02 空间几何体的表面积与体积 讲义-2027届高三数学一轮复习立体几何回归教材

该高中数学高考复习讲义聚焦空间几何体的表面积与体积核心考点，涵盖多面体、旋转体的定义、公式及割补法、等体积法等解题方法，知识梳理按“概念-公式-应用”逻辑展开，结合回归教材例题与高考真题，通过考点梳理、方法指导、分层训练帮助学生构建知识体系，突破计算与转化难点。 资料以“回归教材+高考实战”为特色，通过教材经典题（如正方体分割、石凳体积）与高考真题（如2022全国甲卷、2026模拟题）对比分析，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理转化的能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合方法小结（如体积求法三策略），确保高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——02 空间几何体的表面积与体积 知识梳理 1．多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 4.求空间几何体表面积的类型及方法 多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 注意：①组合体的表面积注意衔接部分的处理．②灵活运用直角三角形与直角梯形，如圆锥(台)中的高、母线、底面半径；棱锥(台)中的高、棱长、底面边长． 5．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” “三不变” 6．直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形(或S原图形＝2S直观图)． 7．与体积有关的两个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.1节例1】如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积. 【答案】 【分析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍. 【详解】因为是正三角形，其边长为，所以.因此，四面体的表面积. 【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题】若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积. 【答案】正六棱台的表面积为 【分析】在正六棱台的侧面上计算出斜高，然后计算侧面积，两个底面面积，相加可得表面积． 【详解】如图，正六棱台中，，，，∴侧面梯形的斜高为∴ ∴.又，， ∴正六棱台的表面积. 即正六棱台的表面积为. 【点睛】本题考查求正棱台的表面积，必须是两个底面面积和侧面积相加，掌握侧面积公式是解题基础． 【人教A版必修二第8.3.1节练习第2题】如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. （1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？ （2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ 【答案】（1）64个；（2）8个， 48；（3）24个， 144；（4）24个， 144； （5）8个， 48， 8 【分析】（1）棱长是4的立方体体积64，棱长为1的小正方体体积为1，由此能求出共得到多少个棱长为1的小正方体；（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少；（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少，它们占有多少立方厘米. 【详解】（1）棱长是4的立方体体积为：4×4×4＝64（），棱长为1的小正方体体积为1，∴共得到个小正方体； （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，∵立方体共有8个顶点，∴三面涂色的小正方体有8个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为8×6＝48（）； （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的各边上的正方体，∵立方体共有12条边，每边有2个正方体，∴二面涂色的小正方体有24个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为24×6＝144（）； （4）一面涂色的小正方体在棱长是4的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体， ∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体，∴一面涂色的小正方体有24个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为24×6＝144（）； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4的立方体中心的正方体，共有64−8−24−24＝8个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为8×6＝48（），它们 占8×1＝8（）的空间. 【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 【答案】 【分析】计算出正方体的体积和8个四面体的体积，相减后得到答案. 【详解】如图所示，由题意知正方体的棱长为0.5m， 设正方体的体积为，则有．其中． ∴这个石凳的体积为． 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解出即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得.又圆锥的侧面展开图为半圆，，即.将②式代入①式得，，即.故圆锥的底面直径为. 【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，是基础题. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第2题】当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 【答案】 【分析】设球的半径为R时，根据体积公式和表面积公式列方程求解即可. 【详解】设球的半径为R时，其体积和表面积的数值相等.则，.即球的半径时，其体积和表面积的数值相等. 【点睛】本题考查球的体积公式和表面积公式，是基础题. 【人教A版必修二习题8.3第1题】如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 【答案】 【分析】依题意八面体的每一个面都是边长为的正三角形，计算可得. 【详解】由题意，每个面都是边长为30cm的正三角形， 即这个八面体的表面积是. 【点睛】本题考查简单几何体的表面积，属于基础题. 【人教A版必修二习题8.3第4题】如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【答案】剩下部分体积为，表面积为. 【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. 【详解】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为. 圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以剩下几何体的体积为.剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积， 即. 【人教A版数学必修二习题8.3第2题】如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比. 【答案】 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，，，根据长方体的几何特征，我们可得，，两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案． 【详解】设长方体的长、宽、高分别为，，，即，，．由长方体，得，，两两垂直，所以，于是．故剩下几何体的体积，因此，． 【点睛】本题考查的知识点是棱柱的体积公式及棱锥的体积公式，其中根据长方体的结构特征分析出，，两两垂直，进而求出棱锥的体积是解答本题的关键． 【人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题】如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求证:; (2)求三棱锥的体积. 【分析】（1）由折叠可知三条直线两两垂直，利用线面垂直的判定定理，可先证明平面，再由线面垂直性质证求证； （2）由折叠可知三条直线两两垂直，，可求解. 【详解】（1）正方形中，，，折起后，有，， 平面，，∴平面，∵平面PEF，∴. （2）正方形中，，折叠后可知三条直线两两垂直，， ，. 考点梳理 考点一、空间几何体的体积 例、 如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且 底面，则三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】A [解析]因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，三棱锥的高为，底面积为，所以其体积为.故选. 例、 如图，在多面体中，已知四边形是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为( A ). A. B. C. D. 【答案】A [解析]如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，连接，， 容易求得，，则在中，边上的高. ， 该多面体的体积.故选. 例、 [2022·全国甲卷]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则( ). A. B. C. D. 【答案】C [解析]如图， 甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线长）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，则 ， ，解得，， 由勾股定理可得，，.故选. 例．（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由圆台的母线与底面所成的角求出圆台的高，再由圆台的体积公式求体积即可. 【详解】如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为，梯形为圆台的轴截面，高为，过作于，即为母线与下底面所成角，则.因为圆台的上、下底面半径分别为2和4，所以，由，所以，所以，即，由圆台的体积公式为. 小结：求空间几何体的体积的方法 公式法 规则的几何体的体积问题，直接利用公式进行求解 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补形为规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来求锥体的体积，特别是三棱锥的体积 考点二、空间几何体的表面积 例．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线，圆锥的侧面积是，， 得，解得;圆台的母线，圆台侧面积为． 例．（多选）（2026·陕西咸阳·二模）如图1所示的几何体是一个流星锤形正多面体，称为流星锤形十二面体，是由6对（12个）平行五角星面构成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示，则下列说法正确的是（    ）参考数据：. A．一个流星锤形十二面体有12个星尖（凸起的正五棱锥） B．一个流星锤形十二面体有10个星尖（凸起的正五棱锥） C．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是 D．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是 【答案】AC 【分析】结合图形可判断出星尖的个数；将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星，计算出正五棱锥侧面积和底面积之比即可. 【详解】由图可知，每个流星锤形十二面体有12个星尖，将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星， 则这个正五角星的五个顶点在圆上，连接，则垂直平分，设， 正五棱锥的侧面积等于，底面积等于，正五边形的每个内角为，则，故，则，所以，，，设，则，则，，则，所以，将所有的星尖沿其底面削去后所得几何体和流星锤形十二面体的表面积之比为. 例．已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是________，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________． 答案：　1 解析：设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线l＝2r，由题可知h＝2R，所以球的半径R＝r，所以圆锥的体积V1＝×(π×r2)×r＝πr3，球的体积V2＝πR3＝π×＝πr3，所以＝＝.圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，球的表面积S2＝4πR2＝4π×＝3πr2，所以＝＝1. 小结：求空间几何体的表面积的方法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割（补形）成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 跟踪练习： 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 答案：B 解析：设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 2．在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可证平面，所以为直线与底面所成的角，所以，可求得体积． 【详解】∵，点E为的中点， ∴， ∵，，两两垂直，则，平面，∴平面， ∴为直线与底面所成的角，由题意可知，，∴， ∴三棱锥的体积．故选：C． 3．将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为，则正四棱台的体积为， 由，可得，解得．故选：B 4、（2026·山东德州·二模）已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，圆柱的高是圆锥高的，则圆柱和圆锥的体积之比为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】设圆锥底面半径为，高为，则圆柱底面半径为，高为，故圆柱和圆锥的体积之比为. 5、已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为(　　) A．6π B．16π C．26π D．32π 答案：B 解析：圆台的上底面半径r′＝1，下底面半径r＝3，设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有解得所以圆台的侧面积S＝π(r′＋r)l＝π(1＋3)×4＝16π.故选B. 6．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，求出正棱台的高，再由正棱台的体积公式，即可求解. 【详解】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，，如图，设和的中心分别为，连接，，，则平面，，，作平面交平面于点，则即为直线与平面所成的角，由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形，所以，又，所以， 则棱台的体积为. 7、楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中平面ABCD为正方形．若AB＝6 cm，EF＝3 cm，且EF与平面ABCD的距离为2 cm，则该楔体形构件的体积为(　　) A．18 cm3 B．24 cm3 C．30 cm3 D．48 cm3 答案：C 解析：如图所示，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，因为平面ABCD为正方形，所以AB∥DC，又AB⊄平面EFCD，DC⊂平面EFCD，所以AB∥平面EFCD，又平面EFCD∩平面ABFE＝EF，所以AB∥EF，因为G为AB的中点，AB＝6 cm，EF＝3 cm，所以EF∥GB，EF＝GB，则四边形EGBF为平行四边形，则EG∥FB，同理EH∥FC，又GH∥BC，所以EGH－FBC为三棱柱，由题意，可得V四棱锥E－AGHD＝S矩形AGHD·h＝AD·AG·h＝×6×3×2＝12，又V三棱柱EGH－FBC＝3V三棱锥B－EGH＝3V三棱锥E－BGH＝3××V四棱锥E－GBCH＝V四棱锥E－AGHD＝×12＝18，所以该多面体的体积为V＝V四棱锥E－AGHD＋V三棱柱EGH－FBC＝12＋18＝30 cm3.故选C. 小结：分割法求体积就是先把不规则的几何体分割成规则的几何体，再利用相关公式直接计算． 8、(2024·天津高考) 一个五面体ABC－DEF，已知AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，并已知AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A． B．＋ C． D．－ 答案：C 解析：如图，用一个完全相同的五面体与该五面体相嵌，使得新组合体为一个三棱柱，记为ABC－HIJ，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，所以VABC－DEF＝VABC－HIJ＝××1×1××4＝.故选C. 小结：补形法求体积就是把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算． 9．（多选）【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题改编】正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的体积是 D．该正六棱台的高是 【答案】ACD 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】如图在正六棱台中， 因为，所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为， 所以梯形的面积为，故正六棱台的侧面积为，故B选项错误；由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，所以该正六棱台的上底面积为，故A正确；设正六棱台的高为，则， 正六棱台的上､下底面面积分别为，故它的体积是，故C、D正确；故选：ACD. 10．（多选）(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 答案：AC 解析：依题意，∠APB＝120°，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝，对于A，圆锥的体积为×π×()2×1＝π，A正确；对于B，圆锥的侧面积为π××2＝2π，B错误；对于C，设D是AC的中点，连接OD，PD，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，则∠PDO＝45°，所以OD＝OP＝1，故AD＝CD＝＝，则AC＝2，C正确；对于D，PD＝＝，所以S△PAC＝×2×＝2，D错误．故选AC. 11．（多选）(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 答案：CD 解析：设AB＝ED＝2FB＝2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，则V1＝ED·S△ACD＝·2a··(2a)2＝a3，V2＝FB·S△ABC＝·a··(2a)2＝a3，连接BD交AC于点M，连接EM，FM，易得BD⊥AC，又ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则ED⊥AC，又ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDEF，则AC⊥平面BDEF，又BM＝DM＝BD＝a，过F作FG⊥DE于点G，易得四边形BDGF为矩形，则FG＝BD＝2a，EG＝a，则EM＝＝a，FM＝＝a，EF＝＝3a，EM2＋FM2＝EF2，则EM⊥FM，S△EFM＝EM·FM＝a2，AC＝2a，则V3＝VA－EFM＋VC－EFM＝AC·S△EFM＝2a3，则2V3＝3V1，V3＝3V2，V3＝V1＋V2.故选CD. 12．已知圆台的母线与底面所成的角为60°，下底面的半径为2，其体积为，则该圆台的高等于________． 答案： 解析：设圆台的上底面半径为x，高为h，则π(x2＋2x＋4)h＝，即(x2＋2x＋4)h＝7.由母线与底面所成的角为60°，得h＝(2－x)，则有(x2＋2x＋4)(2－x)＝7，所以8－x3＝7，解得x＝1，所以h＝. 13、棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________． 答案：1 解析：如图，易知V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1－A1MN的高． 因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以S△A1MN＝2×2－×1×1－×1×2－×1×2＝，所以V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN＝×S△A1MN×D1A1＝××2＝1. 小结：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换． 14、在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． 答案： 解析：如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高．因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝，故AM＝AO－A1O1＝，则A1M＝＝＝，所以所求棱台的体积V＝×(4＋1＋)×＝. 15、一个正六棱柱和正六棱锥的组合体如图所示，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为________． 答案： 解析：设正六边形的边长为a，由题意知，正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，所以正六棱锥的高为a，正六棱锥的侧棱长为a，正六棱锥的侧面积S1＝6×a×＝a2，正六棱柱的侧面积S2＝6×a×2a＝12a2，所以＝. 16．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________. 【答案】 【详解】由题意得，题中八面体由正四棱锥和正四棱锥底面贴合而成，正方形为公共底面，边长为.取正方形的中心，记为.连接和，则，，且,,三点共线，线段为八面体的高，连接. . 则是正方形的一条对角线.因为正方形边长为，由勾股定理得对角线.所以.八面体的每一个面都是正三角形，因此侧面是正三角形，侧棱.在中，，，， 由勾股定理：.由对称性，，所以八面体的高；底面正方形面积.八面体体积等于两个正四棱锥体积之和：.故八面体的体积为. 17．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积； （2）根据石凳表面的构成，求出其表面积，进而求粉刷一个石凳的价格. 【详解】（1）正方体体积为，石凳体积为正方体体积减去8个正三棱锥体积， 其一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，则一个小正三棱锥体积为， 故石凳体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳表面积为， 则粉刷一个石登需要元. 18．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形， （1）求直线与平面所成角； （2）动点在该八面体的外接球面上，且，求点的轨迹的周长。 【详解】（1）如图，连接交于，连接，则平面， 所以为直线与平面所成角， 因为四边形是边长为2的正方形，所以,， 因为，又为锐角，所以， 即直线与平面所成角为. （2）由(1)知，连接，则, 因为，所以点为该八面体的外接球的球心，取的中点， 连接，因为都为等边三角形，所以，因为，平面，所以平面，因为，所以点平面内，因为平面过球心，所以平面与该八面体的外接球的交线为该球的大圆，即点的轨迹为此大圆，所以点的轨迹的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——02 空间几何体的表面积与体积 知识梳理 1．多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 4.求空间几何体表面积的类型及方法 多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 注意：①组合体的表面积注意衔接部分的处理．②灵活运用直角三角形与直角梯形，如圆锥(台)中的高、母线、底面半径；棱锥(台)中的高、棱长、底面边长． 5．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” “三不变” 6．直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形(或S原图形＝2S直观图)． 7．与体积有关的两个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.1节例1】如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题】若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第2题】如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. （1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？ （2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ 【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第2题】当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 【人教A版必修二习题8.3第1题】如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 【人教A版必修二习题8.3第4题】如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【人教A版数学必修二习题8.3第2题】如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比. 【人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题】如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求证:; (2)求三棱锥的体积. 考点梳理 考点一、空间几何体的体积 例、 如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且 底面，则三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 例、 如图，在多面体中，已知四边形是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为( A ). A. B. C. D. 例、 [2022·全国甲卷]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则( ). A. B. C. D. 例．（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 小结：求空间几何体的体积的方法 公式法 规则的几何体的体积问题，直接利用公式进行求解 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补形为规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来求锥体的体积，特别是三棱锥的体积 考点二、空间几何体的表面积 例．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 例．（多选）（2026·陕西咸阳·二模）如图1所示的几何体是一个流星锤形正多面体，称为流星锤形十二面体，是由6对（12个）平行五角星面构成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示，则下列说法正确的是（    ）参考数据：. A．一个流星锤形十二面体有12个星尖（凸起的正五棱锥） B．一个流星锤形十二面体有10个星尖（凸起的正五棱锥） C．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是 D．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是 例．已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是________，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________． 小结：求空间几何体的表面积的方法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割（补形）成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 跟踪练习： 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 2．在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C． D． 3．将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（    ） A． B． C． D． 4、（2026·山东德州·二模）已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，圆柱的高是圆锥高的，则圆柱和圆锥的体积之比为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 5、已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为(　　) A．6π B．16π C．26π D．32π 6．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7、楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中平面ABCD为正方形．若AB＝6 cm，EF＝3 cm，且EF与平面ABCD的距离为2 cm，则该楔体形构件的体积为(　　) A．18 cm3 B．24 cm3 C．30 cm3 D．48 cm3 8、(2024·天津高考) 一个五面体ABC－DEF，已知AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，并已知AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A． B．＋ C． D．－ 9．（多选）【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题改编】正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的体积是 D．该正六棱台的高是 10．（多选）(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 11．（多选）(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 12．已知圆台的母线与底面所成的角为60°，下底面的半径为2，其体积为，则该圆台的高等于________． 13、棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________． 14、在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． 15、一个正六棱柱和正六棱锥的组合体如图所示，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为________． 16．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________. 17．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 18．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形， （1）求直线与平面所成角； （2）动点在该八面体的外接球面上，且，求点的轨迹的周长。 学科网（北京）股份有限公司 $