第四章 指数函数与对数函数 章末检测 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 本卷为高中数学指数函数与对数函数单元检测，覆盖定义域、单调性等核心知识，通过新定义问题与数学建模题，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|定义域、零点区间、函数性质|结合表格数据判断零点（第2题），考查数学抽象| |多项选择|3/18|函数图像交点、新定义“M函数”|以“M函数”定义考查逻辑推理（第10题）| |填空题|3/15|偶函数性质、函数构造|开放性函数构造（第13题），培养创新意识| |解答题|5/77|数学建模（注意力指数）、新定义“弱增函数”|第18题结合学生注意力情境，体现数学建模与数据观念|

章末检测（四）　指数函数与对数函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y＝＋lg（5－3x）的定义域是（　　） A. B. C. D. 2.由表格中的数据，可以判断方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是（　　） x 0 1 2 3 4 ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60 3x＋2 2 5 8 11 14 A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 3. (2026春·横峰县校级期中) 已知，，，则，，的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  4.设函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则a＋b＝（　　） A.6 B.5 C.4 D.3 5.设函数f（x）＝ln（2＋x）－ln（2－x），则f（x）是（　　） A.奇函数，且在（0，2）上单调递增 B.奇函数，且在（0，2）上单调递减 C.偶函数，且在（0，2）上单调递增 D.偶函数，且在（0，2）上单调递减 6. (2025秋·大同校级期末)若函数（，且）的图象过点，则函数的大致图象是（　　） 7. 为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（　　） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 向右平移1个单位（纵坐标不变） D. 向上平移2个单位（横坐标不变） 8.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于任意给定的两个非负数a，b（a＞b），不等式af（a）＜bf（b）恒成立，则不等式（ln x）·f（ln x）＞f（1）的解集为（　　） A. B. C.（0，e） D.（e，＋∞） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.若直线y＝3a与函数y＝｜ax－1｜（a＞0，且a≠1）的图象有两个公共点，则a可以是（　　） A.2 B. C. D. 10.已知函数f（x）的定义域为D，若对任意x∈D，都存在y∈D，使得f（y）＝－f（x）成立，则称函数f（x）为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有（　　） A.y＝x2 B.y＝ C.y＝2x－1 D.y＝ln（x＋1） 11.已知函数f（x）＝，则下列结论中正确的有（　　） A.f（x）的图象关于原点对称 B.f（x）的图象关于y轴对称 C.f（x）的值域为（－1，1） D.∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝　　　　. 13.函数y＝f（x）满足（1）定义域为R；（2）偶函数；（3）在（－∞，0）上单调递减.请写出满足上述三个条件的一个函数式　　　　　.（答案不唯一） 14.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）化简求值： （1）0.06－＋1＋0.2； （2）lg 25＋lg 2＋－log29×log32. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x2＋（m－2）x＋5－m有两个零点，且都大于2，求实数m的取值范围. 17.（本小题满分15分）(2025秋·湘西州校级期末)已知函数（）的图象过点。 (1) 求的解析式； (2) 解不等式. 18.（本小题满分17分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈（14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳. （1）试求p＝f（t）的函数关系式； （2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由. 19.（本小题满分17分）若函数f（x）在定义域内的某区间I上是严格增函数，而y＝在区间I上是严格减函数，则称函数y＝f（x）在区间I上是“弱增函数”. （1）判断f（x）＝x·ex，g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）上是否是“弱增函数”（不需证明）？ （2）若h（x）＝x2＋（m－）x＋b（其中常数m∈R，b＞0）在区间（0，1]上是“弱增函数”，求m，b应满足的条件； （3）已知f（x）＝｜x－1｜＋k｜x－2｜（k是常数且k≠0），若存在区间I使得y＝f（x）在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围. 章末检测（四）　指数函数与对数函数 1.C　由题意，得即所以1≤x＜. 2.C　设f（x）＝ex－3x－2，由题表知，f（0），f（1），f（2）均为负值，f（3），f（4）均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为（2，3），故选C. 3.B　 为减函数，，又为增函数，，.