第1章 第3节 不等式及其性质-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word（创新版）

该高中数学讲义聚焦不等式及其性质高考核心考点，依据课标要求构建“比较大小方法—不等式性质—性质应用”的逻辑体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生突破作差作商比较、性质应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“一题多解”“分层练习”为特色，如比较大小中结合作商法与函数单调性培养数学思维，性质应用通过参数法求范围训练数学语言表达。设置基础巩固到综合应用的分层习题，配合规律方法提炼，确保学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第3节　不等式及其性质 课标要求 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据. 2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 比较两个数（式）的大小 1.作差法（a，b∈R）. 2.作商法 （1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　A　） A.M＞N 　B.M＜N C.M＝N　D.不能确定 解析： ∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A. （2）（2026·山西晋城模拟）若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则（　A　） A.p＜m＜n B.p＜n＜m C.m＜p＜n D.n＜p＜m 解析：由题意知，m＞0，n＞0，p＞0，且＝＝＜1，∴m＜n，又＝＝·＞1，∴m＞p，∴p＜m＜n.故选A. 规律方法 比较大小的常用方法 练1 （1）〔多选〕下列不等式中正确的是（　AD　） A.x2－2x＞－3（x∈R） B.a3＋b3≥a2b＋ab2（a，b∈R） C.a2＋b2＞2（a－b－1） D.＜（b＞a＞0） 解析： ∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2＞0，∴x2－2x＞－3，故A正确；a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）＋b2（b－a）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.∵（a－b）2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，∴a2＋b2≥2（a－b－1），故C错误；－＝，∵b＞a＞0，∴＞0，∴＜，故D正确. （2）〔一题多解〕已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x　＜　y（填“＞”“＜”或“＝”）. 解析：法一　由题设，易知x＞0，y＞0，又＝＝＜1，所以x＜y. 法二　设f（x）＝－，定义域为[1，＋∞），则f（x）＝，故f（x）为减函数，又c＋1＞c＞1，则f（c＋1）＜f（c），即x＜y. 不等式的基本性质 性质1　对称性：a＞b⇔b　＜　a； 性质2　传递性：a＞b，b＞c⇒a　＞　c； 性质3　可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； 性质4　可乘性：a＞b，c＞0⇒ac　＞　bc；a＞b，c＜0⇒ac　＜　bc； 性质5　同向可加性：a＞b，c＞d⇒a＋c　＞　b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac　＞　bd； 性质7　同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）； 性质8　可开方性：a＞b＞0⇒＞（n∈N，n≥2）. 结论：（1）倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒＜；②a＜0＜b⇒＜；③a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. （2）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数性质：＜；＞（b－m＞0）； ②假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（　　） A.若a＞b，c＜d⇒a＋c＞b＋d B.若a＞b，c＞d⇒ac＞bd C.若bc－ad＞0，－＞0⇒b＜0 D.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞ 解析：D　对于A，若a＞b，c＜d，取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，则a＋c＝b＋d＝0，故A错误；对于B，若a＞b，c＞d，取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，则ac＝bd＝0，故B错误；对于C，若bc－ad＞0，－＝＞0，则ab＞0，无法得出b＜0，故C错误；对于D，若a＞b＞0，c＞d＞0，可得＞＞0，则＞＞0，所以＞，故D正确.故选D. 规律方法 1.判断不等式成立的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证；（2）利用特殊值法排除错误选项；（3）作差法；（4）构造函数，利用函数的单调性. 2.证明不等式成立的策略 利用不等式的性质证明不等式成立的实质是根据性质把已知条件不断变形最后推出待证结论成立.注意每个性质成立的条件. 练2 （1）〔多选〕已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（　　） A.b＞a＞0 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a D.b＜a＜0 （2）已知a，b，c，d均为实数，若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. （1）解析：BD　对于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正确.故选B、D. （2）证明：已知a，b，c，d均为实数， ∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， 又∵bd＞0，∴＞0，∴≥， ∴－1≥－1，∴≤. 不等式性质的应用 教材母题：〔人A必修一P43习题5题〕已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求2a＋b的取值范围. 细研教材：该母题的实质是已知部分量的取值范围，求整体的取值范围.解决该类问题的关键是充分利用不等式的性质，对给定的条件进行整合进而求出某整体范围.其求解策略为：建立待求范围式的整体与已知范围式的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 提醒　（1）不等式性质成立的条件；（2）如若多次使用不等式的可加性，会扩大待求式的取值范围. 已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则的取值范围是　（－，2）　. 解析：因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以＜＜，当0＜x＜4时，0＜＜2；当x＝0时，＝0；当－1＜x＜0时，0＜－x＜1，0＜－＜，－＜＜0.综上可得－＜＜2. 变式 若将例3已知条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的取值范围为　（，）　. 解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是解得∴3x＋2y＝（x－y）＋（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－＜（x－y）＜2，5＜（x＋y）＜，∴＜（x－y）＋（x＋y）＜.故3x＋2y的取值范围是（，）. 练3 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数，则该微信群人数的最小值为（　　） A.20　　　B.22 C.26　　　D.28 解析：B　设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*，则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6，又教师人数的两倍多于男学生人数，∴2x＞x＋3，解得x＞3，当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. （时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则（　　） A.m≥n B.m＞n C.m≤n D.m＜n 解析：A　由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝（－1）2＋（－1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n.故选A. 2.设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是（　　） A.＞ B.a2＜b2 C.＜ D.a3＜b3 解析：D　对于A、B、C，取a＝－1，b＝1，则＜，a2＝b2，＝，A、B、C错误；对于D，由函数f（x）＝x3在R上为增函数，a＜b，则a3＜b3，D正确. 3.若1＜α＜3，－2＜β＜4，则α－｜β｜的取值范围是（　　） A.（－3，1） B.（－3，3） C.（0，3） D.（－3，5） 解析：B　∵－2＜β＜4，∴0≤｜β｜＜4，－4＜－｜β｜≤0，又1＜α＜3，∴－3＜α－｜β｜＜3.故选B. 4.不等式a＞b与＞能同时成立的充要条件是（　　） A.a＞b＞0 B.a＞0＞b C.＜＜0 D.＞＞0 解析：B　当a，b同为正数时，∵a＞b，两边同时除以ab，得＞，与＞矛盾.当a，b同为负数时，同理，＞，与＞矛盾.∴a，b异号，即a＞0＞b. 5.〔一题多解〕若a＝，b＝，c＝，则（　　） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜a＜c 解析：B　法一　易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，∴a＞b；＝＝log6251 024＞1，∴b＞c，即c＜b＜a. 法二　构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减.∴f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c. 6.〔多选〕已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是（　　） A.若a＞b，则ac2＞bc2 B.若a＞b，则a＋c＞b＋c C.若a＞b＞c＞0，则＞ D.若a＞b＞c＞0，则＞ 解析：BCD　当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；由不等式的可加性可知，B正确；若a＞b＞c＞0，则a－b＞0，b＋c＞0，∴－＝＝＞0，∴＞，故C正确；若a＞b＞c＞0，则a－b＞0，a－c＞0，b－c＞0，且a－c＞a－b，∴＞＞0，又b＞c＞0，由可乘性知，＞，故D正确. 7.能够说明“若＞，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值依次为　－1，1（答案不唯一）　. 解析：由＞，a＜0，可得＜.当x，y同号时，可得x＞y；当x，y异号时，可得y＞0＞x.又命题为假命题，故取整数x，y满足y＞0＞x即可，可取x＝－1，y＝1. 8.（2026·浙江杭州模拟）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为　90　平方米. 解析：设改造前的窗户面积为x，窗户增加的面积为y，x＞0，y＞0，依题意≤，即180x＋2xy≤180x＋180y，2xy≤180y，x≤90，所以改造前的窗户面积最大为90平方米. 9.若－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，t＝2a＋b，则a的取值范围为　（，）　；t的取值范围为　（－，）　. 解析：a＝[（a＋b）＋（a－b）]，由－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，得1＜（a＋b）＋（a－b）＜7，所以＜[（a＋b）＋（a－b）]＜，即＜a＜，又t＝2a＋b＝（a＋b）＋（a－b），所以－＋1＜（a＋b）＋（a－b）＜＋2，即t∈（－，）. 10.（13分）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞； （2）已知a＞1，b＞1，M＝＋，N＝＋，试比较M与N的大小，并说明理由. 解：（1）证明：因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0， 所以0＜＜，又e＜0，所以＞. （2）由题意，M－N＝＋－－＝－＝ ＝－. 因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0，b－1＞0，a＋b＞0，（a－b）2≥0，所以M－N＝－≤0，即M≤N，当且仅当a＝b时，M＝N. 11.“x＞y＞0”是“x－＞y－”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由题得，x－－（y－）＝－＝.又x＞y＞0.所以x－－（y－）＞0，即x－＞y－.充分性成立.显然，当x＝2，y＝－1时，x－＞y－成立，所以必要性不成立.故“x＞y＞0”是“x－＞y－”的充分不必要条件.故选A. 12.〔多选〕（2026·广东茂名模拟）下列命题正确的是（　　） A.若a＞b，则a2＞b2 B.若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2 C.若a＞b＞0，＞，则m＜0 D.若2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，则3＜3a＋b＜8 解析：BCD　对于A，取a＝1，b＝－2，满足a＞b，但是a2＜b2，故A错误；对于B，因为a＜b＜0，不等式两边同时乘以负数a，不等式方向改变，所以a2＞ab，不等式两边同时乘以负数b，不等式方向改变，所以ab＞b2，所以b2＜ab＜a2，故B正确；对于C，因为a＞b＞0，－＝＝＝，又因为＞，所以＞0，而a＞b＞0，即b－a＜0，m（a＋m）＜0，所以m＜0，故C正确；对于D，设3a＋b＝x（a＋b）＋y（a－b），即3a＋b＝（x＋y）a＋（x－y）b，则解得x＝2，y＝1，所以3a＋b＝2（a＋b）＋（a－b），又2＜a＋b＜3，则4＜2（a＋b）＜6，且－1＜a－b＜2，所以3＜2（a＋b）＋（a－b）＜8，所以3＜3a＋b＜8，故D正确.故选B、C、D. 13.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　（－3，－1）　. 解析：因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，故a＞0，c＜0，所以＜0，1＞＞，2＋＋＝0，所以＝－－2，所以有1＞－2－＞，解不等式得－3＜＜－1，故的取值范围是（－3，－1）. 14.（15分）〔开放创新题〕若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜. （1）求证：b＋c＞0； （2）求证：＜； （3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 解：（1）证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0. （2）证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0， 所以（a－c）2＞（b－d）2＞0， 所以0＜＜.　① 因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0.　② ①②相乘得＜. （3）由（2）知：a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，＜， 所以＜＜或＜＜. 所以，均为所求代数式.（只要写出一个即可） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $