辽宁省大连市西岗区第三十七中学2025—2026学年 八年级上学期期中测试 数学试卷

大连市第三十七中学阶段质量检测卷 初三数学 （本试卷共23小题 满分120分，考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 2.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 3.如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC∥DE，DE＝90米，BC＝70米，BD＝20米，则A、B两村间的距离为（　　） A．50米 B．60米 C．70米 D．80米 4.如图，OA，OB是⊙O的半径，若∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是（　　） A．10° B．15° C．25° D．50° 5.已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 6如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC.若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为( ) A．80° B．60° C．65° D．70° 7.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则为OB：OE的值为（　　） A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3 8.如图，在⊙O中，半径长为10，圆心O到弦AB的距离OE＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 9. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA， 则tan∠DAC的值为（　　） A．2+ B．2 C．3+ D．3 10.如图，点A（﹣2，0），点B在y轴的正半轴上，∠BAO＝60，将△AOB绕原点O顺时针旋转后得到△A′OB′，当点A′恰好落在AB上时，点B′的坐标为（　　） A．（2，1） B．（，1） C．（3，） D．（4，2） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是 　 　 ． 12.如图，燃烧的蜡烛AB经小孔O在屏幕上成像A′B′，设AB＝15cm，小孔O到AB，A′B′的距离分别为16cm，10cm，则像A′B′的长是　 　 cm． 13.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，并与⊙O的另一条切线分别相交于C、D两点，已知PA＝5cm，则△PCD的周长为 　 　 cm． 14.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为 　 　 ． 15.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC＝2∠DAC，若AB＝m，AC＝n，则CD的长为　 　（用含m，n的代数式表示） 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.（10分）计算： 17.（8分）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠DAE＝∠E．CF＝3，AF＝2EF，求DC的长度． 18.（8分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，AD⊥BC于点D．若AD＝6，求BC的长． 19．（8分）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到 AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC＝63°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度数． 20.（8分）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE＝30cm，后支撑板EC＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°． （1）如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长； （2）如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） 21.（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CO平分∠BCD，过点C作CE⊥AD，垂足为E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）已知AB＝10，BC＝8，求AD的长． 22.（12分）如图 1 ，Rt△ABC 中， ∠BAC ＝90 ° , AD 是中线，BE⊥AD ，垂足为 E ，点 F在 AD 上， ∠ACF= ∠DBE． （1）求证： ∠ABD = ∠CFD； （2）探究线段 AF，DE 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图 2 ，延长 BE 交 CF 于点 P ，AB ＝AF，求的值． 23.（13分）【定义学习】 过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，OA⊥l1，OB⊥l2，垂足分别为A、B，则△OAB为“点足三角形”，∠AOB为“垂角”． 【性质探究】 （1）两条直线相交且所夹锐角为α度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为 　 　 度（用α表示）． （2）如图2，点O为平面内一点，OA⊥l1，OB⊥l2，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与l1，l2，相交于C、D，连接CD．求证：△OAB∽△OCD． 【迁移运用】 （3）如图3，∠MPN＝α，点A在射线PM上，点B是射线PN上的点，且，PA＝4．则∠MPN的外部是否存在一点O使得“点足三角形OAB“的面积为，若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第三十七中学阶段质量检测卷 初三数学（答案） 1、 选择题 1. C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A 7.D 8.C 9.A 10.C 2、 填空题 11.（1，-2） 12. 13.10 14.15 15. 3、 解答题 16.0 17.△ADF∽△CEF DC=9 18.解：在Rt△ABD中， ∵∠B＝45°， ∴tanB＝． 又∵AD＝6， ∴BD＝6． 在Rt△ACD中， tanC＝， ∴CD＝10， ∴BC＝BD+CD＝6+10＝16． 19.（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠BAC＝∠EAF． ∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置， ∴AC＝AF． 在△ABC与△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴EF＝BC； （2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝63°， ∴∠AEB＝∠ABC， ∴∠BAE＝180°﹣63°×2＝54°， ∴∠FAG＝∠BAE＝54°． ∵△ABC≌△AEF， ∴∠AFE＝∠ACB＝25°， ∴∠FGC＝∠FAG+∠AFG＝54°+25°＝79°． 20.解：（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F， 由题意知BD＝DE＝30cm， ∴BF＝BDcos∠ABC＝30×＝18（cm）， ∴BE＝2BF＝36（cm）． （2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N， 由题意知四边形DENM是矩形， ∴MN＝DE＝30cm， 在Rt△DBM中，BM＝BDcos∠ABC＝30×＝18（cm），EN＝DM＝BDsin∠ABC＝30×＝24（cm）， 在Rt△CEN中，CE＝40cm， ∴由勾股定理可得CN＝＝＝32（cm）， 则BC＝18+30+32＝80（cm）， 原来BC＝36+40＝76（cm）， 80﹣76＝4（cm）， ∴变形前后两轴心BC的长度增加了4cm． 21.（1）证明：∵CE⊥AD， ∴∠E＝90°， ∵CO平分∠BCD， ∴∠OCB＝∠OCD， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO＝∠D， ∴∠D＝∠OCD， ∴OC∥DE， ∴∠OCE＝∠E＝90°， 即CE⊥OC， ∵OC是圆的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝6， ∵∠OCE＝∠BCA＝90°， ∴∠ACE＝∠BCO， ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠BCO， ∴∠ACE＝∠B， ∴△ACE∽△ABC， ∴， ∴， ∴CE＝，AE＝， ∵∠DEC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠CDE， ∴△CDE∽△ABC， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝， ∴AD＝DE﹣AE＝． 22..（1）证明：设∠DBE = ∠ACF= α , ∵BE⊥AD， ∴ ∠BED ＝90 ° , ∴ ∠ADB+α =90 ° , 又∵∠BAC ＝90 ° , AD 是中线， ∴AD ＝BD ＝CD， ∴ ∠BAD = ∠ABD， ∴ ∠ADB+2∠BAD ＝180 ° , ∴2∠BAD ＝90 °+α , 又∵∠CFD = ∠DAC+∠ACF = ∠DAC+α =90 ° - ∠BAD+α =2∠BAD - ∠BAD = ∠BAD， ∵ ∠ABD = ∠BAD， 第 4页（共 8页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ABD = ∠CFD； （2）解：AF＝2DE． 理由：过点 C 作 CM⊥AD 交 AD 的延长线于点 M， ∵AD 是中线， ∴BD ＝CD， ∵ ∠CMD = ∠BED ＝90 ° , ∠CDM= ∠BDE， ∴△CDM≌△BDE（AAS）， ∴DM＝DE ，CM＝BE， 又∵∠BAD = ∠CFM， ∠AEB = ∠CMF， ∴△CMF≌△BEA（AAS）， ∴AE ＝MF， ∴AE - EF＝MF - EF， ∴AF＝EM， 又∵EM＝2DE， ∴AF＝2DE； （3）解：过点 C 作 CM⊥AD 交 AD 的延长线于点 M， 由（2）可知，AF＝2DE ，AD ＝CD ，设 DE ＝x ，则 AF＝2x， ∵AB ＝AF， ∴AB ＝2x， ∴AB ＝2x， 第 5页（共 8页） 学科网（北京）股份有限公司 设 EF＝y， ∴AE＝y+2x ，AD ＝CD＝y+3x， 由（2）可知，BE ＝CM， ∴AB2 - AE2 ＝CD2 - DM2， ∴(2N店x)2-(y t2x)2 ＝（y+3x）2 - x2，解得y ＝3x，y ＝ - 8x（舍去）， ∴AE ＝5x， ∵ ∠BDE = ∠CFE ， ∠AEB = ∠PEF， ∴△BEA ∽△PEF， ∴ . 23.（1）解：如图1，∵∠CAO＝∠CBO＝90°， ∴点A，点B，点O，点C四点共圆， ∴∠ACB＝∠AOB＝α， ∴“垂角”度数为α度， 若点O在锐角内部，同理可得“垂角”度数为（180﹣α）度， 故答案为：α或180﹣α； （2）∵将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与l1，l2，相交于C、D， ∴∠AOC＝∠BOD， ∵OA⊥AC，OB⊥BD， ∴在Rt△CAO中，cos∠AOC＝， 在Rt△DBO中，cos∠BOD＝， ∴cos∠AOC＝cos∠BOD， 即， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△OAB∽△OCD． （3）当定点O在两直线的同侧，且在PN的下方时，令OA与PN交于点D，过点A作AE⊥PN于点E，如图： ∵OA⊥PM，OB⊥PN，且∠ADP＝∠BDO， ∴∠P＝∠O＝α， 又∵AE⊥PN，OA⊥PM，∠ADP＝∠ADP， ∴∠P＝∠EAD＝α， 在Rt△PAD中，tanP＝tanα＝＝，PA＝4， ∴AD＝3， ∴PD＝＝＝5， 在Rt△EAD中，tan∠EAD＝tanα＝， 设DE＝3x，则AE＝4x，且AD＝3， 在Rt△EAD中，AD2＝AE2+DE2， 即32＝（3x）2+（4x）2， 解得：x＝， 故DE＝，AE＝， 在Rt△BOD中，tan∠BOD＝tanα＝＝， 设OB＝y，则BD＝y， ∵S△AOB＝S△ADB+S△DOB＝×DB（AE+OB）， 即＝y×（y+）， 解得：y1＝﹣（舍去），y2＝， 则OB＝，BD＝， ∴PB＝PD+BD＝； 当定点O在两直线的同侧，且在PM的上方时，令OA与PM交于点D，过点B作BE⊥PM于点E，如图： ∵OA⊥PM，OB⊥PN，且∠ADO＝∠BDP， ∴∠P＝∠O＝α， 又∵BE⊥PM，OB⊥PN，∠PDB＝∠PDB， ∴∠P＝∠EBD＝α， 在Rt△PBE中，tanP＝tanα＝＝， 即PE＝BE， 在Rt△EBD中，tan∠EBD＝tanα＝＝， 即ED＝BE， 在Rt△OAD中，tan∠AOD＝＝tanα＝， 则AD＝OA， 且∵AP＝PE+DE+DA＝BE+BE+OA， 整理得：BE＝， 设AD＝x，则OA＝x，BE＝， ∵S△AOB＝S△ADO+S△DAB＝×DA（BE+OA）， 即＝x•（）， 解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝， 故AD＝， ∴PD＝AP﹣AD＝4﹣＝， 在Rt△PBD中，tanP＝＝tanα＝， 故设BD＝3y，则PB＝4y， 在Rt△PBD中，DP2＝BD2+PB2， 即＝9y2+16y2， 解得：y1＝，y2＝﹣（舍去）， ∴PB＝4×＝； 综上，PB的长为或． $