广东深圳市龙岗区龙城高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

龙城高级中学2025-2026学年第二学期 高二年级期中考试数学试卷 本试卷共4页，19道题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.函数f(x)=x+2x在区间[L,3]上的平均变化率为() A.3 B.15 C.10 D.30 2,满足不等式4：=2(neN,)的n的值为() A.10 B.9 C.1或8 D.8 3.如果实数x,y满足等式(x-2)2+y=2,那么上的最小值是() B.-3 C.-3 D.-1 3 2 4.已知函数fx)=x3-f(1)x-2)2，则f'(0)的值为() A.-3 B.-12 C.6 D.-10 5.己知(2-x=☑+a4x+4x2+4x+44x+4x,则a+4+4+a4+4=() A.32 B.31 C.-31 D.1 6。已知0为坐标敞点，A为精圆B若+是=1ab>0的右贸点.若箱调E上存在两点2 Q,使得以O,A,P,2为顶点的四边形是正方形，则椭圆E的离心率为() A吉 B.V② c.3 D.V6 3 3 3 7.现将3个标有数字1,2,3的不同红球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同 的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为() A.15 B.90 C.24 D.36 8.若直线y=kx+2(k∈R)是曲线y=nx+3与曲线y=e+b(b∈R)的公切线，b=() A.-1 B.1 C.e D.I e 高二年级数学学科 第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知Sn是等差数列{a}的前n项和，d为公差，且S7<0,S:>0,则下列说法正确的是 () A.d>0 B.当7时，Sn取最小值 C.a7<0 D.as>0 10.已知函数f()=2+2,f0)=4,且f()在x=1处取得极小值，则（). 1 A.b-a=2 B.f(x)仅有一个极值点 C.当x>0时，f(x)≥2x D.当x>0时，f(x)≥4x 11.某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有6架无人机，有甲、乙、 丙、丁4条街道需要巡检，若6架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结 论正确的是() A.若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有12种不同的巡检方案 B.若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有84种不同的巡检方案 C.若给无人机按16编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则 共有480种不同的顺序 D.若给无人机按1~6编号，每条街道至少需要1架无人机，甲街道至多需要2架无人 机，则共有1440种不同的巡检方案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若C=C42,则C+C+C++C,=·(用数字作答) 13.己知F为抛物线C:y2=4x的焦点，直线y=k(x+1)与C交于A,B两点，则 2AF+IBF列的最小值是 14.函数/)是定义在R上的奇函数，其导函数记为了)，当x>0时，∫(9<f9恒 成立，若5)=0，则不等式田>0的解集为 x-1 高二年级数学学科 第2页，共4页 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分13分) 已知(W-3“的展开式中第2项的系数与第3项的系数和为126 (1)求n的值： (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数. 16.(本小题满分15分) 己知函数f(x)=x3-3mx+m(m>0) (1)求f(x)的单调区间： (2)若f(x)有三个零点，求m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 已知数列a}的前n项和为Sm,a1=3,当n≥2时满足2an-an-1-2=0(neW*). (1)求数列{a}的通项公式： 3n (2)若数列 (Sn+2-n） 的前n项和为Z,求证：对于任意neN,都有工<4n+: 高二年级 数学学科 第3页，共4页 18.(本小题满分17分) 已知稀圆C:名+Q>b>0)的左、有焦点分别为，乃，点k22在椭圆上，和 圆上满足P耳⊥PF的点P有且仅有2个. (1)求椭圆C的方程： (2)设直线1与椭圆C交于A,B两点(A在第一象限)，与x轴，y轴分别交于点M,N, 且AM=2AN;点A关于x轴的对称点为D,直线DN与椭圆的另一个交点为E. ()记直线AW,DN的斜率分别为k,k,证明：元 为定值： (i)求直线BE的斜率的最小值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f()=mnx-2n2(m>0,gx)=F_2 2√x (1)求8(x)的图像在x=4处的切线方程： (2)若m=1,证明：x≥4，∫(x)≤g(x): (3)探究函数h(x)=「f(x)+2(1-m)n2-g(x)的零点个数. 高二年级 数学学科 第4页，共4页龙城高级中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 9 10 答案 B D 0 B D ⊙ AD AC 题号 11 答案 BCD 1.B 【分析】由平均变化率计算公式求解 【详解】解：函数f(9=-x在区间L,3]上的平均变化率为3)f0=15 3-1 故选：B 2.D 【详解】由4-12可得(m-4)m5)12,故8或n=1(舍)，D选项满足条件 A4 3.D 【分析】设过原点的直线的斜率为k=上， 数形结合当直线与圆相切时利用圆心到直线的距 离等于半径求解即可； 【详解】由题意可得设过原点的直线的斜率为k=上，即直线方程为(-y=0 画出图形 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小， 圆心(2,0)，半径为 2 所以 =√2 ,解得k=1或k=1, V1+k2 故选：D 4.B 【详解】函数f(x)=3x2-2f(1)x-2) 故f(1)=?诡3，所以 所以f(x)=3x2+6(x?), 所以f(0)=?诡12. 1 5.C 【详解】令x=0,则a=32: 令x=1,则+4+42+4+a4+a=1,故4+42+4+44+a=-31 6.D 【分析】由题意可得P, 22P 代入椭圆方程可得名3，进而计算可解 【详解】由题意可得A(a,0),O(0,0), 由题意可知四边形OPA0是正方形，所以OA与P2垂直且平分，即Pg,C 22 因为P列 aa 22 在椭圆g:y 7+61a>b>0上， aa 所以4+41即61 a2 b2 a231 所以椭圆的离心率为e=C= 66 a 1a3 7.C 【分析】把6个小球按2个球一组分成3组，再放到3个不同盒子即可. 【详解】把6个小球按2个球一组分成3组，有两类分法： 每个盒子放入一个白球，有1种方法；有2个白球放入一个盒子，剩下1个白球与1个红球 组合，有C种方法， 再将分成的3组放入3个盒子有A种方法， 所以不同的放法种数为(1+C)A=4×6=24. 8.B 【详解】设f)=血x+3,了)-，设切点为(a,ha+3,则切线斜率为片， 2 则切线方程为y-Qma+3)=x-a),即y=x+lna+2, =k 由题意得y=kx+2=二x+lna+2,即a 解得1 a=1 na+2=2 即f(x)与g(x)的公切线为y=x+2, g(x)=e*+b,g(x)=e,设切点为(c,e+b),则切线斜率为e, 则切线方程为y-(e+b)=ec-c),即y=ex+b+e1-c), 由题意利y=12=e1b1e1华抑，明6+4整物，解得吧 故选：B 9.AD 【详解】因为数列{a}为等差数列， 则S7=7a4<0,即a4<0, 且S8=4(a4+as)>0,即a4+as>0,可得a5>0, 所以公差d=4-a4>0,故A正确： 可知等差数列{an}为递增数列，当n≤4时，a.<0；当n≥5时，a.>0; 所以当n=4时，S,n取最小值，故B错误： 所以a7>0,ag>0,故C错误，D正确. 10.AC 【详解】由f(1)=4,得a+b=4①. f)=3am-是.由在r1处取得极小值，月了@-0，印3ab0@ 联立①②，解得a=1,b=3. 所以f(y)=x+3,定义域为(2,0)U(0,+), f()=3x-3-3+x+(x-) x2 当x∈(-o,-1)或x∈(1，+o)时，'(x)>0: 当x∈(-1,0)或x∈(0,1)时，f'(x)<0. 3 所以f(x)在(-0，-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递减，在(1，+)上 单调递增 所以f(x)在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，符合题意. 又-=(+子（+到-了o,所以心为商商数 对于A,b-a=3-1=2,故A正确： 对于B,f(x)有一个极大值点和一个极小值点，所以B错误： 对于C,当x>0时，fx)-2x2=x-2x2+3--2x+3, 令g(x)=x4-2x+3,x>0,则g'(x)=4x2-6x2=2x2(2x-3), 当x0》时，8()<0,8年词运减： 当[3o时，g树>0,8（创单调适。 所以g在x处极个，即反小位，[)君0， 3 因此g(x)>0恒成立，即f(x)-2x2>0恒成立，故C正确： 对于D,当x>0时fy-4r=-4+3_-e-3）_（c+5)x+1x-1x-) 当x∈(1V3)时，(x-1)(x-V5)<0,f(x)-4x<0,即f(x)<4x,故D错误. 11.BCD 【分析】根据隔板法判断AB;根据插空法判断C;分类讨论判断D. 【详解】对于A,把7架无人机排成一排，它们之间有5个空，选3个空插入隔板分为4 组对应4条街道，共有C=10种，故A错误： 对于B,借4架无人机，共10架，排成一排共有9个空，选3个空插入隔板分为4组，再 将借的4架无人机还回去，共有C=84种不同情况，故B正确： 对于C,先排其余4架无人机，共有A4=24种排法，这4架排好后形成5个空，选2个空 插入1号，2号无人机，有￡=20种排法，所以共有24×20-480种，故C正确： 对于D,若甲街道1架，则剩下三街道按照1：2：2或1：1：3安排， 若按照122米放.有C,CCCA-540种： A 4 若按照11：3来放，有CgCA=360种， 若甲街道2架，则剩下三街道按照1：1：2安排， 共有CCA=540种： 故一共有540+360+540=1440种不同的放法. 12.84 【详解】由组合数的性质结合C4=C,得m+(m-2)=14,解得m=8, 则C号+C号+C+…+C号+C哈=1+3+6+10+15+21+28=84. 13.3+22 【详解】由题知，C的焦点F(1,0),准线为x=-1,k≠0， 如图，作AM⊥准线，BN⊥准线， =x+1)得x+(22-4到x+=0, [y2=4x 联立 设A(:,),B(x,2),则x6=1, 又：AF=AM=+1,BF=|BW=6+1, 2AF+BF=2x+2+x,+1≥22xx,+3=2W2+3 等号成立时，2X1X2 14.(-5,0)U(15 【分析】构造函数g()=四，x>0,根据导函数判断其单调性，进而结合奇偶性得出了（问） 的正负性即可求解不等式 【详解】当x>0时，f'()<f)恒成立，即寸（四）-f)<0恒成立， 令g(y=包，x>0,则g(四()f(国<0在(0+四)上恒成立. 故g()四在(0，)上单调递减， 因为f(5)=0,所以g(5)=0, 放当0<x<5时，8)=四>0，f)>0: 当x>5时，g(x)=f因<0，f冈)<0： 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故当0<x<5、x<-5时f(x)>0;当x>5、-5<x<0时f(x)<0;f(0)=0, f但0等价于>0或k0, x-1>0或{x-1<0,得1<x<5或-5<x<0, 或 x-1 故不等式f(四>0的解集为(-50)U1,5. x-1 15.(1)9:(2)T3=-18,9. 【分析】1)与出二项式的展开式的特征项7=C(-2x学，当x的指数是2时比x的 指数是1时的系数要大162，所以C(←2)2-C(-2)=162,即可求解n的值： (2)根据上一问写出的特征项以及已经求出的n值即可计算展开式中含x3的项即： Cg(2)x3=-18x3. 【详解11)因为z=c网〔3)=4C …(2分) =c'（3)-2c …(4分) 依题意得4C-2C=126, …(⑤分) 所以2-2-63=0求得n=7或n=9又n∈N,故n=9:…(6分) 2》设签+1项含项，则=G〔)（时c是， …(8分)》 所以9-3k=3,k=1,……(10分） 2 所以含x的项为T2=C(-2)x3=-18x3.… …(12分) 6 二项式系数为C吗=9.…(13分) 16.(1)单调递增区间为(-n,-√m),(Vm,+∞)，单调递减区间为(-√m,√m).(2)(0,4) 【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调 区间： f(m)>0 (2)依题意只需满足 f(m)<0 解得即可. 【详解】(1)函数f()=x3-3nx+m2(m>0)的定义域为R, 且f'(x)=3x2-3=3(x-Vm)x+Vm)… …(2分) 令f'()>0,解得x>√m或x<-Vm, 则函数f(x)在（仁0，-√），（√，十0）上单调递增…(4分)： 令f'x)<0,解得-√m<x<√m, 则函数f(x)在（←√，√m)上单调递减，…(6分）： 所以函数f(x)单调递增区间为(-n,-√)，(Vm,+),单调递减区间为(-√m,Vm).·(7分) (2)由(1)知函数f(x)在(-o,-√m上单调递增，在（√m,√m上单调递减，在(m,+) 上单调递增，则(x)展大=f(m),f(x)展小伍=f(m),…(9分) 且当x→-0时，f(x)→-0，当x→+m时，f()→+”， …(10分) 要使得函数f(x)有三个零点，则需满足 f(-m)=m2+2>0 …(们2分) (Nm)=m2-2m<0 解得0<<4…（们4分） 综上可得，实数m的取值范围(0,4). …(15分) 17.(1)a +2 (2)证明见解析 【详解】(1)当n≥2时，由2an-am-1-2=0得2(a,-2)=a-1-2…(2分) 1 因为4=3，所以4-2=1≠0，故a,-2≠0，…(3分) 所以{4-2}是以1为首项，5为公比的等比数列， (4分) 所以a-2-日)，即a=+ …（6分） o成-2+ +) 2 (7分) +2n=2-2-m+21, …(8分) 4 所以(，+2 2(n+1)2 …(9分) 当n1时，子<令不等式成过，0分》 当n≥2时， (n+1)2 …(11分) <1+1+1 。1 42×33x4 n(n+1) …(12分) =2+}t++1 =42334 …(13分) nn+l 313n-1 3n 4n+14(n+1)4(n+1) 综上工，<4+ …（15分） 18.【答案】 【详解】(1)由椭圆上满足P耳⊥P耳的点P有且仅有2个知以耳耳，为直径的圆与椭圆有2 个公共点，故b=C,…(2分) 故椭圆C:+y ’代入W22解得b2=3,兴 x2y2 6+3=1 8 故椭圆C的方程为 …(4分) (i)设A(x,6N(0,m(n>0,>0),M0,则D(x,-%)】 所以AM=(-x,-%,2A=(-2.x,2n-2%），…(5分) 由AM=2AN知-=2n-2%，6=2n …(6分) 放=片-20”=”w=k-21-子，故套=3为定值…8分列 ()由(1)可知直线：y=+nk=k,)>0,国 直线DN:y=-3kx+n; x2,y2 =1 联立 63 ,整理得：(22+1x2+4k+(2n-6)=0,…(9分) y=kx+n 2n2-6 2(2-3 故由韦达定理。次+。(2F+) 2k(r2-3 -→yB=hcg+n (2k+1) -+n…(10分) 同理可得：g 2(r-3) …（11分) 18k2+1)x 2(r2-3)2(r-3) -322(m2-3 故-0sw+5(2+1元08*+02+1西 …（12分) -6k(m2-3),2k(n2-2）-8k(6k2+1(n-3) %(82+1)"(22+13 -+n (182+1(2K+1)石 …(13分) 散9-动学36a置 …（14分) 当且仅当6青时取等号： …(15分) 6 n√6 此时√6-876 i-3 ,故N在椭圆C内→△>0成立；…(16分) 综上所述：直线B驱的斜率的最小值为V后.… …(17分) 2 19.【详解】1)解：由函数8()=.2 2云，可得g)= 1. .1 +不（2分) 所以g(国-0，且g'0）-=子即切线的斜率为k=子切点为4.0，…(3分) 所以g(x)的图像在x=1处的切线方程为y=二x-1,即x-4y-4=0.…(4分) (2)证明：当m=1时，函数f(x)=hx-2h2, 9 要证明x≥4，f9≤g),即证x24,x-车+子-2h250.…《5分 2√x 设=，则s≥1，问题转化为s≥1,2血s-5+与0， 2 设r)-=2ns-5+6≤，则r-?1--= -≤0，…(7分) 2 所以F(s)在区间[1，+∞)上单调递减，所以F(S)≤F()=0,… …(8分) 即s≥1,2hs-s+s0,即x≥4，x+3 -2n2≤0， 所以x≥4，f(x)≤g(x).… …(9分) (3)解：由(x)=[fx)+21-m)n2了-g2(x)=0, 即52+mnx-2mn2=0或52 2√ -mnx+2mln2=0,…(10分) 2√x 设f=上>0，则2+2mlnt=0或12mnt=0,…(11分) 12>0, ①设P0=t-+2mnt,可得P'(④=-1++ 所以P(t)在(0，+∞)单调递增，又P(I)=0有一个零点. …（12分) ②设Q0=t2mhi,则Q(@=1+7四 12mt2-2t+1 当0<m≤1时，Q()≥0,2(0)在(0，+0)单调递增，又Q1)=0:所以Q0=t--2mlnt 有一个零点.…(13分) 当>1时，令t2-2t+1=0,得t=m±Vm2-1, 则2()在区间(0，m-Vm2-1,(m+Vm2-1,+∞)上单调递增， 在区间(m-vm2-1,m+Vm2-1,上单调递减， 且m-Vm21=1 m+√2-1 ∈(0,0，m+Vm-1e(1,+o),Q(1)=0, 所以e(m-vm2-1>0, g(m+m2-0,.… …（14分) 10 由e>2加>m+m-1,<m-mi,（15分) 且g-e+4i<0,e(e）-e-4nm>0, 所以2)在区间(0，m-m-,(m+Vm-1,+∞)上各有1个零点.…(16分) 综上得，当0<≤1时，h(x)有1个零点；当m>1时，h(x)有3个零点.…(17分) 11