精品解析：辽宁省铁岭市第四中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题

2021-2022学年度上学期期中考试 八年数学试卷 时间90分钟，满分100分 一、选择题（每小题3分，共30分）请把答案写在下表中 1. 下列图案是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知，第一个和第四个图形能够找到一条直线，使图形沿直线翻折后能够互相重合，是轴对称图形； 故选B． 2. 如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等的判定；先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、与、组成了是不能由此判定三角形全等的． 【详解】解：A、加，∴，是正确选法； B、加，∴，是正确选法； C、加，满足，不能得出，是错误选法； D、加，∴，是正确选法． 故选：C． 3. 已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，用到关于x轴对称的点的坐标性质：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，直接根据性质求解即可． 【详解】解：∵点坐标为，关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 4. 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时，分别进行计算即可． 【详解】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图： ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 这个等腰三角形的底角是； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图： ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 这个等腰三角形的底角是； 综上所述：这个等腰三角形的底角是或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 5. 如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（　　） A. 360° B. 720° C. 540° D. 240° 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和三角形的外角性质，利用已知角求未知角即可. 【详解】如图， 根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D， ∵∠BOF=120°， ∴∠3=180°﹣120°=60°， 根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°， ∠F+∠2=180°﹣60°=120°， 所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故选D. 【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质.把未知角转化为未知角是解题的关键. 6. 在中，，，则边上的中线的取值范围是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】延长至，使，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 7. 如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（　 　）． A. 126° B. 110° C. 108° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可设∠1=7x，∠2=2x，∠3=x，即可得到∠1，∠2，∠3，再利用三角形外角的性质得到∠EAC=108°，最后根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】∵∠1:∠2:∠3=7:2:1, ∴设∠1=7x，∠2=2x，∠3=x， 由∠1+∠2+∠3=180°得： 7x+2x+x=180°， 解得x=18， 故∠1=7×18=126°,∠2=2×18=36°,∠3=1×18=18°， ∵△ABE和△ADC是△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形， ∴∠DCA=∠E=∠3=18°,∠2=∠EBA=∠D=36°,∠4=∠EBA+∠E=36°+18°=54°， ∠5=∠2+∠3=18°+36°=54°， 故∠EAC=∠4+∠5=54°+54°=108° 在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA， ∴∠α=∠EAC=108°. 故选C. 【点睛】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题关键在于掌握内角和定理. 8. 在下列结论中： （1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题． 【详解】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确． （2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误． （3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误． （4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确； 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题． 9. 在直角坐标系中，已知，在轴上确定一点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，分三种情况：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质并结合图形求解即可． 【详解】解：，为坐标原点， ， 当时，点的坐标为和； 当时，作轴， ， ， 点的坐标为； 当时， ∵， ， 点的坐标为； 符合条件的点总个数为， 综上可知，符合条件的点共有4个． 10. 如图所示，在中，，，在内，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、，根据等边三角形的性质得到，求出，，的度数，证，得到，进一步得到等边，推出，根据全等三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 二、填空题（每小题3分，共24分）请把答案写在下面横线上 11. 如图，在ABC中，AC=BC，ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=_______度． 【答案】50 【解析】 【详解】∵AC=BC， ∴∠A=∠B（等角对等边）． ∵∠A+∠B=∠ACE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， ∴∠A=∠ACE=×100°=50°． 12. 如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则__________度； 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是、平角的度数也是．根据折叠的性质可知，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，点落在点处 又， 故答案为：50 13. 如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在中，，，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接；下列结论正确的是：________． ①平分；②；③的周长等于；④D点是中点； 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，根据等边对等角，中垂线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∴的周长；故③正确； ∵， ∴， ∴； ∴D点不是中点；故④错误； 故答案为：①②③． 15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D，E分别在边AC，AB上，点D与点A，点C都不重合，点F在边CB的延长线上，且AE=ED=BF，连接DF交AB于点G．若BC=4，则线段EG的长为__． 【答案】4. 【解析】 【分析】作DH∥CB交AB于H．只要证明AE=EH，BG=GH，即可推出EG=AB，由此即可解决问题． 【详解】作DH∥CB交AB于H． ∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°． ∵DH∥BC，∴∠AHD=∠ABC=60°，∠DHG=∠FBG． ∵EA=ED，∴∠A=∠EDA=30°，∴∠HED=∠A+∠EDA=60°，∴△EDH是等边三角形，∴ED=EH=EA=DH=BF． 在△DHG和△FBG中，∵，∴△DHG≌△FBG，∴BG=HG． ∵HE=EA，∴EG=AB=BC=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16. 如图，在中，、的垂直平分线、相交于点O，若，则__________°． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 由垂直平分线的性质可得，，根据“等边对等角”可得，，从而，根据三角形的内角和定理求得，从而得到，根据可求得． 【详解】连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 17. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 18. 如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为_________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题解析：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B， ∴∠BA1A==80°， ∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1==40°； 同理可得， ∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°， ∴∠An=． 考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形外角的性质. 三、解答题 19. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，DE=1cm，求BD的长． 【答案】4cm 【解析】 【分析】连接AD，先根据等腰三角形两底角相等求出∠B、∠C，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=CD，根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠CAD，再求出∠BAD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接AD． ∵等腰△ABC中，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=×（180°-120°）=30°． ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD， ∴∠C=∠CAD=30°， ∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-30°=90°． ∵DE=1cm，DE⊥AC， ∴CD=2DE=2cm， ∴AD=2cm． 在Rt△ABD中，BD=2AD=2×2=4cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 20. 已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边． 根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案． 【详解】略 21. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵∠， ∴， ∵，， ∴ （2），理由如下： 如图，过作于，于， ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线的判定得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在△ABC中，于点D，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】延长CD交AB于点E，可知△ACE为等腰三角形，可知AE=AC，可知AB-AC=BE，再由∠ACB=3∠B，可得出BE=EC，可得出结论． 【详解】延长交于 ∵CD⊥AD ∴∠ADE=∠ADC=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠AED=∠ACD， ∴AE=AC， ∴ED=CD， ∵∠ACD=∠ACB-∠ECB=3∠B-∠ECB， ∠AED=∠B+∠ECB， ∴3∠B-∠ECB=∠B+∠ECB， ∴∠B=∠ECB， ∴EB=EC， ∵EB=AB-AE=AB-AC，EC=2CD， ∴EB=2CD， ∴AB-AC=2CD． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，由条件证得BE=CE是解题的关键． 23. 如图，平分交于D，点E为上一点，且，交于F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等，作交的延长线于M，利用平行线的性质和角平分线的定义，证明，推出，再证，推出，即可证明． 【详解】证明：作交的延长线于M， ∵， ∴， 则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，、交于，且，，求证：． 【答案】证明：在线段上取点，使， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，可得，根据等角的补角相等，可得，根据，可得和的关系，根据全等三角形的性质，可得答案． 【详解】略 25. 如图， 的边在直线l上，，且；的边也在直线l上，边与边重合，且． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系； （2）将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点Q，连接，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）， （2）解：，，理由如下： 如图：延长交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． （3）解：在（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系成立，理由如下： 延长交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出，求出即可； （2）求出，根据证，推出，根据三角形内角和定理求出，推出，求出即可； （3）与所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直，证明方法与（2）一样． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由题意可得：点E和点A、点C和点F重合， 同理得： ∴，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年度上学期期中考试 八年数学试卷 时间90分钟，满分100分 一、选择题（每小题3分，共30分）请把答案写在下表中 1. 下列图案是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（　　） A. 360° B. 720° C. 540° D. 240° 6. 在中，，，则边上的中线的取值范围是（　　） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（　 　）． A. 126° B. 110° C. 108° D. 90° 8. 在下列结论中： （1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 在直角坐标系中，已知，在轴上确定一点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图所示，在中，，，在内，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分）请把答案写在下面横线上 11. 如图，在ABC中，AC=BC，ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=_______度． 12. 如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则__________度； 13. 如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是______． 14. 在中，，，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接；下列结论正确的是：________． ①平分；②；③的周长等于；④D点是中点； 15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D，E分别在边AC，AB上，点D与点A，点C都不重合，点F在边CB的延长线上，且AE=ED=BF，连接DF交AB于点G．若BC=4，则线段EG的长为__． 16. 如图，在中，、的垂直平分线、相交于点O，若，则__________°． 17. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 18. 如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为_________________． 三、解答题 19. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，DE=1cm，求BD的长． 20. 已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 21. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）和的大小关系，并说明理由． 22. 如图，在△ABC中，于点D，求证：． 23. 如图，平分交于D，点E为上一点，且，交于F．求证：． 24. 如图，、交于，且，，求证：． 25. 如图， 的边在直线l上，，且；的边也在直线l上，边与边重合，且． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系； （2）将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点Q，连接，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $