专题03 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何结合的最值问题，按线段、线段和差、周长、面积五大模型系统分类，以题载法强化几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段最值|6题|单一线段长度或距离最值|二次函数顶点性质与坐标表示结合| |线段和最值|6题|两线段和最小（含动点平移）|对称转化（将军饮马模型）与函数最值| |线段差最值|5题|两线段差最大|三角形三边关系与二次函数取值范围| |周长最值|6题|多边形周长最小|对称轴性质与动点路径优化| |面积最值|7题|图形面积最大（含平移后）|面积公式坐标化与二次函数极值|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型 题型归纳 题型一利用二次函数求线段最值问题 题型二利用二次函数求线段和最值问题 题型三利用二次函数求线段差最值问题 题型四利用二次函数求周长最值问题 题型五利用二次函数求面积最值问题 题型专练 题型一：利用二次函数求线段最值问题 1.(24-25九年级上吉林期末)如图，抛物线y=2-4x+3与y轴交于点A,过点A作AB‖x轴交抛物线 于点B,连接OB.动点P在线段OB上，连接AP,则AP的最小值为() 0 A.2 B.2.4 C.2.5 D.3 2.(2025九年级上山东青岛专题练习)如图，抛物线y=-x+2x+3分别与x轴正半轴、y轴交于点A, B,点P在线段AB上运动（不与点A,B重合），过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q,则PQ的最大值是 3.(25-26九年级上江苏连云港阶段检测)如图，一次函数乃=x-3图象与坐标轴分别交于点B,C. 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若P为二次函数？=x'+3x图象上的一个动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点A.则线段PA的最小 值为 4.(2026河南驻马店模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx经过A(3,0),B(-山，-4)两点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，作Py轴交直线AB于点，求线段P的最大值： (3)连接OB,将线段OB沿着射线BA向上平移，设平移过程中点B的横坐标为t,若线段OB与抛物线无交 点，请直接写出t的取值范围. 5.(2026江苏苏州二模)已知二次函数经过点A(-1,0),B(3,0),点C(0,3),横坐标分别为m-1,m, m+1的三点D、E、F在这条抛物线图像上，连接点D和点F的抛物线“片段”始终经过点C, D B (1)该二次函数解析式为 (2)求m的范围，并求线段DF的最小值： 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)求△DEF的面积. 6.(25-26九年级上：安徽合肥期中)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax°+2x+c(a≠0)与x轴交于 A(-1,O),B(3,O)两点，与y轴交于点C,作直线BC. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式. (2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作P№⊥BC,垂足为Q,请问线段PO是否存在 最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由。 (3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN OC(点N在直线BC下方)，己知MN=2, 若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围. 题型二：利用二次函数求线段和最值问题 (2425九年级下河北邪台期中如图，抛物线y=+x与y=bx均过点44,0 2 y=c-2k交x轴于点P,且与两抛物线形成的封闭图象交于E,F两点.若点F的横坐标为1，点Q为y轴 上任意一点，则QE+QF的最小值为() 3 A 3 B 3V5 2 C.3 D.5 8.(24-25八年级下福建福州期末)如图，抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C, 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段P0在超物线的对将转上移动<点Q在点P下方)，且PQ号B.当404Cp的值最小时、点2的 坐标是() A32 B. c.3别 。. 9.(2026新疆一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3的图象如图所示.P为第三象限内抛物 线上一动点，作PDLx轴于点D,交AC于点E,点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC=30°，设点P的 横坐标为m,则PE+2EG的最大值为一 B 10.(2026甘肃天水模拟预测)已知抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-l,0),B;交y轴于点C,将点 C向右平移2个单位长度，得到点D,点D在抛物线y=ar2+bx-3上，点E为抛物线顶点， B x B E (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接BC,点M为线段BC上一动点，连接OM,作射线CD 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①在射线CD上取一点F,使CF=CO,连接FM.当OM+FM的值最小时，求点M的坐标. ②点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM,连接OM、BN,求OM+BN的最小值. 11.(25-26八年级下重庆期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+br+c与x轴交于 A,B(3,O)两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2②)点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接BP,CP,点D,E为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下 方，且DE-,连接PD,BE,当。BCP的面积取得最大值时，求点P的坐标及BE+PD的最小值： (3)在(2)中△BCP的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CB的方向平移3√2个单位长度得到抛物 线y',点M为点P的对应点，点N为抛物线y上一动点，若∠NAB+∠OCM=90°，请直接写出所有符合 条件的点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.， 12.(2026甘肃定西三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(4,0), 点C是抛物线与Y轴的交点，连接AC,BC (1)求抛物线的表达式： (2)抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由。 (3)D,E分别是线段AB,BC上的动点，连接AE,CD,当CE=BD时，求AE+CD的最小值 题型三：利用二次函数求线段差最值问题 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26九年级上福建漳州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴交于B点，与y 轴交于C点，抛物线y=ar2+br+c(a≠0)经过点A,B,C(点B在点A右侧)，已知点A坐标为(-1,0).】 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出△BCP的面积的最大值？ (③)在(2)中当△BCP的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时PG-AG的最大值 14.(24-25九年级下·重庆开州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+bx-4与x轴交 3 于点A(-1,0),B两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴是直线x=2· 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作PE∥x轴交抛 物线对称轴于点E,作PG⊥BC于点G,求当PE+V2PG取最大值时AM-PM的最大值； (3)将抛物线沿射线BC方向平移2V2个单位，在PE+V2PG取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对 应点，连接FP,在平移后的抛物线上是否存在一点N,使∠FPV=45°，若存在，请求出点N的横坐标. 15.(22-23九年级上福建泉州期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，顶点为E(14)的抛物线 y=ax2+br+c与x轴从左到右依次交于A,B两点，与y轴的交点为C(0,3),P是抛物线对称轴右侧图象 上的一点，且在x轴的上方. 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求此抛物线的解析式： (②)若直线BP与抛物线对称轴交于点D,当BD-CD取得最大值时，求点P的坐标； (3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F,连接PC,PE,PF,记△PCF,△PEF的面积分别为S,S2, 判断2S+S2是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 16.(2026重庆·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=am2+br-4(a≠0)与x轴交于A(-4,0), B两点，与轴交于点C,OA=2OB,连接AC, 70 B (1)求抛物线的表达式： (②)点P为线段AC下方抛物线上的一动点，过点P作PD‖y轴交x轴于点D,交AC于点E,点F与点G 为x轴上两动点（点F在点G左侧），FG=1.当PE-DE取最大值时，求点P的坐标及PG+CF的最小 值： (3)在(2)中PE-DE取最大值的条件下，将抛物线y=ar2+br-4(a≠0)和点E都沿射线AC方向平移4V2 个单位长度后得到抛物线y和点E,点C为点C的对应点.点M为抛物线y上一动点，若 ∠C'EM=∠CAB+∠ABC,请直接写出所有符合条件的点M坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况 的过程 17.(25-26九年级上·重庆渝北·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+br+C与x轴分别交 于A,B两点，与y轴交于点C.直线y=-x+3经过B,C两点. 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴于点M,交BC于点N,点D,E为'轴上的动 点（点E在点D的下方），且DE=1,连接PD,AE.当PW-MN取得最大值时，求点P的坐标及 PD+DE+AE的最小值： (3)在(2)中PN-MN取得最大值的条件下，将抛物线y=-x+bx+c沿射线CB方向平移2√2个单位长度 得到抛物线y，点K为抛物线)上的一动点.若满足∠KAB=∠BCP，请直接写出所有符合条件的点K的 坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程. 题型四：利用二次函数求周长最值问题 18。(2425九年级上湖北武汉期中)如图，抛物线y=2-4x+6与y轴交于点4，与x轴交于点B, 线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时，点D 的坐标为( A.(4,3) B.(4,4) c.(4,5) D.(4,6) 19.(2025九年级上山东青岛专题练习)如图，已知A,m),B(3,”)是抛物线y=x2上的两点，在抛物 线对称轴上有一动点P,当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为一· 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(25-26九年级上·安徽阜阳期末)如图，已知二次函数y=-x2+mx-n的图象与x轴交于点M(-1,0), N(3,0),与y轴交于点P(0,3),点0是对称轴上一动点. (1)mn PN (2)当△PMQ的周长最小时，则gM 21,(2425九年级上甘商武威阶段检测)如图，抛物线y+加-2与x箱交于人B两点，与y轴 交于C点，且A(-1,0)】 B D (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标： (2)点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长. 22.(2026河南周口二模)如图，已知抛物线y=ax2+br+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点 A1,0),B(3,0) 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D月 (1)求该抛物线的解析式。 (2)求抛物线的顶点D的坐标，并通过计算判断△BCD的形状. (3)嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M,使得△ACM的周长最小.求出点M的坐标及最小周长」 23.(24-25八年级下·辽宁盘锦期末)如图①，己知二次函数y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0)、 B(3,0)两点，与y轴相交于点C, YA B 图① 图② (1)求二次函数的表达式： (2)如图②，连结AC、BC ①在对称轴上是否存在一个点P,使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标和此时△PAC的周长； 若不存在，请说明理由： ②点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点D,使得△BDC的面积最大？若存在，请求出 点D的坐标和此时△BDC面积的最大值；若不存在，请说明理由. 题型五：利用二次函数求面积最值问题 24.(24-25九年级上安徽安庆阶段检测)抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于 点C,点E为抛物线对称轴与x轴的交点.若点P为第一象限内对称轴I右侧抛物线上一点，则△PCE面 积的最大值为() 10113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 A.3 B.5 c. 5 D. 8 25.(25-26九年级上·四川泸州期中)如图，将抛物线C：y=)(x+2)-2沿x轴对称后，向右平移3个 2 单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线C2,若抛物线C1的顶点为A,点P是抛物线C,上一点， 则△POA的面积的最小值为 26.(24-25九年级下湖北襄阳自主招生)记二次函数y=4的图象为抛物线C,一次函数y=在+4的 图象为直线C2,C与C,交于点A、B. (1)设C,与y轴交于点P,点M在C上运动，求PM的最小值及此时点M的坐标： (2)作点A关于Y轴的对称点，记为D,连接BD交'轴于点Q. (I)求点Q的坐标： (I)设坐标原点为O,记aOQA与△OBA的面积之和为S,求S的最小值. 27.(25-26九年级上·吉林长春阶段检测)阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完 全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完 全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的 数学方法，可以求代数式的最大值或最小值 例如：当x取何值时，代数式x2+2x-4有最小（或最大）值？ x2+2x-4=（x2+2x+1)-5 =(x+1)2-5 11/13 00学科网·上好课 www. .com 上好每一堂课 $$\because \left( x + 1 \right) ^ { 2 } \ge 0 ，$$ $$\therefore \left( x + 1 \right) ^ { 2 } - 5 \ge - 5 ，$$ ∴ 当 x=-1 时，代数式 $$x ^ { 2 } + 2 x - 4$$ 有最小值-5. 【直接应用】 (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： $$x ^ { 2 } + 6 x +$$ (2)求当x取何值时，代数式 $$x ^ { 2 } - 8 x + 1 2$$ 有最大或最小值?这个最大或最小值是多少? 【知识迁移】 (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙(墙足够长)，设垂直 于墙的一边长为 x 米，当*为何值时，围成的生物园的面积最大?最大面积是多少? 墙 A D 生物园 B C 28.(24-25九年级下全国二轮复习)【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是 (-1，0)、(m，0)、(0，3)， ，抛物线 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c$$ 经过A、B、 C，点D坐标是(0，-2)，点P是抛物线上位于x轴上方一点. 【特殊化探究】 (1)若 m= 3， ① 求a、b、c的值； ② 求 △ADP 面积的最大值， 【一般化思考】 (2)①对于每一个正数 m，△ADP 面积都存在最大值，试用含m的代数式表示 △ADP 最大面积 $$S _ { j }$$ ②在①的条件下，试探究： △ADP 的最大面积S是否存在最小值?若存在，求出 的最小值：若不存在， 请说明理由 12/13 00学科网·上好课 www. .com 上好每一堂课 y C P A B x D 29.(25-26九年级上重庆江津一期末)如图，抛物线 $$y = a x ^ { 2 } + b x - 2$$ 与 x 轴分别交于点 A(-1，0)、 、点B(点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C' 对称轴为直线 $$x = \frac { 3 } { 2 }$$ y y N M A x A Bx C P C 备用图 (1)求抛物线解析式： (2)点 为直线 BC 下方抛物线上一点，连接 PB，PC， ，当 △PBC 面积最大时，求此时点P的坐标和 △PBC 面积的最大值； (3)点M为抛物线对称轴上一动点， MN⊥y 轴，垂足为 N， 连接 MP，NB， 当 △PBC 面积最大时，求 PM+MN+NB 的最小值. 13/13 专题03 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型 题型一 利用二次函数求线段最值问题 题型二 利用二次函数求线段和最值问题 题型三 利用二次函数求线段差最值问题 题型四 利用二次函数求周长最值问题 题型五 利用二次函数求面积最值问题 题型一：利用二次函数求线段最值问题 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 2．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 4．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为4 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答； （3）求出平移后的线段的端点坐标，再结合函数图象解答即可； 【详解】（1）解：将、代入，得方程组：， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为：， 代入、得：， 解得：， 即直线的解析式为：， 设， ∵轴， ∴， ∵在上方， ∴ ∵， ∴当时，． （3）解：∵直线的解析式为：， ∴方向为横、纵坐标均每单位增加， 设线段与平移后的线段为（的对应点分别为）， ∵沿射线向上平移，原平移后横坐标为， ∴、， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 画图如下： 结合图象可得，若线段与抛物线无交点，则或． 5．（2026·江苏苏州·二模）已知二次函数经过点，，点，横坐标分别为，，的三点D、E、F在这条抛物线图像上，连接点和点的抛物线“片段”始终经过点． (1)该二次函数解析式为__________； (2)求的范围，并求线段的最小值； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)；2 (3)1 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据 D横坐标为，F横坐标为，在D、F之间的抛物线段上，得出，即可得；先求出点D、F的纵坐标，由两点距离公式求出，当时，最小为，此时； （3） E点横坐标为，纵坐标； 过点E作轴交于点G，求出直线的解析式，得出，再根据铅垂线法解答即可； 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴交于、， 设二次函数解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵ D横坐标为，F横坐标为，在D、F之间的抛物线段上， ∴， 解得：， 将点D、F横坐标代入抛物线得： ，， 横坐标差为，纵坐标差为， 由两点距离公式得：， 当时，最小为， 此时； （3）解： E点横坐标为，纵坐标； 过点E作轴交于点G， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 的水平宽为， ∴． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 题型二：利用二次函数求线段和最值问题 7．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称中的最值问题等知识．根据题意可得两个函数的解析式，即可得到点E，F的坐标，作点F关于y轴的对称点H，连接，，，此时的最小，最小值为，根据两点间距离公式即可求解． 【详解】解：把代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点F的坐标为， 把代入得到，解得， ∴直线解析式为， ∴解方程组得，（舍去）， 点E的坐标为， 作点F关于y轴的对称点H，连接，， 则，点H的坐标为， ∵， ∴当H，Q，E三点共线时取得最小值为， 这时， 故选：D． 8．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且．当的值最小时，点Q的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，求出，将点C沿y轴向下平移2个单位，得到点D，连接，，证得四边形是平行四边形，于是可得，于是得到，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A，B， 当时，得：， 解得：， ，， ， ， ， 点C沿y轴向下平移2个单位得到点D，如图，连接，， 线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方）， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在y轴上， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当D、Q、B三点共线，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， 由平移的性质可得：点D的纵坐标， ， 设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， ， 故选：B． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与y轴的交点坐标，求抛物线与x轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 9．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】作轴于点H，利用可得，则转化为，求出点A，C的坐标，进而求出直线的解析式，用含m的式子表示出，转化为顶点式，即可求出最值． 【详解】解：如图，作轴于点H， 令， 解得，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为； 点P的横坐标为m， 点P的坐标为，点E的坐标为， ，，， ， ， ， 的最大值为4． 10．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 11．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 12．（2026·甘肃定西·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是抛物线与轴的交点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在一点，使是以点为直角顶点的直角三角形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)，分别是线段，上的动点，连接，，当时，求的最小值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）根据点、的坐标可知是等腰直角三角形，，过点作，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，把直线的解析式和抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点的坐标； （3）过点作轴，使，连接，过点作轴，可知四边形是矩形，根据可证，根据全等三角形的性质可知，根据两点之间线段最短，可知，根据矩形的性质可得点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度即为的最小值． 【详解】（1）解：抛物线过， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，可得：， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 是等腰直角三角形，， 过点作， 则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组：， 可得：（与点重合，舍去），， ； （3）解：如下图所示，过点作轴，使，连接，过点作轴， 四边形是矩形， ， 在和中，， ， ， ， 根据两点之间线段最短，可得：， 点，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 题型三：利用二次函数求线段差最值问题 13．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？ (3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）求出，利用待定系数法求出答案； （2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到的面积，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， 解得 ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：过点P作轴，交于点E，如图1， ， 设， 轴， ， ， 的面积 ， ∴当时，的面积的最大值为； （3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为， 连接交y轴于点F，连接，如图2， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， ∴此时的值最大，最大值为， 的最大值为； 14．（24-25九年级下·重庆开州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的横坐标为 【分析】(1)根据抛物线，经过点，结合抛物线的对称轴是直线．后利用待定系数法确定解析式即可． （2）先确定直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，则，确定,设，则，则；结合轴交抛物线对称轴于点E， 得到，于是，确定有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，根据点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，得到，于是，根据，确定当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，解得即可． (3)先确定平移方式，确定平移后的抛物线解析式，利用旋转的性质，平行线的性质，交点坐标的计算解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故点， 又当时，， 解得， 故， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴于点K，交于点Q 则， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 设，则， 则； ∵轴交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴时，； 故． ∵点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为， ∴． （3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， ∴，， 设向左平移m个单位，向下平移n个单位， 根据题意，得，， ∴先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴平移后抛物线的表达式为， ∴， ∵点F为点P平移后的对应点，连接， ∴， 以点P为中心将顺时针旋转，交抛物线于点N，M，交于点S，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴轴， ∴点P、N、M的纵坐标都为， ∴， 解得：， ∴在平移后的抛物线上存在一点N，使得，此时点N的横坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，抛物线的平移，旋转的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 15．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴从左到右依次交于A，两点，与轴的交点为，是抛物线对称轴右侧图象上的一点，且在轴的上方． (1)求此抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线对称轴交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)若直线与抛物线对称轴交于点，连接，，，记，的面积分别为，，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最大值为3 【分析】（1）由顶点坐标可设该函数顶点式为，再将代入，求出的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设直线与抛物线对称轴交于点，连接．根据抛物线解析式可求出，由抛物线的对称性可知，即．再根据，即得出的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线，最后再次根据抛物线的对称性可知点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P，即可解答； （3）利用待定系数法可求出直线的解析式为，从而可求出．设直线与抛物线对称轴交于点Q，设，利用待定系数法又可求出直线解析式为，从而得出，进而可求出，即可由三角形面积公式得出．再求出，进而得出，最后计算出，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵该抛物线顶点为， ∴还可设该抛物线解析式为． ∵该抛物线与轴的交点为， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （2）如图，设直线与抛物线对称轴交于点，连接． 对于，令，即， 解得：， ∴． ∵抛物线关于其对称轴对称，点D在抛物线对称轴上， ∴， ∴． ∵， ∴，即的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线， ∴点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P． ∵抛物线对称轴为， ∴； （3）存在，最大值为3． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 如图，设直线与抛物线对称轴交于点Q， 设，直线解析式为：， 则，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键． 16．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3) ， 解：根据（2）可得，， ∵， ∴抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度，即为抛物线和点都先向右平移4个单位长度再向下平移4个单位长度， ∴，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上， ∵时，，， ∴点在新抛物线上， 如图，∵， 又， ∴， 如图，当点在直线上方时，， 设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的坐标为：． 【分析】（1）根据题意先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式设，则，表示出，则，故当时，最大，此时，取，连接，则，四边形是平行四边形，故，作关于轴的对称点，连接，则，从而得出，当时最小，勾股定理求出即可解答 （3）根据（2）可得，，求出，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上，根据，，得出，分两种情况：如图，当点在直线上方时，，如图，当点在直线下方时，分别画图求解即可； 【详解】（1）解：∵，则 ， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， 故， 将、代入， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：抛物线，当时，， 则， 设直线的解析式为， 代入，，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， 则， ∴， ∴， 故当时，最大， 此时， 取点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴当时最小， ∵， ∴的最小值为． （3）略 17．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)； (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数解析式，线段和差最值与二次函数综合，二次函数与角度综合； （1）先求出，，再代入中计算即可； （2）设，则，，则，当时，取得最大值，此时．再利用对称求的最小值即可； （3）先求出平移后的解析式为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：对于： 令，则，则； 令，则，则． 把点，代入中， 得， 解得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：设，则，， 此时，， ， 且， 当时，取得最大值，此时． 对于：令，则，，则， 点，为轴上的动点，， 将向上平移1个单位长度得到， ， ； （3）解：，．过程如下： 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ，即， ，， 轴， ， ， ． 分两种情况讨论： ①当时，， ，即， 解得：，， ，， ②当时，， ，即，无解． 综上，，． 题型四：利用二次函数求周长最值问题 18．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 19．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键． 先求出点A、B坐标，再根据抛物线的性质，作出B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P， 则点就是使的周长最小时的位置． ∵抛物线的对称轴是y轴，B、关于y轴对称， ∴点P在抛物线的对称轴上，且， ∴， ∴此时的周长最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴=6，点H的坐标是， ∵， ∴点A到的距离为， 设直线的直线方程为，把点A和点的坐标代入后得到， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴P点的坐标为 ∴， 此时， 即的面积为， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．， 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式求出点的坐标； （）作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，可得，由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，把代入求出的值可得点的坐标，再利用两点间距离公式可求出的周长． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称最短线段问题等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 此时的周长． 22．（2026·河南周口·二模）如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求抛物线的顶点D的坐标，并通过计算判断的形状． (3)嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M，使得的周长最小．求出点M的坐标及最小周长． 【答案】(1) (2)D的坐标为，是直角三角形 (3)的最小周长为，M 【分析】（1）利用待定系数法将的坐标代入解析式求解即可； （2）利用配方法将解析式变形为顶点式，即可求得顶点坐标；利用两点间距离公式求解的三条边，可得三条边间的关系，判定的形状； （3）由于线段长度为定值，将求周长最小值转换成求最小值，通过将军饮马模型进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过点， 代入解析式得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵ ， ∴ ，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵为定值， ∴要使周长最小，则需最小， ∵与关于对称轴对称， ∴， ∴， 直线过和，其解析式为， 当时，， ∴与对称轴的交点的坐标为， 当点M位于处时，的周长最小，为， ∵， ∴最小， ∴的最小周长为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质、顶点坐标、两点间距离公式、将军饮马模型、勾股定理逆定理等知识点，本题掌握平面直角坐标系的距离公式、二次函数的图像与性质是解题的关键． 23．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 题型五：利用二次函数求面积最值问题 24．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 【详解】解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 25．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，将抛物线：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为A，点P是抛物线上一点，则的面积的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得点的坐标是解答本题的关键． 首先求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标，先根据点P所在的直线与抛物线只有一个交点求出点P所在直线的解析式，进而求出点的坐标，然后根据三角形面积公式得到结果． 【详解】解：， ∴顶点为， 将抛物线沿x轴对称后的抛物线的顶点为， 沿x轴对称后的抛物线的解析式为， 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线 ， 设直线为，则， ∴， 直线为， 要使的面积最小，则点在平行于直线的直线上，且与抛物线只有一个交点， 设平行于直线，且与抛物线只有一个交点的直线为， 解， 整理得， ， ， ， ， 解，得， ， ． 故答案为：． 26．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）记二次函数的图象为抛物线，一次函数的图象为直线，与交于点、． (1)设与轴交于点，点在上运动，求的最小值及此时点的坐标； (2)作点关于轴的对称点，记为，连接交轴于点． （I）求点的坐标； （II）设坐标原点为，记与的面积之和为，求的最小值． 【答案】(1)的最小值为，点的坐标为或 (2)（I）；（II） 【分析】（1）设，则 ，令，则，利用二次函数的最值解答即可； （2）（I）设，，则，得到，， 设直线的解析式为，得到直线的解析式为， 令，则，解答即可； （II）根据题意，得，， 得，再整理得，得到判别式，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 设， ，令，则， 当，即时，取得最小值，故的最小值为， 此时，， 点的坐标为或； （2）解：（I）设，，则， 联立，得， ，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令，则， ； （II）解：设，， 联立，得， ，， ， 设一次函数与y轴的交点为C， 根据题意，得， ， ， ， ， 将代入，得， 整理得， 即， ∵为实数， ∴判别式， ∴，整理得， ∴或， ∴的最小值为． 27．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为； （3）当时，围成的生物园面积最大，最大面积为50平方米 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征判断即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值，以及x的值即可； （3）根据垂直于墙的长为x米，表示出平行于墙的长，进而表示出生物园的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 故答案为：9； （2） ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （3）设生物园的面积为，则 ， 当，即时，S取得最大值，最大值为50平方米． 28．（24-25九年级下·全国·二轮复习）【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是、、，抛物线 经过A、B、C，点D坐标是，点P是抛物线上位于x轴上方一点． 【特殊化探究】 （1）若， ①求a、b、c的值； ②求面积的最大值． 【一般化思考】 （2）①对于每一个正数m，面积都存在最大值，试用含m的代数式表示最大面积S； ②在①的条件下，试探究：的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，，；②最大值为；（2）①；②存在，S的最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质的应用，一次函数的图象及性质等知识点， （1）①用待定系数法求函数的解析式即可；②求出直线与x轴的交点为，则，当时，面积的最大值为； （2）①先求抛物线的解析式为，设，再求直线与x轴的交点为，则，当时，的面积有最大值，即；②由，可求S的最小值为； 熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键． 【详解】解（1）①∵， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴，，； ②设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （2）①设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， 当时，的面积有最大值，即； ②的最大面积S存在最小值，理由如下： ∵ ∴， ∴， 此时，解得， ∴S的最小值为． 29．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的面积问题，最短路线的问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型 题型一 利用二次函数求线段最值问题 题型二 利用二次函数求线段和最值问题 题型三 利用二次函数求线段差最值问题 题型四 利用二次函数求周长最值问题 题型五 利用二次函数求面积最值问题 题型一：利用二次函数求线段最值问题 1．B 2． 3． 4．(1) (2)的最大值为4 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答； （3）求出平移后的线段的端点坐标，再结合函数图象解答即可； 【详解】（1）解：将、代入，得方程组：， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为：， 代入、得：， 解得：， 即直线的解析式为：， 设， ∵轴， ∴， ∵在上方， ∴ ∵， ∴当时，． （3）解：∵直线的解析式为：， ∴方向为横、纵坐标均每单位增加， 设线段与平移后的线段为（的对应点分别为）， ∵沿射线向上平移，原平移后横坐标为， ∴、， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 画图如下： 结合图象可得，若线段与抛物线无交点，则或． 5．(1) (2)；2 (3)1 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据 D横坐标为，F横坐标为，在D、F之间的抛物线段上，得出，即可得；先求出点D、F的纵坐标，由两点距离公式求出，当时，最小为，此时； （3） E点横坐标为，纵坐标； 过点E作轴交于点G，求出直线的解析式，得出，再根据铅垂线法解答即可； 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴交于、， 设二次函数解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵ D横坐标为，F横坐标为，在D、F之间的抛物线段上， ∴， 解得：， 将点D、F横坐标代入抛物线得： ，， 横坐标差为，纵坐标差为， 由两点距离公式得：， 当时，最小为， 此时； （3）解： E点横坐标为，纵坐标； 过点E作轴交于点G， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 的水平宽为， ∴． 6．(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 题型二：利用二次函数求线段和最值问题 7．D 8．B 9．4 10．(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 11．(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）根据点、的坐标可知是等腰直角三角形，，过点作，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，把直线的解析式和抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点的坐标； （3）过点作轴，使，连接，过点作轴，可知四边形是矩形，根据可证，根据全等三角形的性质可知，根据两点之间线段最短，可知，根据矩形的性质可得点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度即为的最小值． 【详解】（1）解：抛物线过， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，可得：， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 是等腰直角三角形，， 过点作， 则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组：， 可得：（与点重合，舍去），， ； （3）解：如下图所示，过点作轴，使，连接，过点作轴， 四边形是矩形， ， 在和中，， ， ， ， 根据两点之间线段最短，可得：， 点，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 题型三：利用二次函数求线段差最值问题 13．(1) (2)8 (3) 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）求出，利用待定系数法求出答案； （2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到的面积，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， 解得 ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：过点P作轴，交于点E，如图1， ， 设， 轴， ， ， 的面积 ， ∴当时，的面积的最大值为； （3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为， 连接交y轴于点F，连接，如图2， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， ∴此时的值最大，最大值为， 的最大值为； 14．(1) (2) (3)点N的横坐标为 【分析】(1)根据抛物线，经过点，结合抛物线的对称轴是直线．后利用待定系数法确定解析式即可． （2）先确定直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，则，确定,设，则，则；结合轴交抛物线对称轴于点E， 得到，于是，确定有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，根据点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，得到，于是，根据，确定当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，解得即可． (3)先确定平移方式，确定平移后的抛物线解析式，利用旋转的性质，平行线的性质，交点坐标的计算解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故点， 又当时，， 解得， 故， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴于点K，交于点Q 则， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 设，则， 则； ∵轴交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴时，； 故． ∵点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为， ∴． （3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， ∴，， 设向左平移m个单位，向下平移n个单位， 根据题意，得，， ∴先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴平移后抛物线的表达式为， ∴， ∵点F为点P平移后的对应点，连接， ∴， 以点P为中心将顺时针旋转，交抛物线于点N，M，交于点S，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴轴， ∴点P、N、M的纵坐标都为， ∴， 解得：， ∴在平移后的抛物线上存在一点N，使得，此时点N的横坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，抛物线的平移，旋转的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 15．(1) (2) (3)存在，最大值为3 【分析】（1）由顶点坐标可设该函数顶点式为，再将代入，求出的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设直线与抛物线对称轴交于点，连接．根据抛物线解析式可求出，由抛物线的对称性可知，即．再根据，即得出的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线，最后再次根据抛物线的对称性可知点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P，即可解答； （3）利用待定系数法可求出直线的解析式为，从而可求出．设直线与抛物线对称轴交于点Q，设，利用待定系数法又可求出直线解析式为，从而得出，进而可求出，即可由三角形面积公式得出．再求出，进而得出，最后计算出，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵该抛物线顶点为， ∴还可设该抛物线解析式为． ∵该抛物线与轴的交点为， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （2）如图，设直线与抛物线对称轴交于点，连接． 对于，令，即， 解得：， ∴． ∵抛物线关于其对称轴对称，点D在抛物线对称轴上， ∴， ∴． ∵， ∴，即的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线， ∴点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P． ∵抛物线对称轴为， ∴； （3）存在，最大值为3． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 如图，设直线与抛物线对称轴交于点Q， 设，直线解析式为：， 则，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键． 16．(1) (2)，的最小值为 (3) ， 解：根据（2）可得，， ∵， ∴抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度，即为抛物线和点都先向右平移4个单位长度再向下平移4个单位长度， ∴，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上， ∵时，，， ∴点在新抛物线上， 如图，∵， 又， ∴， 如图，当点在直线上方时，， 设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的坐标为：． 【分析】（1）根据题意先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式设，则，表示出，则，故当时，最大，此时，取，连接，则，四边形是平行四边形，故，作关于轴的对称点，连接，则，从而得出，当时最小，勾股定理求出即可解答 （3）根据（2）可得，，求出，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上，根据，，得出，分两种情况：如图，当点在直线上方时，，如图，当点在直线下方时，分别画图求解即可； 【详解】（1）解：∵，则 ， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， 故， 将、代入， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：抛物线，当时，， 则， 设直线的解析式为， 代入，，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， 则， ∴， ∴， 故当时，最大， 此时， 取点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴当时最小， ∵， ∴的最小值为． （3）略 17．(1) (2)； (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数解析式，线段和差最值与二次函数综合，二次函数与角度综合； （1）先求出，，再代入中计算即可； （2）设，则，，则，当时，取得最大值，此时．再利用对称求的最小值即可； （3）先求出平移后的解析式为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：对于： 令，则，则； 令，则，则． 把点，代入中， 得， 解得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：设，则，， 此时，， ， 且， 当时，取得最大值，此时． 对于：令，则，，则， 点，为轴上的动点，， 将向上平移1个单位长度得到， ， ； （3）解：，．过程如下： 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ，即， ，， 轴， ， ， ． 分两种情况讨论： ①当时，， ，即， 解得：，， ，， ②当时，， ，即，无解． 综上，，． 题型四：利用二次函数求周长最值问题 18．B 19．6 20． 21．(1)， (2)， 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式求出点的坐标； （）作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，可得，由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，把代入求出的值可得点的坐标，再利用两点间距离公式可求出的周长． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称最短线段问题等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 此时的周长． 22．(1) (2)D的坐标为，是直角三角形 (3)的最小周长为，M 【分析】（1）利用待定系数法将的坐标代入解析式求解即可； （2）利用配方法将解析式变形为顶点式，即可求得顶点坐标；利用两点间距离公式求解的三条边，可得三条边间的关系，判定的形状； （3）由于线段长度为定值，将求周长最小值转换成求最小值，通过将军饮马模型进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过点， 代入解析式得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵ ， ∴ ，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵为定值， ∴要使周长最小，则需最小， ∵与关于对称轴对称， ∴， ∴， 直线过和，其解析式为， 当时，， ∴与对称轴的交点的坐标为， 当点M位于处时，的周长最小，为， ∵， ∴最小， ∴的最小周长为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质、顶点坐标、两点间距离公式、将军饮马模型、勾股定理逆定理等知识点，本题掌握平面直角坐标系的距离公式、二次函数的图像与性质是解题的关键． 23．(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 题型五：利用二次函数求面积最值问题 24．D 25． 26．(1)的最小值为，点的坐标为或 (2)（I）；（II） 【分析】（1）设，则 ，令，则，利用二次函数的最值解答即可； （2）（I）设，，则，得到，， 设直线的解析式为，得到直线的解析式为， 令，则，解答即可； （II）根据题意，得，， 得，再整理得，得到判别式，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 设， ，令，则， 当，即时，取得最小值，故的最小值为， 此时，， 点的坐标为或； （2）解：（I）设，，则， 联立，得， ，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令，则， ； （II）解：设，， 联立，得， ，， ， 设一次函数与y轴的交点为C， 根据题意，得， ， ， ， ， 将代入，得， 整理得， 即， ∵为实数， ∴判别式， ∴，整理得， ∴或， ∴的最小值为． 27．（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为； （3）当时，围成的生物园面积最大，最大面积为50平方米 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征判断即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值，以及x的值即可； （3）根据垂直于墙的长为x米，表示出平行于墙的长，进而表示出生物园的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 故答案为：9； （2） ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （3）设生物园的面积为，则 ， 当，即时，S取得最大值，最大值为50平方米． 28．（1）①，，；②最大值为；（2）①；②存在，S的最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质的应用，一次函数的图象及性质等知识点， （1）①用待定系数法求函数的解析式即可；②求出直线与x轴的交点为，则，当时，面积的最大值为； （2）①先求抛物线的解析式为，设，再求直线与x轴的交点为，则，当时，的面积有最大值，即；②由，可求S的最小值为； 熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键． 【详解】解（1）①∵， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴，，； ②设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （2）①设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， 当时，的面积有最大值，即； ②的最大面积S存在最小值，理由如下： ∵ ∴， ∴， 此时，解得， ∴S的最小值为． 29．(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $