课时三十七 对数函数的图象与性质(二) 同步练-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数函数图象与性质，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的进阶，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|对数函数单调性、反函数、奇偶性|直接应用概念，如选择1解对数不等式、3判断奇偶性| |能力提升|指数对数综合、复合函数、定义域值域|结合多知识点，如选择4指数对数比较大小、11复合函数最值| |综合应用|抽象函数证明、实际问题建模|需逻辑推理与建模，如12抽象函数性质证明、13正方形与对数函数图象综合|

课时三十八　对数函数的图象和性质（二） 课后练习 一、选择题 1.不等式log0.5(2x)<log0.5(x-1)的解集为(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,0) 2.已知函数f(x)是函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数,则函数y=f(x)+2的图象恒过点(　　) A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,3) 3.函数f(x)=log2(3x+3-x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 4.已知lob<loa<loc,则(　　) A.3b>3a>3c B.3a>3b>3c C.3c>3b>3a D.3c>3a>3b 5．若定义运算f(a*b)＝则函数f(log2(1＋x)*log2(1－x))的值域是(　　) A.(－1，1) B．[0，1) C．[0，＋∞) D．[0，1] 6．已知函数f(x)＝，在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，＋∞) B． C．[1，＋∞) D． 7．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　) A．f(4)＝－3 B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 C．函数y＝f(x)的最小值为－4 D．函数y＝f(x)的最大值为4 8．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　) A．0<k<1 B．0≤k<1 C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1 二、填空题 9.若对数函数f(x)=lox在区间(0,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 10.函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c=　　　　　.  三、解答题 11.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值时x的值. 12.我们知道对数函数f(x)=logax,对任意x,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,若a>1,则当x>1时,f(x)>0.参照对数函数的性质,研究下面的问题:定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),并且当且仅当x>1时,f(x)>0成立. (1)设x,y∈(0,+∞),求证:f=f(y)-f(x); (2)设x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)>f(x2),比较x1与x2的大小. 13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，求实数a的值． 14．已知函数f(x)＝lg (3x－3). (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)设函数h(x)＝f(x)－lg (3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围． 课时三十八　对数函数的图象和性质（二） 课后练习（答案） 一、选择题 1.不等式log0.5(2x)<log0.5(x-1)的解集为(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,0) 解析:原不等式等价于解得x>1. 故原不等式的解集为(1,+∞). 答案:A 2.已知函数f(x)是函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数,则函数y=f(x)+2的图象恒过点(　　) A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,3) 解析:因为y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且f(x)是函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数,所以函数f(x)的图象过定点(0,1),从而函数y=f(x)+2的图象过点(0,3). 答案:D 3.函数f(x)=log2(3x+3-x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:因为3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R.又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数. 答案:B 4.已知lob<loa<loc,则(　　) A.3b>3a>3c B.3a>3b>3c C.3c>3b>3a D.3c>3a>3b 解析:由已知得b>a>c,因为y=3x在定义域内是增函数,所以3b>3a>3c. 答案:A 5．若定义运算f(a*b)＝则函数f(log2(1＋x)*log2(1－x))的值域是(　　) A.(－1，1) B．[0，1) C．[0，＋∞) D．[0，1] 解析：因为f(a*b)＝所以y＝f(log2(1＋x)*log2(1－x))＝当0≤x＜1时，y＝log2(1＋x)在[0，1)上为增函数，所以y∈[0，1).当－1＜x＜0，y＝log2(1－x)在(－1，0)上为减函数，所以y∈(0，1).所以y∈[0，1)，故f(log2(1＋x)*log2(1－x))的值域为[0，1).故选B. 答案：B 6．已知函数f(x)＝，在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，＋∞) B． C．[1，＋∞) D． 解析：由题意得：，解得：a≥. 故选D. 答案：D 7．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　) A．f(4)＝－3 B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 C．函数y＝f(x)的最小值为－4 D．函数y＝f(x)的最大值为4 解析：f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3，A正确；令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点，B正确；因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4，C正确；f(x)没有最大值，D错误． 答案：ABC 8．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　) A．0<k<1 B．0≤k<1 C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1 解析：令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R.可知函数t＝x2－2kx＋k的图象一定与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1. 答案：C 二、填空题 9.若对数函数f(x)=lox在区间(0,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 解析:由题意得a2-1>1,解得a>,或a<-. 答案:a>,或a<- 10.函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c=　　　　　.  解析:由题中图象可知,x≤0时,函数f(x)的图象过点(-1,0),(0,2), 则有解得a=b=2. 又由题图可知,函数y=logc的图象过点(0,2), 则有logc=2,解得c=, 所以a+b+c=2+2+. 答案: 三、解答题 11.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值时x的值. 解:∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9], ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3. ∵函数f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足解得1≤x≤3. 令u=log3x,则0≤u≤1. 又∵函数y=(u+3)2-3在区间[-3,+∞)上单调递增, ∴当u=1,即x=3时,函数y=(u+3)2-3取得最大值13. 故当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13. 12.我们知道对数函数f(x)=logax,对任意x,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,若a>1,则当x>1时,f(x)>0.参照对数函数的性质,研究下面的问题:定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),并且当且仅当x>1时,f(x)>0成立. (1)设x,y∈(0,+∞),求证:f=f(y)-f(x); (2)设x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)>f(x2),比较x1与x2的大小. (1)证明:对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),把x用代替,把y用x代替, 可得f(y)=f+f(x), 即f=f(y)-f(x). (2)解:先判断函数f(x)在x∈(0,+∞)上的单调性, 设x3,x4∈(0,+∞),且x3>x4, 则f(x3)-f(x4)=f. 又因为x3,x4∈(0,+∞), 且x3>x4,所以>1. 由题目已知条件当且仅当x>1时,f(x)>0成立, 故f>0,则f(x3)-f(x4)=f>0, 即f(x3)>f(x4). 所以函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增. 因此对x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)>f(x2),则可以得到x1>x2. 13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，求实数a的值． 解：设B(x，2logax)，C(x′，logax′)， BC平行于x轴， 2logax＝logax′，则x′＝x2， 正方形ABCD的边长＝|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2. 由已知，得AB垂直于x轴，A(x，3logax) 正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，a＝. 14．已知函数f(x)＝lg (3x－3). (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)设函数h(x)＝f(x)－lg (3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意得，3x－3>0，解得x>1， 所以函数f(x)的定义域为(1，＋∞). 因为3x－3∈(0，＋∞)，所以值域为R. (2)因为h(x)＝lg (3x－3)－lg (3x＋3) ＝lg ＝lg(1－)， 所以h(x)的定义域为(1，＋∞)， 且在(1，＋∞)上单调递增．又因为0<1－<1， 所以函数h(x)的值域为(－∞，0). 若不等式h(x)>t无解，则t的取值范围是t≥0. 学科网（北京）股份有限公司 $