第3节 不等式及其性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式及其性质核心考点，涵盖实数大小比较、不等式性质及应用，按基础夯实与考点突破的逻辑架构知识。通过知识梳理、典例变式、思维点拨、分层训练等环节，帮助学生构建体系，突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出“范围求解三忌一法”等策略创新，结合函数单调性比较大小培养数学思维，如典例3用待定系数法解决取值范围问题。设置基础测试与分层课后练习，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第3节 不等式及其性质 课标要求： 1． 理解作差法比较两个实数大小的理论依据； 2． 理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 实数大小比较的基本原则 （1） 作差法： 1 2 3 （2） 作商法：作商法一般用于比较两个正数，两个负数变号即可．对于两个正数、有： 1 2 3 2． 不等式的性质 （1） 对称性： （2） 传递性： （3） 可加性： （4） 可乘性：； （5）同向可加性： （6）同向同正可乘性： （7）正数乘方与开方性：； 二、重点汇总 1．常用结论 （1）证明不等式的一般方法：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法和放缩法等； （2）倒数性质：；； （3）糖水不等式：若，，则； （4）相减法则：若且，则； （5）传递性中的等号传递：在应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则传递后的结果不带等号．例如：若且，则． 2．易错提醒 （1）乘法忽视符号：不等式两边同乘一个代数式时，未判断该代数式的正负，导致不等号方向错误； （2）乘除运算忽视0：在使用可乘性时，容易忽视乘数为0的情况，在有除法运算时，容易忽视除数为0； （3）同向不等式减法的错误：由且错误推导出． 三、基础测试 1. 请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×” （1） 若，则．（　　） （2） “”是“”的充要条件．（　　） （3） 若且，则．（　　） （4） 若，则．（　　） （5） 若且，则．（　　） （6） 若且，则．（　　） 2. 已知实数，则（　　） A． 若，则 B．若且，则 B． 若，则 D．若且，则 3. 已知实数，则下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 4．若，，则与的大小关系为________． 5．已知，则与的大小关系为________． 6．已知，，则的取值范围是________． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 比较数（式）的大小 【考法分析】比较大小的题目通常结合不等式的性质、函数的单调性进行考查． 【典例1】（1）若实数满足且，则（　　） A． B． C． D． （2）已知，，则的大小关系为________． 【变式1】（1）已知，则（　　） A． B． C． D． （2）已知，，，则的大小关系为________． 【思维点拨】比较大小的一般方法： （1） 作差法：①作差；②变形；③定号；④得到结论； （2） 作商法：①作商；②变形；③比较商与1的大小；④得到结论； （3） 利用函数的单调性，根据指数、对数、幂函数等单调性比较大小； （4） 构造函数，通过构造函数并利用函数的单调性比较大小． 考点二 不等式的基本性质 【考法分析】利用不等式的基本性质判断命题的正确性，通常会结合函数单调性进行判断，考查不等式的性质成立的限定条件等，是一个考查多选题的不错选择． 【典例2】（1）若，则“”是“”的（　　） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）【多选】已知实数满足，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（1）若，则“”是“”的（　　） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）【多选】下列命题中，为真命题的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【思维点拨】关于不等式性质的考查需要注意如下几个方面： （1） 在利用不等式的基本性质比较大小时，需要注意前提条件，如正负性会影响不等式的方向； （2） 在判断不等式是否成立时，特别是涉及乘除法的时候，0是一个关键的特殊值； （3） 在不能直接应用不等式的基本性质进行判断时，可以使用函数的单调性，特别是指、对、幂函数的灵活运用． 考点三 不等式性质的应用 【考法分析】利用不等式的加法性质求代数式的取值范围是一个关键的考点，在求函数的定义域、值域中也常考到类似的做法． 【典例3】（1）已知，，则以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． （2）已知，，则的取值范围是________． 【变式3】（1）已知实数满足，，则以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． （3） 已知，，则的取值范围是________，的取值范围是________． 【思维点拨】范围求解的“三忌”与“一法” （1） 减法忌直接减：求范围时，不能直接用被减数的范围减去减数范围，必须先对减数变号，再进行相加； （2） 乘除忌盲乘端点：当变量取值跨越零点（有正有负）时，不能简单的将端点相乘，必须分别计算四个端点的值，重新确定最大、最小值；除法同理，先求倒数范围再相乘； （3） 整体代换忌“先解后代”：已知组合式（如，）求另一组合式范围时，不能先解出单个变量的范围再代入，这会破坏变量间的制约关系，导致范围被错误扩大； （4） 核心方法：待定系数法：解决复杂线性组合范围问题的通法是待定系数法，设目标式为已知式的线性组合，则令 目标式=，通过对比系数求出，再利用不等式的性质进行求解． 课后练习 1、 单选题 1． 已知，若，，则（　　） A． B． C． D．以上都有可能 2． 已知，，若，，则（　　） A． B． C． D．以上都有可能 3． 已知，，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 4． 已知，则“”是“”的（　　） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．已知，，则（　　） A． B． C． D． 7． 已知，且，．若，则（　　） A． B． C． D． 8． 设，，，则（　　） A． B． C． D． 2、 多选题 9． 已知实数满足，则下列说法正确的有（　　） A． B． C．若，则 D．若，，则 10．已知实数满足，，则（　　） A． B． C． D． 11．已知实数满足，且，则（　　） A． B． C．存在使得 D． 3、 填空题 12． 设，，若，，则、的大小关系为________． 13． 已知，，，则的取值范围是________． 14．已知，，记为、和三个数中最大的数，则的最小值为________． 4、 解答题 15．已知，求证：． 16． 已知，，且．求证：，中至少有一个小于． 17．（1）已知，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 18． 已知，，，试比较的大小． 19． 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1） 根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2） 利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】若，，则，但是． （2）× 【解析】（如时），，∴“”是“”的必要不充分条件． （3）√ 【解析】则，∵，∴，∴． （4）× 【解析】当、时，而． （5）√ 【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴． （6）√ 【解析】若，则，若，则，此时，即，∴若且，则． 2．D 【解析】选项A，当，时，但，∴选项A错误； 选项B，∵，∴，∵，∴，∴选项B错误； 选项C，当时，，若，则，选项C错误； 选项D，若，则，若，则，此时，即，∴若且，则，∴，选项D正确． 3．B 【解析】选项A，∵，∴，∴，选项A的不等式成立； 选项B，由得，∵，∴，选项B的不等式不成立； 选项C，，∵，∴，，∴，∴，选项C的不等式成立； 选项D，由得，∴，选项D的不等式成立． 4． 【解析】，∴． 5． 【解析】，∵，∴，，∴，∴． 6． 【解析】∵，∴，∵，∴，，∴． 【典例1】（1）C 【解析】则单调递增， ∴由可以得到． ∴函数单调递减，函数单调递增， ∴，，∴． （2）B 【解析】∵，∴， ∴函数单调递减，∴， 函数单调递增，∴， 函数单调递减，∴， ∴． 【变式1】（1） 【解析】方法一：，∴． 方法二：令，则，，，当时，，单调递增，∴，∴． （2） 【解析】令，则（），，，，当时，，单调递减，∴，即． 【典例2】（1）A 【解析】充分性：∵，∴，∴，充分性成立； 必要性：当，时，，此时，必要性不成立； ∴是的充分不必要条件． （2）BC 【解析】选项A，当时，，，选项A错误； 选项B，，∴，∴，即，∴，选项B正确； 选项C，，∴，∴，选项C正确； 选项D，当时，，此时，即，选项D错误． 【变式2】（1）A 【解析】充分性：∵，∴，∴，∴，充分性成立； 必要性：当，时，，此时，必要性不成立； ∴是的充分不必要条件． （2）BCD 【解析】选项A，当时，，选项A错误； 选项B，若，则，又，∴，选项B正确； 选项C，，则，，即，选项C正确； 选项D，，当，时，，则，选项D正确． 【典例3】（1）B 【解析】，，∴，，选项A、C正确； ，∴，选项B错误； ，∴，选项D错误． （2） 【解析】设，∴，∴，， ∴， ∵，，∴，， ∴，即． 【变式3】（1）B 【解析】，，∴，选项B正确； ∵，∴，选项A错误； ∵，∴，选项C错误； ∵，∴，∴，选项D错误． （2） 【解析】， ∵，∴， 同理，，∴，即； 同理，，． 课后练习 一、单选题 1．C 【解析】， 当时，，，∴，∴． 2．A 【解析】， ∵，，∴，，， ∴，∵，，∴． 3．C 【解析】当，，，时，满足，，但是，选项A错误； 当，，，时，满足，，但是，，选项B、D错误； ∵，，∴，，∴，选项C正确． 4．A 【解析】对移项通分：， 若，则，，，充分性成立， 当，，满足，但，不满足，必要性不成立， ∴“”是“”的充分不必要条件． 5．B 【解析】∵，∴， ∵，∴，∴． 6．C 【解析】，∴一正一负，又，∴，， 当时，满足，此时，选项A错误； 当时，，选项B错误； ，，∴，选项C正确； ，∴，∴，∴，选项D错误． 7．Ｄ 【解析】若，则函数单调递增，由得，； 此时，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；； 若，则函数单调递减，由得，；； 综上，． 8．A 【解析】函数在上单调递增，∴， ∴，∴， 函数在上单调递增，∴， ，∴， ， 函数在上单调递增，∴， ∴，即，又，，∴， ∴． 二、多选题 9．BC 【解析】当，时，满足，但，选项A错误； ，∴，选项B正确； ，当，时，，∴，选项C正确； ， 当，时，，， ∴即，∴，选项D错误． 10．ABD 【解析】， 由得，， 由得，， ∴， 即，选项A正确； ， 由得，， 由得，， ∴， 即，选项B正确； ， 由得，， 由得，， ∴， 即，选项C错误； ， 由得，， 由得，， ∴， 即，选项D正确． 11．ABD 【解析】，∴， ∵，∴，∴，选项A正确； 若，则，此时，矛盾， ∴，；又，∴，选项B正确； 若，则，此时，矛盾，∴， 若存在使得，∵，，∴此时， 由得，矛盾，选项C错误； ， ∴，选项D正确． 12． 【解析】， ∵，，∴，∴． 三、填空题 13． 【解析】， 由得，， 又，∴， 即． 14． 【解析】为、和三个数中最大的数， ∴，，， ∵，，∴，，， ∴， 又，∴，，∴的最小值为． 四、解答题 15．证明：，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴， 又，∴，即证． 16．证明：反证法，设且， ∵，，∴，， ∴，即，矛盾， ∴，中至少有一个小于． 17．（1）解：由得，， ∴，∴，又，∴， ∴． （2）解：， 由得， 又，∴， 即． 18．解：由得， ∵，∴，又，∴， 由得，∴， ∴，∴， ∴，又，∴， ， ∴，∴． 19．（1）解：根据这个生活常识，可以得到不等式：（，），证明如下： ， ∵，，∴，即，即证． （2）解：由（1）知，，， ∴，即证． 学科网（北京）股份有限公司 $