故选：B. 4.C　函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则即解得则a＋b＝4. 5.A　依题意，解得－2＜x＜2，即f（x）的定义域为（－2，2），因为f（－x）＝ln（2－x）－ln（2＋x）＝－f（x），则f（x）是奇函数，又y＝ln（2＋x）在（0，2）上单调递增，y＝ln（2－x）在（0，2）上单调递减，则y＝－ln（2－x）在（0，2）上单调递增，所以f（x）在（0，2）上单调递增. 6.B　因为函数（，且）的图象过点，故，可得，又函数满足偶函数的定义，故其图象关于轴对称，其时，函数单调递减.故选：B. 7.A　因为，所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 8.C　设g（x）＝x·f（x），则g（x）是R上的奇函数，且在[0，＋∞）上单调递减，从而g（x）在R上是减函数，则（ln x）f（ln x）＞f（1）⇒ln x＜1＝ln e⇒0＜x＜e.故选C. 9.CD　由题意，直线y＝3a与函数y＝｜ax－1｜（a＞0，且a≠1）的图象有两个公共点， 当0＜a＜1时，y＝｜ax－1｜的图象如图①所示，由已知得0＜3a＜1，∴0＜a＜；当a＞1时，y＝｜ax－1｜的图象如图②所示，由已知可得0＜3a＜1，∴0＜a＜，结合a＞1可得a无解.综上可知，a的取值范围为. 10.BD　依题意得，若b是f（x）的值域中的数，则－b也是值域中的数，即f（x）的值域关于原点对称，选项A中函数的值域为[0，＋∞），不是“M函数”；选项B中函数的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），是“M函数”；选项C中函数的值域为（0，＋∞），不是“M函数”；选项D中函数的值域为R，是“M函数”.故选B、D. 11.ACD　对于选项A，f（x）＝，则f（－x）＝＝＝－f（x），则f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.对于选项B，因为f（1）＝－，f（－1）＝≠f（1），故f（x）的图象不关于y轴对称，故B错误.对于选项C，f（x）＝＝－1＋，令1＋2x＝t，t∈（1，＋∞），则g（t）＝－1＋，易知－1＋∈（－1，1），故f（x）的值域为（－1，1），故C正确.对于选项D，f（x）＝＝－1＋，因为t＝1＋2x在R上为增函数，y＝－1＋在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数单调性的判断法则可得f（x）在R上为减函数，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立，故D正确.故选A、C、D. 12.1　解析：由f（x）为偶函数及y＝x为奇函数，知y＝ln（x＋）为奇函数，所以ln（－x＋）＋ln（x＋）＝ln（a＋x2－x2）＝ln a＝0，解得a＝1. 13.y＝x2（答案不唯一）　解析：由y＝x2关于y轴对称且定义域为R，在（－∞，0）上单调递减，所以y＝x2满足题设. 14.　解析：画出函数f（x）的图象如图.要使函数g（x）＝f（x）－k有两个不同零点，只需y＝f（x）与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈. 15.解：（1）0.06－＋1＋0.2＝－1＋＋0.＝2.5－1＋8＋0.5＝10. （2）lg 25＋lg 2＋－log29×log32＝lg 5＋lg 2＋－2（log23×log32）＝1＋－2＝－. 16.解：函数f（x）＝x2＋（m－2）x＋5－m有两个大于2的零点，即方程x2＋（m－2）x＋5－m＝0有两个不相等的实数解，且都大于2. 结合图象可知 解得－5＜m＜－4. 故实数m的取值范围是（－5，－4）. 17.解：（1） 函数（）的图象过点，由题意可得，，得，故. （2） 因为在上单调递增，且，所以，得，故不等式的解集为。. 18.解：（1）由题意知，当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为（12，82），且曲线过点（14，81），则可得f（t）＝－（t－12）2＋82，t∈（0，14]. 当t∈（14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分，且曲线过点（14，81），则易得a＝， 则f（t）＝lo（t－5）＋83，t∈（14，45]. 则p＝f（t）＝ （2）由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳， 当t∈（0，14]时，令f（t）＝－（t－12）2＋82＞80， 解得12－2＜t≤14. 当t∈（14，45]时，令f（t）＝lo（t－5）＋83＞80， 解得14＜t＜32. 综上可得，12－2＜t＜32. 故老师在（12－2，32）这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳. 19.解：（1）由于＝ex在（0，＋∞）上是严格增函数，所以f（x）＝x·ex在区间（0，＋∞）上不是“弱增函数”； g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）上是严格增函数，＝2＋在区间（0，＋∞）上是严格减函数，所以g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）上是“弱增函数”. （2）由题意可知，h（x）＝x2＋（m－）x＋b（其中常数m∈R，b＞0）满足在（0，1]上是严格增函数， ∴对称轴x＝－（m－）≤0，解得m≥， ＝x＋＋（m－）满足在（0，1]上是严格减函数，故此必为对勾函数， ∴对勾函数单调性分界点x＝≥1，b≥1， ∴综上，m≥，b≥1. （3）由题意知，f（x）＝ 在区间（－∞，1）上，若f（x）为“弱增函数”，则必满足f（x）＝－（k＋1）x＋2k＋1为严格增函数， ＝－（k＋1）＋为严格减函数，即无解. 同理，在区间[1，2）上，若f（x）为“弱增函数”，则必满足解得＜k＜1. 在区间[2，＋∞）上，若f（x）为“弱增函数”，则必满足解得－1＜k＜－. 综上，k的取值范围为（－1，－）∪（，1）. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $