第10讲 函数的单调性与最大（小）值（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第10讲 函数的单调性与最大（小）值（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 函数的单调性 前面学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法. 【知识点1 函数的单调性】 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【知识点2 函数单调性的判断】 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断与证明】 【例1】（25-26高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【解答过程】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【变式1-2】（2026高一上·江苏·专题练习）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 【答案】函数在上单调递增；证明见解析 【解题思路】通过单调性的定义判断即可. 【解答过程】函数在上单调递增. 证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，且. 所以，且. 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【变式1-3】（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明见解析 【解题思路】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【解答过程】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数. 证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 【题型2 求函数的单调区间】 【例2】（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【解答过程】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【解答过程】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【解题思路】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【解答过程】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】令 ，则在上单调递增； ，因式分解得，解得定义域为或，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此，在上单调递减；在上单调递增. 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：B. 【题型3 根据函数的单调性求参数】 【例3】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【解答过程】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】任取，且，化简得到，转化为恒成立，求得，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【解答过程】任取，且， 则 ， 若函数在上单调递增，则恒成立， 因为，可得，则，即恒成立， 又因为且，可得，则，所以， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由函数在R上单调递增，结合反比例和二次函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由反比例函数及二次函数的单调性可知， 若函数在R上单调递增， 有， 可得． 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【解答过程】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. 【题型4 利用函数的单调性比较大小】 【例4】（25-26高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的周期性，把函数放在同一单调区间内，再利用单调性比较大小即可. 【解答过程】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即. 故选：A. 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【解答过程】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是R上的减函数，且，所以． 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【解答过程】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用已知的函数性质，把比较函数值的大小转化到同一个单调区间上的函数值比较大小的问题来解决. 【解答过程】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 【题型5 利用函数的单调性解不等式】 【例5】（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的单调性，即可得，求解即可． 【解答过程】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 【变式5-1】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得当时，，当时，，所求变为或，分析即可得答案. 【解答过程】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 解得或，所以解集为. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，得在上单调递增，从而有，解出不等式，即可求解. 【解答过程】因为，且， 所以两边同时除以，得到， 又，则在上单调递增，又，则， 由，得到， 即或，所以， 则，解得，又或， 所以或，故D正确. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据不等式的结构构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】由题意，不妨设， 则由，可得， 则，所以， 令，则，所以函数在上单调递减， 由，得，由，得， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 模块三 函数的最大（小）值 【知识点3 函数的最值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型6 利用函数单调性求最值或值域】 【例6】（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】先求函数单调性，即可得最值. 【解答过程】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 【变式6-2】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【解答过程】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 【变式6-3】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【解题思路】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【解答过程】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 【题型7 根据函数的最值求参数】 【例7】（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解答过程】函数， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【解题思路】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【解答过程】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解答过程】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选：A. 【变式7-3】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【解答过程】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【题型8 函数图象的识别及应用】 【例8】（25-26高一上·山东青岛·期中）的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用时，，排除AD；利用，函数单调递减，排除B得解. 【解答过程】由，当时，，排除AD； 当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，排除B. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【解答过程】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 【变式8-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对分类讨论，分析函数的单调性，即可判断. 【解答过程】当时， 由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，选项A符合； 当时，在，上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在，上单调递增，故当时，选项B符合； 当时，，定义域为，选项C符合； 综上可得无论为何值，D选项均不符合题意. 故选：D． 【变式8-3】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解题思路】利用函数的图象逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·天津西青·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数的单调区间，结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【解答过程】函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【解答过程】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A. 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据单调性比较即可. 【解答过程】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 4．（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据二次函数的性质，可得m的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【解答过程】函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 由在上单调递增，可得， 所以“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用定义域的限制及函数的单调性列不等式组，解不等式组求出解集． 【解答过程】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 6．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【解答过程】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A. 7．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 8．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【解答过程】由 ，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为 或 或， 即或. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林辽源·期中）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据函数的图像与性质分析即可得出答案. 【解答过程】对于A：为开口向上的二次函数，对称轴为y轴，所以满足上单调递增； 对于B：为反比例函数，在上单调递减； 对于C：当时，，显然单调递增； 对于D：为一次函数，且斜率大于0，所以满足上单调递增， 故选：ACD. 10．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【解题思路】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【解答过程】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 11．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数的定义域是，且，当时，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．函数在区间上单调递减 C． D．若，满足不等式的取值范围是 【答案】ACD 【解题思路】利用赋值法计算判断AC；结合函数单调性的定义可判断B，由已知函数值求得，然后由已知式把不等式变形后由单调性可解判断D． 【解答过程】对于A，取得， 因为，所以，故A正确； 对于B，设且，有， 因为时，，所以，于是， 即，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，取得，所以， 取，，则， 即， 则有， 因此，故C正确； 对于D， 令得， 若，则， 因为，所以， 所以，解得， 故满足不等式的取值范围是，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是__________. 【答案】 【解题思路】利用函数单调性的定义判断在上的单调减区间，即可求解. 【解答过程】任取，且， 则， 当时，，，所以即， 当时，，，所以即， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故答案为：. 13．（2025高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】从解析式中分离常数，利用反比例函数的性质求解. 【解答过程】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知定义在R上的函数满足，对任意的实数、，且，，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解题思路】设，即可判断的单调性，不等式等价于，结合函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】设，因为对任意的实数且，， 所以，即， 所以在上是减函数，因为，所以， 不等式， 所以，解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【解答过程】（1）设任意； ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （2）是上的增函数且. 解得， 所以不等式的解集为. 16．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)图象见解析；. 【解题思路】（1）根据分段函数计算函数值； （2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间. 【解答过程】（1）； （2） 由图象知函数的单调递增区间为. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【解答过程】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 18．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 【答案】(1)函数的最小值为，最大值为； (2) 【解题思路】（1）根据函数在的单调性讨论求解即可； （2）分，，三种情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. （2），开口向上，对称轴为， 所以，当时，在上单调递增，故，解得，满足； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故，即，方程无解； 当时，在上单调递减，故，解得，不满足； 综上，当时，函数在上的最小值为2. 19．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【解答过程】（1）任取 ，且 ， 则 ， 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数的取值范围为：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的单调性与最大（小）值（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 函数的单调性 前面学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法. 【知识点1 函数的单调性】 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【知识点2 函数单调性的判断】 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断与证明】 【例1】（25-26高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【变式1-2】（2026高一上·江苏·专题练习）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 【变式1-3】（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【题型2 求函数的单调区间】 【例2】（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【变式2-3】（25-26高一上·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据函数的单调性求参数】 【例3】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型4 利用函数的单调性比较大小】 【例4】（25-26高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用函数的单调性解不等式】 【例5】（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 模块三 函数的最大（小）值 【知识点3 函数的最值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型6 利用函数单调性求最值或值域】 【例6】（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【题型7 根据函数的最值求参数】 【例7】（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【变式7-1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【变式7-3】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型8 函数图象的识别及应用】 【例8】（25-26高一上·山东青岛·期中）的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·天津西青·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 7．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林辽源·期中）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 11．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数的定义域是，且，当时，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．函数在区间上单调递减 C． D．若，满足不等式的取值范围是 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是__________. 13．（2025高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知定义在R上的函数满足，对任意的实数、，且，，则不等式的解集为__________． 四、解答题 15．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 16．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 18．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 19．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $