4.4 练习3　对数函数的图象和性质(二) 同步练 2026-2027学年 高中数学高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 围绕对数函数性质，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到创新应用的递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（1-2题）|对数函数值域、奇偶性|单一知识点直接应用，夯实概念理解（数学眼光：抽象能力）| |中档（3-8题）|单调性、反函数、复合函数|多性质综合辨析，提升推理运算能力（数学思维：推理能力）| |提升（9-16题）|凸函数新定义、参数问题、开放探究|结合新情境与开放问题，发展创新意识与模型意识（数学语言：模型意识）|

4.4 练习3　对数函数的图象和性质(二) 1. 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　A　) A. (0，＋∞) B. [0，＋∞) C. (1，＋∞) D. [1，＋∞) 【解析】∵3x＞0，∴3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0，∴函数f(x)的值域为 (0，＋∞). 2. 函数y＝lg|x|是(　B　) A. 偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增 B. 偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减 C. 奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增 D. 奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减 【解析】易知函数y＝lg|x|是偶函数.当x＞0时，y＝lg|x|＝lg x，∴函数在区间(0， ＋∞)上单调递增.由偶函数的性质知，函数在区间(－∞， 0)上单调递减. 3. 若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0， 1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　B　) A. B. C. 2 D. 4 【解析】由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，∴f(0)＋f(1)＝a，即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝. 4. 已知函数y＝f(x)的图象与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，则f(lg 3)·f(lg 4)等于(　C　) A. lg 7 B. 10 C. 12 D. 107 【解析】∵函数y＝f(x)的图象与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，∴函数y＝f(x)与函数y＝lg x互为反函数，∴f(x)＝10x，∴f(lg 3)·f(lg 4)＝10lg 3×10lg 4＝3×4＝12. 5. 如图所示，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　C　) A. {x|－1＜x≤0} B. {x|－1≤x≤1} C. {x|－1＜x≤1} D. {x|－1＜x≤2} 【解析】在平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，且y＝log2(x＋1)的定义域为(－1，＋∞).由图可知，f(x)≥log2(x＋1)的解集是 {x|－1＜x≤1}. 6. 函数f(x)＝lg(＋x)的奇偶性为(　A　) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 【解析】易知该函数的定义域为R，又f(x)＋f(－x)＝lg(＋x)＋lg(－x)＝lg[(＋x)·(－x)]＝lg 1＝0，∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数. 7. 函数f(x)＝log3(x2－x－6)的单调递减区间为(　C　) A. B. C. (－∞，－2) D. (3，＋∞) 【解析】由x2－x－6＞0，得(x－3)(x＋2)＞0，解得x＞3，或x＜－2，则f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，又y＝x2－x－6在(－∞，－2)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，C正确. 8. (多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法中，正确的有(　ABC　) A. f(4)＝－3 B. 函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 C. 函数y＝f(x)的最小值为－4 D. 函数y＝f(x)的最大值为4 【解析】f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3，A正确；令f(x)＝0，得(log2x＋1) (log2x－3)＝0，解得x＝，或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点，B正确； ∵f(x)＝(log2x－1)2－4(x＞0)，∴当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4， C正确；f(x)没有最大值，D错误. 9. (多选)任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f恒成立，则f(x)称为[a，b]上的凸函数，下列函数中，在其定义域上为凸函数的有(　BCD　) A. y＝2x B. y＝log2x C. y＝－x2 D. y＝ 【解析】由题意知，若函数f(x)为凸函数，则在函数y＝f(x)的图象上任取两个不同的点A，B，线段AB(原点除外)总在f(x)图象的下方，分别作出四个函数的图象，如图所示.观察各函数在定义域上的图象，知y＝log2x，y＝－x2，y＝是凸函数. 10. 已知y＝4x的反函数为f(x)，若f(x0)＝，则x0＝　2　.  【解析】方法一　∵y＝4x的反函数为f(x)＝log4x，f(x0)＝，∴log4x0＝， ∴x0＝2. 方法二　依题意得x0＝＝2. 11. 设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝　4　.  【解析】∵a＞1，∴f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga(2a)－logaa＝， 即loga2＝，∴＝2，a＝4. 12. 已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝log2的值域为B，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　.  【解析】由题意得x＋2a＞0，解得x＞－2a，即A＝{x|x＞－2a}；g(x)＝ log2＝log2≥log22＝1，即B＝{y|y≥1}.由A⊆B， 可得－2a≥1，解得a≤－，即a的取值范围是. 13. 设函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0. (1)求a的值； (2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明. 解：(1)函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0，则f(1)＝lg ＝0，则＝1， 解得a＝2. (2)f(x)＝lg 在区间(0，＋∞)上单调递减. 证明如下：设0＜x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝lg －lg ＝lg ＝lg(x2＋1)－lg(x1＋1)，∵0＜x1＜x2，∴lg(x2＋1)＞lg(x1＋1)，即f(x1)＞f(x2)，即函数f(x)在 (0， ＋∞)上单调递减. 14. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝logax(a＞1)，且f(x)在上的最大值为1. (1)求a的值； (2)令F(x)＝f＋f，求函数F(x)的值域. 解：(1)∵a＞1，∴函数f(x)＝logax在上单调递增.∵f(x)在上的最大值为1，∴f(3)＝loga3＝1，解得a＝3. (2)∵a＝3，∴F(x)＝log3＋log3＝log3＝log3.由解得－＜x＜，∴函数F(x)的定义域为. 令t＝－x2，则t∈，∴F(x)≤log3＝－2，∴F(x)的值域为(－∞，－2]. 15. 已知函数y＝loga(x2－ax＋2)(a＞0，且a≠1)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　C　) A. (0，1) B. [2，3] C. [2，3) D. (2，＋∞) 【解析】函数y＝loga(x2－ax＋2)(a＞0，且a≠1)在[0，1]上单调递减，当0＜ a＜1时，x2－ax＋2＝＋2－≥2－＞0恒成立，而函数u＝x2－ax＋2在区间[0，1]上不单调，因此0＜a＜1不符合题意；当a＞1时，函数y＝logau在(0，＋∞)上单调递增，于是得函数u＝x2－ax＋2在区间[0，1]上单调递减，因此≥1，并且12－a＋2＞0，解得2≤a＜3，∴实数的取值范围是[2，3). 16. 对于等式ab＝c(a＞0，a≠1)，如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a(即x)的函数，记为y，那么y＝xb是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于b(即x)的函数，记为y，那么y＝ax是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c(即x)的函数，记为y，那么y＝logax是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型. (1)如果c为常数e(e为自然对数的底数)，将a视为自变量x(x＞0，x≠1)，那么b为x的函数，记为y，那么xy＝e.试将y表示成x的函数f(x)； (2)研究函数f(x)的性质.你还能运用这个等式得到什么样的函数?这些函数分别具有哪些性质? 解：(1)易知f(x)＝(x＞0，且x≠1). (2)函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1， ＋∞)；值域为(－∞， 0)∪(0， ＋∞).单调性：在(0， 1)上单调递减，在(1， ＋∞)上单调递减. 函数1：在ab＝c中，令c＝e，b＝x视为自变量(x≠0)，a＝y为关于x的函数，则yx＝e⇒y＝(x≠0)，此函数的定义域为(－∞， 0)∪(0， ＋∞)，值域为(0， 1)∪(1， ＋∞)，在(－∞， 0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减. 函数2：在ab＝c中，将c视为自变量x，b视为常数3，a＝y(a＞0，且a≠1)视为关于x的函数，则y3＝x，y＝，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，值域为(0，1)∪(1，＋∞)，在(0，1)∪(1，＋∞)上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 练习3　对数函数的图象和性质(二) 1. 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　) A. (0，＋∞) B. [0，＋∞) C. (1，＋∞) D. [1，＋∞) 2. 函数y＝lg|x|是(　 　) A. 偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增 B. 偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减 C. 奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增 D. 奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减 3. 若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0， 1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　 　) A. B. C. 2 D. 4 4. 已知函数y＝f(x)的图象与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，则f(lg 3)·f(lg 4)等于(　 　) A. lg 7 B. 10 C. 12 D. 107 5. 如图所示，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　 　) A. {x|－1＜x≤0} B. {x|－1≤x≤1} C. {x|－1＜x≤1} D. {x|－1＜x≤2} 6. 函数f(x)＝lg(＋x)的奇偶性为(　 　) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 7. 函数f(x)＝log3(x2－x－6)的单调递减区间为(　 　) A. B. C. (－∞，－2) D. (3，＋∞) 8. (多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法中，正确的有(　 　) A. f(4)＝－3 B. 函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 C. 函数y＝f(x)的最小值为－4 D. 函数y＝f(x)的最大值为4 9. (多选)任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f恒成立，则f(x)称为[a，b]上的凸函数，下列函数中，在其定义域上为凸函数的有(　 　) A. y＝2x B. y＝log2x C. y＝－x2 D. y＝ 10. 已知y＝4x的反函数为f(x)，若f(x0)＝，则x0＝　 　.  11. 设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝　 　.  12. 已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝log2的值域为B，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　.  13. 设函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0. (1)求a的值； (2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明. 14. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝logax(a＞1)，且f(x)在上的最大值为1. (1)求a的值； (2)令F(x)＝f＋f，求函数F(x)的值域. 15. 已知函数y＝loga(x2－ax＋2)(a＞0，且a≠1)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　 　) A. (0，1) B. [2，3] C. [2，3) D. (2，＋∞) 16. 对于等式ab＝c(a＞0，a≠1)，如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a(即x)的函数，记为y，那么y＝xb是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于b(即x)的函数，记为y，那么y＝ax是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c(即x)的函数，记为y，那么y＝logax是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型. (1)如果c为常数e(e为自然对数的底数)，将a视为自变量x(x＞0，x≠1)，那么b为x的函数，记为y，那么xy＝e.试将y表示成x的函数f(x)； (2)研究函数f(x)的性质.你还能运用这个等式得到什么样的函数?这些函数分别具有哪些性质? 学科网（北京）股份有限公司 $