7．【答案】B 【解析】由 logₐ2 ＜ logₐ3 且 2 ＜ 3，说明对数函数单调递增，故 a ＞ 1，选 B。本题关键：真数大的对数大，说明函数单调递增，即 a ＞ 1。 8．【答案】A 【解析】y ＝ |log₂x| 的图像是将 y ＝ log₂x 的图像在 x 轴上方的部分保留，x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，选 A。本题关键：|f(x)| 的变换规则是"上不动下翻上"。 二、填空题 9．【答案】{x | x ＞ 2} 【解析】对数函数 log₂(x － 2) 有意义需真数 x － 2 ＞ 0，即 x ＞ 2，故定义域为 {x | x ＞ 2}。 10．【答案】2 【解析】f(9) ＝ log₃9 ＝ log₃(3²) ＝ 2。本题关键：logₐ(aⁿ) ＝ n。 11．【答案】log₀.₅2 ＞ log₀.₅3 【解析】f(x) ＝ log₀.₅x，底数 a ＝ 0.5，满足 0 ＜ a ＜ 1，f(x) 在 (0, ＋∞) 上单调递减。由 2 ＜ 3，得 log₀.₅2 ＞ log₀.₅3（单调递减时，自变量小的函数值大）。也可验证：log₀.₅2 ＝ －1，log₀.₅3 ＝ log₀.₅3，因 0.5³ ＝ 1/8 ＜ 1/2 ＝ 0.5¹，故 3 ＞ 1 时 log₀.₅3 ＜ log₀.₅1 ＝ 0，即 log₀.₅3 ＜ －1 ＝ log₀.₅2。故 log₀.₅2 ＞ log₀.₅3。 12．【答案】(2, 2) 【解析】函数 y ＝ log₃(x － 1) ＋ 2 恒过定点时，令 x － 1 ＝ 1，得 x ＝ 2，此时 y ＝ log₃1 ＋ 2 ＝ 0 ＋ 2 ＝ 2。故图像恒过定点 (2, 2)。本题关键：logₐ(x ＋ k) ＋ b 过定点 (1 － k, b)。 三、解答题 13．【答案】（1）{x | 1 ＜ x ＜ 3}；（2）{x | x ＞ 2 或 x ＜ －2} 【解析】（1）f(x) ＝ log₂(x － 1) ＋ log₃(3 － x) 有意义需： ①log₂(x － 1) 的真数 x － 1 ＞ 0，即 x ＞ 1； ②log₃(3 － x) 的真数 3 － x ＞ 0，即 x ＜ 3。 综合①②得 1 ＜ x ＜ 3，故定义域为 {x | 1 ＜ x ＜ 3}。 （2）f(x) ＝ log₀.₅(x² － 4) 有意义需真数 x² － 4 ＞ 0，即 x² ＞ 4，解得 x ＞ 2 或 x ＜ －2。 故定义域为 {x | x ＞ 2 或 x ＜ －2}。 本题关键：对数函数的真数必须大于 0，多个对数函数相加时需同时满足所有真数大于 0。 14．【答案】（1）f(1) ＝ 0，f(2) ＝ 1，f(4) ＝ 2；（2）f(3) ＜ f(5)；（3）x ＞ 4 【解析】f(x) ＝ log₂x。 （1）f(1) ＝ log₂1 ＝ 0（因 2⁰ ＝ 1）。 f(2) ＝ log₂2 ＝ 1（因 2¹ ＝ 2）。 f(4) ＝ log₂4 ＝ 2（因 2² ＝ 4）。 （2）f(x) ＝ log₂x，底数 a ＝ 2 ＞ 1，f(x) 在 (0, ＋∞) 上单调递增。 由 3 ＜ 5，得 f(3) ＜ f(5)。 （3）由 f(x) ＞ 2，即 log₂x ＞ 2 ＝ log₂4。 因 f(x) ＝ log₂x 单调递增（a ＝ 2 ＞ 1），故 x ＞ 4。 故 x 的取值范围为 x ＞ 4。 本题关键：利用对数函数的单调性比较大小和解对数不等式。 15．【答案】（1）a ＝ 2；（2）f(3) ＝ 2，f(－1/2) ＝ －1；（3）x ＞ 1 【解析】（1）由 f(x) ＝ logₐ(x ＋ 1) 的图象过点 (1, 1)，得 logₐ(1 ＋ 1) ＝ 1，即 logₐ2 ＝ 1。 故 a¹ ＝ 2，a ＝ 2。 故 f(x) ＝ log₂(x ＋ 1)。 （2）f(3) ＝ log₂(3 ＋ 1) ＝ log₂4 ＝ 2。 f(－1/2) ＝ log₂(－1/2 ＋ 1) ＝ log₂(1/2) ＝ log₂(2⁻¹) ＝ －1。 （3）由 f(x) ＞ 1，即 log₂(x ＋ 1) ＞ 1 ＝ log₂2。 因 f(x) ＝ log₂(x ＋ 1) 中底数 a ＝ 2 ＞ 1，对数函数单调递增， 故 x ＋ 1 ＞ 2，即 x ＞ 1。 又对数函数的真数 x ＋ 1 ＞ 0 即 x ＞ －1，与 x ＞ 1 取交集得 x ＞ 1。 故 x 的取值范围为 x ＞ 1。 本题关键：利用对数函数过点求底数，利用单调性解对数不等式，注意真数必须大于 0。 高一数学必修一 · 第十八课时 对数函数的图像及性质 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $