2027届高考数学一轮复习讲义-第七章课时2 空间几何体的表面积与体积

该高中数学高考复习讲义聚焦空间几何体表面积与体积核心考点，依据课标要求梳理球、柱、锥、台的表面积及体积公式，通过知识梳理、基础回顾构建完整知识体系，再分考点扫描（表面积计算、体积计算、已知体积求棱长）配合真题讲解与分层练习，帮助学生系统突破重点难点。 讲义突出数学思维与数学眼光的培养，创新采用割补法（如例4补成三棱柱求五面体体积）、等体积法（例3转换顶点求体积）等解题策略，结合2024天津卷、2025模拟题等真题训练，设置基础巩固与能力提升分层练习，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时2 空间几何体的表面积与体积 一、课标要求 1．了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法. 2．知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 二、知识梳理 柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝ V＝πR3 三、基础回顾 1．判断正误 （1）直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积. （ ） （2） 同一个球的表面积和体积数值不可能相等. （ ） （3） 若圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6．则其表面积等于. （ ） （4） 若某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高相等．（ ） 2．在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该三棱锥的体积为(　 　) A．1　 B． C．2　 D．3 3．（多选题）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有(　 　) A．该圆台轴截面ABCD的面积为3cm2 B．该圆台的体积为cm3 C．该圆台的侧面积为6πcm2 D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm 4．已知一个圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆直径为 m. 四、考点扫描 考点一 计算空间几何体的侧（表）面积 例1 （1）(2025·广东深圳市模拟)已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（    ） A． B． C． D．18 （2）已知圆柱的轴截面为矩形，其底边长（圆柱底面圆直径）是另一边长的2倍，若轴截面的面积为S，则圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． （3）（2025·广东广州市一模）已知球表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 规律方法： 对点训练 （1）(2025·重庆诊断)已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为 ． （2）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有 个面；若被截正方体的棱长是60cm，则该几何体的表面积是 cm2. 考点二 计算空间几何体的体积 考向1 公式法 例2（1）（2025·江西景德镇市模拟）陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为，则该茶壶的容积约为 L（结果精确到0.1，参考数据：；）．    （2）如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 考向2 等体积法 例3 棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________. 考向3 割补法 例4 （2024·天津卷）如图，一个五面体．已知，且两两之间距离为1，．则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 规律方法： 对点训练（1） (2025·八省联考）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为　　 A． B． C． D． （2）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形，，均为等腰梯形，，，，，到平面的距离为5，与间的距离为10，则这个羡除的体积 ． 考点三 已知体积（侧面积）求棱长（高） 例5 （2024·北京卷）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 对点训练 定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度(单位：mm)来判断降雨程度，其中小雨(0 mm－10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100 mm). 小明用一个圆锥形容器(如图)接了24小时的雨水，则这天降雨属于(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 课时2 空间几何体的表面积与体积参考答案 二、知识梳理 4πR2 三、基础回顾 1．（1）√【解析】因为直三棱柱的侧面均是矩形，由矩形的面积公式和三角形两边之和大于第三边可判断. （2）×【解析】当球的半径为3时，表面积和体积数值相等. （3）×【解析】侧面积等于，表面积为上底面积、下底面积、侧面积的和，即. （4）√【解析】设圆柱底面圆半径为，高为.由题意，，所以，即． 2．A【解析】　如图，取AB中点E，连接PE，CE． 因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PE⊥AB，CE⊥AB．又PE，CE⊂平面PEC，PE∩CE＝E，所以AB⊥平面PEC．又PE＝CE＝2×＝，PC＝，所以PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，所以V＝VB－PEC＋VA－PEC＝S△PEC·AB＝××××2＝1．故选A. 3．ACD【解析】 对于选项A，由AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，可得CD＝4cm，O1O2＝＝(cm)，则圆台轴截面ABCD的面积为×(2＋4)×＝3(cm2)，故A正确． 对于选项B，圆台的体积为V＝×(1＋2＋4)×＝(cm3)，故B错误． 对于选项C，圆台的侧面积为S侧＝π(1＋2)×2＝6π(cm2)，故C正确． 对于选项D，将圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面圆半径为2cm，侧面展开图的圆心角θ＝＝π．如图，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4cm，OP＝2＋1＝3(cm)，则CP＝＝5(cm)．所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为CP＝5cm，故D正确．故选ACD. 4．【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r，母线长为l. 由题意2πr = πl，则l = 2r，再由圆锥的表面积为a m2，求得，则这个圆锥的底面直径为m. 四、考点扫描 例1 （1）A【解析】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为和，设在底面内的射影为，作于， 平面，平面，则有.又，，平面，所以平面，平面，所以.由，，，则，又，所以，则，故三棱台的侧面积为，表面积为.故选A. （2） B【解析】设圆柱的底面圆半径为，则圆柱母线长.由轴截面的面积为S，得，所以圆柱的表面积为.故选B. （3）B【解析】作出示意图如图所示： 设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形，所以，所以.因为球的表面积为，所以，解得，所以，所以，所以圆台侧面积为.故选B. 对点训练 （1）【解析】设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是，故轴截面周长为，解得，所以上、下底面圆的面积分别为，圆台侧面积，所以圆台的表面积为 （2） 14；【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面.如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是. 例2 （1）【解析】圆台型容器的轴截面为等腰梯形，设高为，则，解得，所以圆台型容器的容积. （2）40【解析】依题意，将该“四角反棱台”还原成长方体，知该几何体为长方体截取 四个相同大小的四棱锥，如图.则该几何体体积为. 例3 1【解析】如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点， 得S△A1MN＝2×2－2××2×1－×1×1＝.又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， 所以VA1－D1MN＝VD1­A1MN＝·S△A1MN·D1A1＝××2＝1. 例4 C【解析】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合. 因为，且两两之间距离为1．，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.故选C. 对点训练（1）A【解析】根据题意，设该圆锥的高为，底面圆半径，母线长为2，则，故该圆锥的体积．故选． （2）200【解析】 如图，连接 . 例5 D【解析】如图，底面为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设. 分别取的中点，连接，则，且，平面，可知平面，且平面，所以平面平面，过作的垂线，垂足为，即，由平面平面，平面，所以平面.由题意可得：，则，即，则，可得，所以四棱锥的高为.当相对的棱长相等时，不妨设，，因为，此时不能形成△，与题意不符，这样情况不存在.故选D. 对点训练 　B【解析】由题意，一个半径为＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面圆半径为×＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥，所以积水的厚度为＝12.5(mm). 由题意可知，这天降雨属于中雨．故选B. . 学科网（北京）股份有限公司 $