广东省南澳县南澳中学2025-2026学年第二学期期中质检高二数学试题

南澳中学2025-2026学年度第二学期期中质检 高二级数学科试题 答卷时间：120分钟，全卷满分150分，使用黑色水性笔答题，不准使用计算器. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合M={x1<x<1},W={x2<2,x∈z},则 A.MCN B.N∈MC.MN=ND.MN={O} 2.下列错误的是 A.A3=35 B.Cie C.C-m(-m) n D.C9+C+C++C=2” 5+i 3.已知复数z= ,其中i为虚数单位，则= (1+i)2 A. B.1 C.2 D.1 2 4.已知函数f(x)= 1ogx,(x>0),则不等式f)>1的解集为 2x,(x≤0) (A)(2,+0)(B)(-0,0)(C)(-0,0)(2,+0)(D)(0,2) 5.已知b,c分别是△ABC的三个内角AB,C的对边，且S8c=a+b:-,则角C- A.30°B.45°C.60°D.90° 6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一 半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健 步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”问此人第5天和第6 天共走了A.24里B.6里C.18里D.12里 7.曲线y=e5x+2在点(0,3)处的切线方程为 A.y=5x+3B.5x+y-3=0C.yx+3D.y=-5x-3 1 8.己已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为二R,AB=AC=2, ∠BAC=120°，则球0的表面积为 44 16 16 3 ®15元©64元D元 3 9 9 2025-2026第二学期期中质检高 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9已知函数f9=3x-x+4在X2处有极值则 28 4 A.c=4Bfx)在(-2,2)内单调递增C,fx)的极大值为 Dx)在[0,3]上的最小值是- 3 10.已知函数f(x)=sim(2x+p)0<p<的图象的一个对称中心为 3 则 21 80 A.最小正周期T=2π B.函数fx)的单调递减区间是 kπ+二，kπ十 5π 8 (k∈Z) 8 π，kπ C.函数fx)是最小值为0的奇函数D.函数x)图象的对称轴为x=二+二，k∈z 82 11.下列正确的是 A.(9x+- )展开式第9项的二项式系数最大B在12x少的展开式中，各项系数的和是1 3vx C.(x+y-2z)的展开式中，yz2的系数是120 D.(1+x+x)&-二)的展开式中的常数项为-5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 1颍率/组距 0.035=------- 12.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制 a 成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知α=」 ,若要从身高在 0.020 [120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法 0.010 选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数 0.005 应为 100110120130140150身高 1B已知平面向量a与方的夹角为写a=(5),h-2=25,则l- 14过点A(一1,0)且斜率为kk>0》的直线与抛物线少=4x相交于B,C两点，若1=BC,则 k= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题17分) (1)由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？ (2)在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.求抽出的3件中至少有1件是 次品的抽法有多少种？ ③)求(2√反-1)的展开式中x的系数 数学试题第1页共2页 16.(本小题15分)（提示：本题答题卡空间有限，字体不宜过大） 己知正项等差数列{a}满足a+as=9,as4=20,等比数列{b}的前n项和Sn满足Sn=2”-c,其中c是常数 (1)求c以及数列{a}、{bn}的通项公式；(2)设cm=ba,求数列{cn}的前n项和Tn 17.(本小题15分) 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点，EP⊥平面ABCD (1)求证：AQ∥平面CEP;(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP;(3)若EP=AP-a,求平面QAE与平面PAE的夹 角的余弦值。 B P Q D 2025-2026第二学期期中质检高 18.(本小题15分) 己知椭圆C: x2 y +6 -1a>i>0,它的一个焦点为F-L0),且经过点M(125 (I)求椭圆C的方程； ()已知圆的方程是x2+y2=+b,过圆上任一点P作椭圆C的两条切线1与1，求证1⊥1，· 19.(本小题15分) 己知函数f(x)=x +1+a-alnx,a∈R.(I)求函数f()的单调区间： ()若在区间[，d(e=2718)上存在一点，使得+<an,-)成立，求a的取值范围 数学试题第2页共2页 南澳中学2025-2026学年度第二学期期中质检高二级数学科答案 答卷时间：120分钟，全卷满分150分，使用黑色水性笔答题，不准使用计算器. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C B C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 题号 9 10 11 答案 ACD BD CD 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.__0.030__，___3_____ 13. _____2______ 14. __________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解:(1) ;(---------5分) (2)=9506+98=9604;(----------10分) (3)∵通项是,(----------15分) ∴3-k=2,k=1,∴x2的系数是(----------17分) 16.解：（1）数列为正项等差数列，公差， ，又， ，，可得，即可得；----(5分) ① 当时，， 当n≥2时，② ①②即可得(n≥2)，又为等比数列， ，即可得，，；----(10分) （2）由题意得， ，③ ，④ ③④可得：． ．----(15分) 17. (1)在矩形ABCD中,由, ,得,即四边形为平行四边形,从而, 又因为,所以AQ∥平面CEP, (------------------5分) (2)由,,,因为 为的中点,则,连结,则四边形为正方形, 得,由,可得, 因为可得平面AEQ⊥平面DEP,;(------------10分) (3)依题意可知PA,PE,PQ两两垂直,建立如图的坐标系,得A(a,0,0),Q(0,a,0),E(0,0,a),得 =(-a,a,0),,设平面AEQ的法向量为,则,,即:,解得,,不妨设 z=1,则,平面AEP的一个法向量为,设与的夹角为，则, 从而二面角Q-AE-P的余弦值为.(------------------15分) 18.(Ⅰ)一个焦点为，则 (---------------3分) .椭圆的标准方程是(-------------6分) (Ⅱ)设 ，若过点 的切线斜率都存在，设其方程为 ， 由 得， ，(------8分)  直线与椭圆相切， ，(---------------9分)  ， 整理得 ，(----------10分)  椭圆 的两条切线的斜率分别为 , ，(-------11分)  点 在圆 上, ,即 , .(----------13分)  若过点的切线有一条斜率不存在，不妨设该直线为，则的方程为，的方程为，所以.综上，对任意满足题设的点，都有.(------------------15分) 19.解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）. (-----------1分) (--------------3分) ①当，即时， 因为当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. (------------5分) ②当，即时， 因为当时，，故在上单调递增. (----------7分) 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为.(-------------8分) (Ⅱ)在上存在一点,使得,即， 也就是在上存在一点,使得,即函数在上的最小值小于零. (-------------10分) 由（Ⅰ）可知：①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由，可得. 因为，所以；(-------------11分) ②当，即时，在上单调递增， 所以最小值为，由，可得；(---------12分) ③当,即时,可得最小值为,(--------13分) 因为，所以， 故，此时，不成立. (------------14分) 综上讨论可得所求的范围是：.(-----------15分) - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $