精品解析：吉林省吉林市第一中学2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷

吉林一中2025—2026学年度下学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知关于的线性回归方程为，样本点处的残差为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 2. 如图，全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知函数，则该函数的图象大致为 A. B. C. D. 4. 一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 米/秒 B. 6米/秒 C. 9米/秒 D. 12米/秒 5. 命题p：若，则；命题q：，则（ ） A. p真q真 B. p假q真 C. p真q假 D. p假q假 6. 若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则第3项的系数为（ ） A. 180 B. C. D. 880 7. 已知，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 8. 已知函数，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. 若，，则 D. 若角终边经过点，则 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 幂函数是非奇非偶函数的充要条件是 B. 化简结果为 C. 函数的单调增区间是 D. 已知函数，若，且，则 11. 设函数，则（ ） A. B. 当时， C. 方程有3个不等的实根 D. 若方程有2个不等的实根，则或或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______. 13. 已知，则________． 14. 已知集合，，现随机从M和N中各抽取3个不同的数分别组成最大的三位数m，n，则事件“”的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高校实行提前自主招生，老师从个不同的试题中随机抽取个让学生作答，已知甲同学能答对这个试题中的个，乙同学答对每道题的概率均为，每道题答对得分，答错扣分． （1）若甲同学答对的题数为，求的分布列以及数学期望； （2）若乙同学的得分为，求． 16. 吉林文旅部门统计了某景点在2026年2月至6月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据： 月份x 2 3 4 5 6 旅游收入y 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数r判断（r的结果保留2位小数）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请直接填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据： 线性回归方程：，其中， ，其中． 临界值表： 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数． （1）求在区间上的最大值； （2）讨论函数，的单调性． 18. 一盒子中有大小与质地均相同的个小球，其中白球个，其余为黑球，、，． （1）若，，有放回地依次取球，求第次取球时才首次取到黑球的概率； （2）若，，不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，判断事件与是否相互独立（写出理由）； （3）若，依次随机不放回抽取一个球，记为最后一个白球被取出时所需的抽取次数，求． 19. 已知函数． （1）函数． （ⅰ）若是的极值点，，，求n的值； （ⅱ）若，与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，求实数a的取值范围； （2）若函数，，，是的两个极值点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中2025—2026学年度下学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知关于的线性回归方程为，样本点处的残差为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求样本点处对应的预测值，再用实际观测值减去预测值即可得到残差. 【详解】将代入线性回归方程中，得预测值， 已知该样本点的实际观测值为：，所以样本点处的残差为：. 2. 如图，全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，并根据得到答案 【详解】，或， 图中阴影部分所表示的集合为， 其中， 故. 3. 已知函数，则该函数的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数研究函数的单调性确定函数的大致图象；也可以根据函数值的符号排除干扰项，即可得到正确选项． 【详解】解:当时，， 所以． 记，则． 显然时，，函数单调递减， 时；，函数单调递增， 所以， 所以， 又当时，， 所以， 所以函数在上单调递减． 故排除B，D选项；而， 故排除C选项． 故选:A． 【点睛】本题考查函数图象的识别，考查的核心素养是直观想象、数学运算． 4. 一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 米/秒 B. 6米/秒 C. 9米/秒 D. 12米/秒 【答案】D 【解析】 【详解】∵∴ ∴ 即当时，该质点的瞬时速度为12米/秒. 5. 命题p：若，则；命题q：，则（ ） A. p真q真 B. p假q真 C. p真q假 D. p假q假 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用二倍角余弦公式判断命题 的真假，利用指数幂、对数的运算性质计算命题 中式子的值判断 的真假，即可得到正确选项. 【详解】根据二倍角余弦公式 ，将 代入得： ， 移项整理得 ，因此 ，并非只有 ，故命题 为假命题； ，故命题 为真命题. 综上，p假q真， 6. 若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则第3项的系数为（ ） A. 180 B. C. D. 880 【答案】A 【解析】 【分析】由第4项与第8项的二项式系数相等求出的值，再根据二项式的通项公式求出展开式中第3项的系数. 【详解】由题意可得，即，由二项式的通项公式为， 所以第3项的系数为. 7. 已知，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质可得，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以，即, 所以，解得,当且仅当时取等号， 所以的最大值为4. 8. 已知函数，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】，使得可化为，使得，即. 令，，则. 令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为. 故a的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. 若，，则 D. 若角终边经过点，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，由特殊角的函数值得到A正确；B选项，利用诱导公式和逆用余弦差角公式进行求解；C选项，根据的关系式，结合角的范围可得答案；D选项，由三角函数定义及余弦和角公式进行求解 【详解】A选项，内，只有，故，A正确； B选项， ，B正确； C选项，，两边平方得， 即，， 因为，所以， 又，所以，故， ， 所以，C错误； D选项，角终边经过点， 则，， 故，D错误. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 幂函数是非奇非偶函数的充要条件是 B. 化简结果为 C. 函数的单调增区间是 D. 已知函数，若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及函数的奇偶性判断A；根据代数式化简判断B；根据复合函数的单调性判断C；根据导数与单调性及最值的关系证明D. 【详解】对于A，由为幂函数，得，即，解得或. 当时，，此时为偶函数；当时，，此时为奇函数，故A错误. 对于B，由题意知，所以，所以，B正确. 对于C，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，C错误. 对于D，的定义域为，， 令，则，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减. 若，且，不妨设， 令，，， . 因为，所以，，因此，则在上单调递增， 又，所以当时，有，故， 又，所以. 因为，，在上单调递减，所以，即，D正确. 11. 设函数，则（ ） A. B. 当时， C. 方程有3个不等的实根 D. 若方程有2个不等的实根，则或或 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.依据分段函数的递推定义，将转化为，代入第一段表达式计算即可判断； B.根据x的取值范围，将x-3代入第一段解析式，乘化简后验证表达式是否正确； C.分段梳理的图象与取值范围，结合对数函数的单调性，判断两函数图象交点总数； D.分区间讨论直线与分段函数图象的交点个数，对应得出斜率k的取值范围. 【详解】选项 A，，，因此， A 正确； 选项 B，当时，，满足， 因此，故，B 错误； 选项 C，分析与的图象交点情况： 是上的单调递增函数，在时，， 即图象上每一个点向右平移3个单位，纵坐标变为原来的， ：，，仅处，无交点. ：从递减到，从递增到，由零点存在定理，有个交点， ：从递增到，从递增到，有个交点. ：从递增到，时，恰好，为第个交点， ：最大值为，，无交点， 综上共个不等实根，C 正确； 选项 D，分析直线与的交点个数： ：时，解方程得负根，加上，共个实根， ：仅在内有个正交点，加上，共个实根， ：在内有个正交点，加上，共个实根，与选项描述一致，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊值法进行求解即可. 【详解】在中，令， 则有， 故答案为： 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知等式求解的值，再将所求三角函数式转化为关于的齐次式，代入数值计算即可. 【详解】已知，得， 展开整理得，解得， 因为，所以，  由于，故，将上式分子分母同时除以得：   代入计算： . 14. 已知集合，，现随机从M和N中各抽取3个不同的数分别组成最大的三位数m，n，则事件“”的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】三位数m，n的百位数分别为，分、和三种情况讨论，结合对称性以及条件概率运算求解. 【详解】设事件“”为事件A，三位数m，n的百位数分别为， 满足有三种情况： 若，此时恒成立，则； 若，此时恒成立，则； 若，则， 且，由对称性可知， 可得； 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高校实行提前自主招生，老师从个不同的试题中随机抽取个让学生作答，已知甲同学能答对这个试题中的个，乙同学答对每道题的概率均为，每道题答对得分，答错扣分． （1）若甲同学答对的题数为，求的分布列以及数学期望； （2）若乙同学的得分为，求． 【答案】（1） 的分布列为： 期望 . （2） 【解析】 【分析】（1）确定甲答对题数服从超几何分布，计算各取值概率得到分布列后求解期望即可； （2）确定乙答对题数服从二项分布，建立得分与答对题数的线性关系，结合方差性质计算即可. 【小问1详解】 由题意，道题中甲会答道、不会答道，抽取道题作答时，的可能取值为， 当时，； 当时，； 当时，； 因此，的分布列为： 所以期望 . 【小问2详解】 设乙答对的题数为，共抽取道题，每题答对概率为且各题结果独立，故， 所以方差， 根据得分规则，总得分， 所以. 16. 吉林文旅部门统计了某景点在2026年2月至6月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据： 月份x 2 3 4 5 6 旅游收入y 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数r判断（r的结果保留2位小数）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请直接填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据： 线性回归方程：，其中， ，其中． 临界值表： 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可用线性回归模型拟合，相关系数，线性回归方程为 （2）完善后的列联表如下： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联” 【解析】 【分析】(1) 将数据代入相关系数及回归方程系数公式直接求解； (2) 代入数据求出. 【小问1详解】 因为， ，， ， 所以相关系数，线性相关性较强，可以用线性回归模型拟合y与x的关系. ，， 故线性回归方程为. 【小问2详解】 完善后的列联表如下： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 则， 故能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”. 17. 已知函数． （1）求在区间上的最大值； （2）讨论函数，的单调性． 【答案】（1）18 （2）当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）先对函数进行求导，得到函数的极值点，然后计算各关键点的函数值，最后比较得最大值. （2）先化简函数并确定函数定义域，然后对函数去绝对值分段，分别求各段的导数并判断单调性，最后总结单调性. 【小问1详解】 ，令，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 因为， ， 故在区间上的最大值为18. 【小问2详解】 , ①当时，，， 故在上单调递减， ②当时，,, 若，当时，，故在上单调递增， 若，令得： 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 18. 一盒子中有大小与质地均相同的个小球，其中白球个，其余为黑球，、，． （1）若，，有放回地依次取球，求第次取球时才首次取到黑球的概率； （2）若，，不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，判断事件与是否相互独立（写出理由）； （3）若，依次随机不放回抽取一个球，记为最后一个白球被取出时所需的抽取次数，求． 【答案】（1） （2）不相互独立.理由：第一次取球时总共有10个球，其中6个白球，因此第一次取到白球的概率为：. 若事件不发生（第一次取到黑球），剩余9个球中白球仍为6个，因此第二次取到白球的概率为 . 所以. 事件为“第一次和第二次都取到白球”，则， 又因为，故， 因此事件不相互独立. （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率进行计算即可. （2）求出、、的值，再结合独立事件的定义判断即可； （3）将全部个球随机排列，等价于排列中第个白球所在的位置，列出期望表达式，然后进行化简即可. 【小问1详解】 有放回取球时每次取球结果互不影响，总球数为10，白球6个，黑球4个， 因此单次取到白球的概率为，单次取到黑球的概率为. 第3次才首次取到黑球，即前2次均取到白球，第3次取到黑球，三次取球相互独立， 概率为三次对应概率的乘积，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知，总球数，白球个，黑球个，的取值范围为. 将全部个球随机排列，等价于排列中第个白球所在的位置， 设个白球的位置为随机变量，则. 对任意：要使最后一个白球在第位，则前个位置恰好有个白球， 剩余个黑球，则 所以，利用组合恒等式. 所以 又 ， 所以. 19. 已知函数． （1）函数． （ⅰ）若是的极值点，，，求n的值； （ⅱ）若，与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，求实数a的取值范围； （2）若函数，，，是的两个极值点，求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）求导，令，，分析可知的极值点即为的零点，利用导数分析的零点即可；（ⅱ）设关于原点对称的函数，可得，令，，利用导数分析的单调性和图象，即可得解； （2）求导，分析可知有2个不相等实根，，令，整理可得，令，可得，构建函数，，利用导数求最值即可得解. 【小问1详解】 （ⅰ）因为的定义域为，且， 令，，可知的极值点即为的零点， 当时，则，即在内无零点，则， 又因为对任意恒成立，可知在内单调递增， 且，， 可知的唯一零点，由题意可得； （ⅱ）因为的定义域为，设关于原点对称的函数为， 可知的定义域为，则，可得， 可知与有2个交点， 令，即，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当趋近于0或时，趋近于，如图所示： 由图象可得：，即， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由题意可知：， 则， 令可得， 由题意可知：有2个不相等实根，， 则，解得， 可得，， 则， 令，则，，， 可得 ， 令，则，可得， 令，，则， 令，，则， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则， 则， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $