3.2.2 奇偶性【考点突破+强化训练】2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 知识点1：函数奇偶性的概念 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 【注意】(1)奇、偶函数定义域的特点 由于f (x)和f (－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1(f (x)≠0)； ②偶函数有f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1(f (x)≠0)． 判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法： (2)图象法： 知识点2：利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． (2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． (3)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f (x)在[－b，－a]上有最小值为－M． (4)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f (x)在[－b，－a]上有最大值为N． 考点一　函数奇偶性的定义与判断 考点二　由奇偶性求函数解析式 考点三　由奇偶性求参数 考点四　由函数奇偶性解不等式 考点五　函数奇偶性的应用 考点六　奇偶函数对称性的应用 考点一　函数奇偶性的定义与判断 1．（2026高一·全国·专题练习）判断函数的奇偶性. 【答案】为上的奇函数 【分析】利用奇偶函数的定义，结合的解析式即可判断. 【详解】对于，其定义域为，关于原点对称， 当时，，， 当时，，， 又， 综上，对于任意，恒有，故为上的奇函数. 2．（2026高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)即是奇函数也是偶函数 (6)非奇非偶函数 【分析】根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称． ，故为奇函数； （2）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数； （3）因为，所以，即函数的定义域为， 不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数； （4）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以．又， 所以是奇函数； （5）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称．因为对定义域内的每一个， 都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数； （6）因为，所以，所以的定义域为， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数． 故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非偶函数 3．（2026高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)非奇非偶函数 【分析】根据题意，先求得函数的定义域。判断是否关于原点对称，再由函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】（1）定义域：  ∵对于任意且 ∴为奇函数. （2）定义域：  ∵对于任意且 ∴为偶函数. （3）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. （4）定义域： ∴为非奇非偶函数. （5）定义域：，解得，∴为非奇非偶函数. （6）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. 4．（2026高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）奇函数 （2）既不是奇函数也不是偶函数 （3）既是奇函数又是偶函数 （4）奇函数 【分析】根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可. 【详解】（1）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数. （3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （4）函数的定义域为，定义域关于原点对称. ①当时，， 所以，，所以； ②当时，，所以； ③当时，，所以. 综上，可知函数为奇函数. 考点二　由奇偶性求函数解析式 5．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 6．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 7．（2026高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 8．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）（多选）已知函数满足，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【详解】由，可得， 故函数是上的奇函数，则即A，B正确，C错误； 当时，，则，故D正确. 9．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 考点三　由奇偶性求参数 11．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知在上为偶函数，则实数a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为函数在上为偶函数， 所以对称轴为，即. 方法二：因为函数在上为偶函数， 所以对，恒有. 即对恒成立. 所以. 12．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 13．（2026·湖南湘潭·三模）已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由奇函数的性质可知，解得. 14．（25-26高一下·浙江杭州·期末）（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 15．（2026高一·全国·专题练习）若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 16．（2026高一·全国·专题练习）若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 考点四　由函数奇偶性解不等式 17．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 18．（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 19．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 20．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 21．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 22．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求出参数的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 因为，当时，有, 所以函数在区间上单调递减，则由，得, 解得，即，所以不等式的解集是 23．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 24．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 考点五　函数奇偶性的应用 25．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 26．（25-26高一·湖南·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用是上的偶函数可知，，再根据在区间上单调递增即可判断大小. 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 27．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 【答案】 【分析】首先根据偶函数的性质转化不等式，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，， 所以， 当时，单调递增， 所以，即， 解得， 不等式的解集为. 28．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 29．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. (2) 【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 30．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·期末）设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，， 所以， 则. 考点六　奇偶函数对称性的应用 31．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 32．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 33．（25-26高一下·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【分析】根据关于对称即可求解. 【详解】由于，可得关于点对称， 故. 34．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】先得到在上单调递增，从而得到，结合单调性得到不等式，求出解集. 【详解】是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 故在上单调递增， 又，故，即， 所以，故或，解得或， 故解集为. 故答案为： 35．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数是定义在上的偶函数，且在上是严格增函数．若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求出，然后再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得，则的定义域为， 又因为在上是严格增函数，不等式即为， 解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 36．（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【分析】变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数，其定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，且在上单调递减，所以A符合题意； 对于B，函数，则满足，即函数的定义域为， 所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，且， 可得函数为偶函数，所以C不符合题意； 对于D，函数，根据幂函数的性质得，函数在上单调递增，所以D不符合题意. 2．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 3．（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】C 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 4．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 5．（2026高三·全国·专题练习）若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义求出时的解析式，可得答案. 【详解】因为函数为奇函数，设，则， 所以 又因为时，， 所以， 即当时，， 所以. 故选：B. 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以， 解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故选：A 7．（25-26高一上·广东·阶段检测）（多选）已知函数满足，则（   ） A．若函数为奇函数，且在上单调递减，那么它在上有最小值－5 B．若函数为奇函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值－5 C．若函数为偶函数，且在上单调递减，那么它在上有最大值5 D．若函数为偶函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值5 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合单调性逐项分析求出最值即可. 【详解】对选项A，B，因为奇函数在轴两侧的单调性相同，所以当函数在上单调递减时，它在上单调递减，故最小值为，故A正确； 当函数在上单调递增时，它在上单调递增，故最大值为，故B错误； 对选项C，D，因为偶函数在轴两侧的单调性相反，所以当函数在上单调递减时，它在上单调递增，故最大值为，故C正确； 当函数在上单调递增时，它在上单调递减，故最小值为，故D正确． 故选:ACD． 8．（25-26高一上·广东肇庆·期末）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．在上是增函数 B． C．设，则的解集是 D．设，用表示和中的较大者，则 【答案】ACD 【分析】A根据在上的单调性以及奇偶性判断；B通过计算判断；C求出的解析式，再解不等式即可；D由C选项可得出时，即可求出. 【详解】因为的对称轴为， 所以在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，且， 所以在上单调递增，则在上是增函数，故A正确； ，故B错误； 当时，，则， 因为函数是奇函数，所以， 则， 则等价于或，得， 则的解集是，故C正确； 由C选项可知，时，则，故D正确. 故选：ACD 9．（25-26高二上·云南曲靖·期末）（多选）设函数是定义在区间上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是定义域内的减函数 D．的值域为 【答案】AB 【分析】利用偶函数的定义求解，利用二次函数的图像和性质求出的单调性和值域. 【详解】函数是定义在区间上的偶函数， 所以且解得，A、B选项正确， 所以，函数在定义域内先减后增，C选项错误，定义域是， 值域是，D选项错误． 故选：AB． 10．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）（多选）已知函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】将两点代入函数中计算可得A、B；结合偶函数定义计算可得C；利用函数单调性及其对称性计算可得D. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 故，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于，两边平方可得， 解得，故选项D正确． 故选：ACD. 11．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）函数是定义在上的奇函数，下列说法中正确的是（   ） A． B．若在上为增函数，则在上为减函数 C．若在上有最小值，则在上有最大值1 D．，使 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 对于B：因为是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 则在上为增函数，故B错误； 对于C：因为是定义在上的奇函数，则的图象关于原点对称， 又在上有最小值，所以在上有最大值，故C正确； 对于D：因为是定义在上的奇函数，则，都有，故D错误. 故选：AC 12．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 13．（25-26高一上·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】利用奇函数的性质求出的值，然后利用时的解析式以及奇函数的性质可得到的单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】已知是上的奇函数，当时，， 由奇函数性质得，则， 因此当时，， 由对称轴，且为开口向上的抛物线， 得到在上单调递增， 又因为是定义在上的奇函数，所以在上也单调递增， 又，可得在上单调递增， 由，得到，解得. 故答案为： 14．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数为奇函数，则________. 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的定义，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，则 因为 ， 所以， 则， 解得. 15．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 16．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性 知识点1：函数奇偶性的概念 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 【注意】(1)奇、偶函数定义域的特点 由于f (x)和f (－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1(f (x)≠0)； ②偶函数有f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1(f (x)≠0)． 判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法： (2)图象法： 知识点2：利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． (2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． (3)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f (x)在[－b，－a]上有最小值为－M． (4)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f (x)在[－b，－a]上有最大值为N． 考点一　函数奇偶性的定义与判断 考点二　由奇偶性求函数解析式 考点三　由奇偶性求参数 考点四　由函数奇偶性解不等式 考点五　函数奇偶性的应用 考点六　奇偶函数对称性的应用 考点一　函数奇偶性的定义与判断 1．（2026高一·全国·专题练习）判断函数的奇偶性. 2．（2026高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 3．（2026高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 4．（2026高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）. 考点二　由奇偶性求函数解析式 5．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 6．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 7．（2026高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 8．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）（多选）已知函数满足，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D．当时， 9．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 考点三　由奇偶性求参数 11．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知在上为偶函数，则实数a的值为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 13．（2026·湖南湘潭·三模）已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·浙江杭州·期末）（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 15．（2026高一·全国·专题练习）若函数是上的偶函数，则的值为______． 16．（2026高一·全国·专题练习）若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 考点四　由函数奇偶性解不等式 17．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 18．（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 20．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 24．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点五　函数奇偶性的应用 25．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一·湖南·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 28．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 29．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 30．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·期末）设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 考点六　奇偶函数对称性的应用 31．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 33．（25-26高一下·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 34．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____． 35．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数是定义在上的偶函数，且在上是严格增函数．若，则实数的取值范围是________． 36．（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 4．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东·阶段检测）（多选）已知函数满足，则（   ） A．若函数为奇函数，且在上单调递减，那么它在上有最小值－5 B．若函数为奇函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值－5 C．若函数为偶函数，且在上单调递减，那么它在上有最大值5 D．若函数为偶函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值5 8．（25-26高一上·广东肇庆·期末）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．在上是增函数 B． C．设，则的解集是 D．设，用表示和中的较大者，则 9．（25-26高二上·云南曲靖·期末）（多选）设函数是定义在区间上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是定义域内的减函数 D．的值域为 10．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）（多选）已知函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为 11．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）函数是定义在上的奇函数，下列说法中正确的是（   ） A． B．若在上为增函数，则在上为减函数 C．若在上有最小值，则在上有最大值1 D．，使 12．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 13．（25-26高一上·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数为奇函数，则________. 15．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 16．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $