04空间直线、平面的平行讲义——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间直线、平面平行的核心考点，涵盖定义、判定定理、性质定理及三种平行关系转化，按“定义-定理-应用”逻辑架构知识体系。通过知识梳理夯实基础，回归教材习题强化本源，考点分析结合典例与方法小结，跟踪练习分层训练，助力学生系统突破难点。 资料突出回归教材与考点深度融合，采用递进式教学策略，如在直线与平面平行判定中，通过构造中位线或平行四边形的例题解析，培养学生的推理能力与空间观念。分层设计的跟踪练习匹配高考难度，帮助学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——04 空间直线、平面的平行 知识梳理 1、直线与平面平行的定义 若直线与平面 没有公共点，则称直线与平面 平行，可用数学符号描述为：若 ,则 . 2、直线与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理 性质定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 图形语言 3、平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，可用数学符号描述为：若 ,则 . 4、平面与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理 性质定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，那么这两个平面平行 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 ，，， ， ，， 图形语言 5.掌握三种平行关系的转化 6.常用结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. （2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. （3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. （4）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． （5）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． （6）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． （7）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （8）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 回归教材： 【人教A版必修二习题8.5.2节练习第4题】如图，，，，，求证：. 【人教A版必修二习题8.5.3节练习第4题】如图，平面.判断c与a，c与的位置关系，并说明理由. 【人教A版必修二习题8.5第13题】如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证. 【人教A版必修二第8.5.3节练习第2题】平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 【人教A版必修二习题8.5第1（2）题】直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 【人教A版必修二习题8.5第15题】如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是______ 【人教A版必修二8.5.1节练习第4题】如图，在四面体中，分别为上的点.若，，则和有什么关系？为什么？ 【人教A版习题8.5第5题】如图，在四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点， 求证： (1)平面EFG； (2)平面EFG. 考点梳理： 考点一、直线与平面平行的判定与性质角度 例、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是正方形的中心，，分别是,的中点.求证： （1）平面；（2）平面. 例、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在MD上取一点G，过G和PA作平面交平面BMD于GH.求证：PA∥GH. 例、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点. （1） 求证：平面. （2） 求证：为的中点. （3） 在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 小结： 1．判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 2．证明线线平行的三种方法 (1)利用基本事实4(a∥b，b∥c⇒a∥c)． (2)利用线面平行的性质定理(a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b)． (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)． 考点二、平面与平面平行的判定与性质角度 例、如图，在三棱柱中，过的平面与上底面交于不与重合. （1） 求证：. （2） 若,,分别为,,的中点,求证:平面平面. 例、如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE＝2CF. (1)证明：平面ADE∥平面BCF； (2)若G是棱BC的中点，证明：AE∥FG. 例、如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点． (1)若平面PQC与直线AA1交于点R，求的值； (2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值． 小结： 1．证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 2．面面平行的应用 (1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行． (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行． 跟踪练习： 1、 如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．矩形 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以下直线与平面BC1D1平行的是(　　) A．直线AC B．直线AB1 C．直线CD D．直线AA1 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·上海·一模）将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 5．（2026·青海西宁·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（   ） A．存在一条直线 B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 6．（2026·甘肃兰州·一模）已知直线，平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　) A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 8. 已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 9．在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是(　　) 10. （多选题）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与平行的平面是( AB ). A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 11．（多选题）如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个结论中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 12．（多选题）（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A．B． C．D． 13. 如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 14、如图，在三棱台中，若,,,分别是,的中点,则与平面的位置关系是 .（填“平行”或“相交”） 15、如图，在斜三棱柱中，,分别为,上的点. （1）当为何值时，平面? （2）若平面平面,求的值. 16．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为侧棱SC的中点． (1)求证：SA∥平面EDB； (2)若F为棱AB的中点，求证：EF∥平面SAD； (3)设平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l. 17．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点． (1)当点P在棱DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论； (2)若P是DD1的中点，Q是BB1的四等分点，且B1Q＝3QB，求证：平面MNQ∥平面A1C1P. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——04 空间直线、平面的平行 知识梳理 1、直线与平面平行的定义 若直线与平面 没有公共点，则称直线与平面 平行，可用数学符号描述为：若 ,则 . 2、直线与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理 性质定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 图形语言 3、平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，可用数学符号描述为：若 ,则 . 4、平面与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理 性质定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，那么这两个平面平行 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 ，，， ， ，， 图形语言 5.掌握三种平行关系的转化 6.常用结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. （2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. （3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. （4）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． （5）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． （6）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． （7）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （8）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 回归教材： 【人教A版必修二习题8.5.2节练习第4题】如图，，，，，求证：. 【答案】见解析 【分析】首先根据线面平行的判定定理，证得；再根据线面平行的性质定理证得，由平行公理证得，从而证得. 【详解】，.， ，，. 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，考查平行公理，属于基础题. 【人教A版必修二习题8.5.3节练习第4题】如图，平面.判断c与a，c与的位置关系，并说明理由. 【答案】见解析. 【分析】由题意，由平面与平面平行的性质定理可得，由可得，由直线与平面平行的判定定理可得. 【详解】.理由如下： ∵平面.又.又. 【点睛】本题主要考查平面与平面平行的性质定理及直线与平面平行的判定定理，需注意定理的灵活运用. 【人教A版必修二习题8.5第13题】如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证. 【答案】见解析 【分析】连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD，由面面平行的性质定理可得，所以，同理可得，从而可得结果. 【详解】证明：如图，连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD. 因为平面，平面，所以，所以.同理,且，所以. 【人教A版必修二第8.5.3节练习第2题】平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 【答案】D 【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可. 【详解】A：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； B：直线aα，aβ，且直线a不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； C：直线 ，直线，且bα，aβ，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； D：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知，正确. 故选：D. 【人教A版必修二习题8.5第1（2）题】直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【分析】由推论1和基本事实3可以确定平面与平面有唯一的交线，由线面平行的性质定理可推导直线与交线平行，从而确定选项. 【详解】由推论1可知：，则，，过与确定一平面β，由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b，因为直线a∥平面α，，，所以a∥b.故选：C． 【人教A版必修二习题8.5第15题】如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是______ 【答案】（1）（2）（4）（5） 【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案. 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以（1）和（2）正确；因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误；因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确； 因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值， 所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确。 【人教A版必修二8.5.1节练习第4题】如图，在四面体中，分别为上的点.若，，则和有什么关系？为什么？ 【答案】，证明见解析 【分析】利用线线平行，再利用等角定理即可得到. 【详解】，证明如下： ，.，，，.由等角定理可得，. 【点睛】本题考查线线平行，平行线分线段成比例，属于基础题. 【人教A版习题8.5第5题】如图，在四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点， 求证： (1)平面EFG； (2)平面EFG. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）由三角形中位线的性质可得，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）由三角形中位线的性质可得，再由线面平行的判定定理可得结论. 【详解】（1）F，G分别是BC，CD的中点，. 平面EFG，平面EFG，平面EFG. （2）E.F分别是AB，BC的中点，, 在平面EFG，平面EFG，平面EFG. 考点梳理： 考点一、直线与平面平行的判定与性质角度 例、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是正方形的中心，，分别是,的中点.求证： （1）平面；（2）平面. [解析]（1）如图，连接，因为,分别是，的中点，所以， 又 平面， 平面，所以平面. （2）如图，取的中点,连接,,则由中位线定理可知,且,即,且,所以四边形为平行四边形，所以.又 平面, 平面,所以平面. 例、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在MD上取一点G，过G和PA作平面交平面BMD于GH.求证：PA∥GH. 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO. 又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH. 例、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点. （1） 求证：平面. （2） 求证：为的中点. （3） 在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. [解析]（1）证明：连接交于点，连接，如图所示， 由底面为平行四边形，则为的中点，又为棱的中点，所以为的中位线，则， 又 平面， 平面，故平面. （2）证明：由题设知，， 平面， 平面，所以平面，又 平面，平面 平面， 所以，又为棱的中点，所以是的中位线，所以为的中点. [解析]（3）存在使得平面且，理由如下： 取的中点，连接，如图， 由题设得，且，由（2）知且， 所以且，即四边形为平行四边形， 所以，而 平面， 平面，所以平面，故所求点即为点， 所以棱上存在点,使得平面，且. 小结： 1．判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 2．证明线线平行的三种方法 (1)利用基本事实4(a∥b，b∥c⇒a∥c)． (2)利用线面平行的性质定理(a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b)． (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)． 考点二、平面与平面平行的判定与性质角度 例、如图，在三棱柱中，过的平面与上底面交于不与重合. （1） 求证：. （2） 若,,分别为,,的中点,求证:平面平面. [解析]（1）证明：因为在三棱柱中，平面平面， 又平面 平面,且平面 平面，所以. （2）证明：因为，分别为，的中点，所以, 又因为 平面, 平面, 所以平面. 又，分别为,的中点，,, 所以,则四边形为平行四边形，所以, 因为 平面, 平面,所以平面. 又因为, 平面, 平面,所以平面平面. 例、如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE＝2CF. (1)证明：平面ADE∥平面BCF； (2)若G是棱BC的中点，证明：AE∥FG. 证明：(1)由▱ABCD，得BC∥AD，而AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，则BC∥平面ADE，由DE∥CF，DE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，得CF∥平面ADE， 又BC∩CF＝C，BC，CF⊂平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF. (2)延长EF，AG与DC的延长线分别交于点O1，O2， 由DE∥CF，DE＝2CF，得CO1＝CD，由BC∥AD，G是棱BC的中点，得CO2＝CD， 因此点O1，O2重合，记为O，显然平面AOE∩平面AED＝AE，平面AOE∩平面BCF＝FG， 由(1)知，平面ADE∥平面BCF，所以AE∥FG. 例、如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点． (1)若平面PQC与直线AA1交于点R，求的值； (2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值． 解：(1)因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且平面ABB1A1∩平面PQC＝RQ，平面CDD1C1∩平面PQC＝PC，所以RQ∥PC，根据空间等角定理可知，△ARQ∽△DPC，则＝， 又DC＝a，DP＝a，AQ＝a，则＝，即AR＝a，A1R＝a，所以＝. (2)取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，EM，则BE∥RQ， 又RQ⊂平面PQC，BE⊄平面PQC，则BE∥平面PQC. 又BM∥平面PQC，BM，BE⊂平面BME且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PQC， 设DD1∩平面BME＝F，连接EF，FM， 因为平面BME∥平面PQC，平面BME∩平面CDD1C1＝FM，平面PQC∩平面CDD1C1＝PC，所以FM∥PC， 又CM∥PF，则四边形CPFM为平行四边形， 同理四边形PREF也是平行四边形，所以CM＝PF＝ER＝a，所以λ＝＝＝. 小结： 1．证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 2．面面平行的应用 (1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行． (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行． 跟踪练习： 1、 如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．矩形 答案：B 解析：因为平面ABFE∥平面CGHD，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CGHD＝GH，根据面面平行的性质定理可知EF∥GH，同理可证明EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形．故选B. 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以下直线与平面BC1D1平行的是(　　) A．直线AC B．直线AB1 C．直线CD D．直线AA1 答案：C 解析：对于A，B，D，A∈平面BC1D1，则直线AC，AB，AA1与平面BC1D1不平行，故A，B，D不符合题意；对于C，因为CD∥C1D1，CD⊄平面BC1D1，C1D1⊂平面BC1D1，所以CD∥平面BC1D1，故C符合题意．故选C. 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，所以“”是“”的充分条件；由，，若，则或与相交， 所以“”是“”的不必要条件．则“”是“”的充分不必要条件. 4．（2026·上海·一模）将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 【答案】D 【分析】将每个选项中的命题进行变换，结合空间中线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，将该选项中的命题变换为：过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行， 变换后的命题为真命题，A选项中的命题为“可换命题”； 对于B选项，将选项中的命题变换为：垂直于同一直线的两个平面平行，根据线面垂直的性质定理可知变换后的命题为真命题，B选项中的命题为“可换命题”； 对于C选项，将选项中的命题变换为：平行于同一个平面的两个平面平行，根据平面平行的传递性可知变换后的命题为真命题，C选项中的命题为“可换命题”； 对于D选项，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，D选项中的命题为假命题，D选项不满足要求. 5．（2026·青海西宁·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（   ） A．存在一条直线 B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 【答案】D 【详解】选项A：若与相交，只要直线平行于两平面的交线，就满足，无法推出，排除A；选项B：若与相交，只要内的直线平行于两平面的交线，就满足，无法推出，排除B；选项C：若与相交，可在内取平行于交线，在内取也平行于交线，满足，无法推出，排除C；选项D：对于异面直线，可在内作出，在内作出，可得是内的相交直线，是内的相交直线，且都平行于另一个平面，根据面面平行判定定理可推出，符合要求. 6．（2026·甘肃兰州·一模）已知直线，平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系结合面面平行判定定理和线面平行性质定理逐项判断. 【详解】选项A：若，，则或，故A错误；选项B：面面平行的判定定理：内两条相交直线，，则，由于直线不一定相交，故命题不一定成立，故B错误；选项C：若，，则，或，故C错误；选项D：若，则垂直于平面内所有直线；又，由线面平行性质定理可知：存在直线，使得， 又，所以，D正确. 7. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　) A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 答案：B 解析：由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF∥BD，且EF＝BD，又EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG∥BD，且HG＝BD，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形． 8. 已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 答案：D 解析：∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝A′B′∶AB＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝A′B′2∶AB2＝4∶25. 9．在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是(　　) 答案：B 解析：对于A，如图1，由正方体的性质可知BM∥B1N，所以易知直线BM与平面CNQ不平行，故A不符合题意；对于B，如图2，因为NQ∥AC，故平面CNQ即为平面ACNQ，而BM∥AQ，BM⊄平面CNQ，AQ⊂平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故B符合题意；对于C，如图3，因为NQ∥BC，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故C不符合题意；对于D，如图4，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交A1B1于点D，则点D是在A1B1上靠近点B1的四等分点，由MD∥CQ，MD⊄平面CNQ，CQ⊂平面CNQ，可得MD∥平面CNQ，又BM∥平面CNQ，MD∩BM＝M，MD，BM⊂平面BDM，则平面BDM∥平面CNQ，而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故D不符合题意．故选B. 10. （多选题）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与平行的平面是( AB ). A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】AB [解析]由于， 平面， 平面，所以平面.同理，平面， 平面， 平面.故选. 11．（多选题）如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个结论中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 答案：ACD 解析：由题图，显然A正确，B错误；因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG，且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C正确；因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝，为定值，所以D正确．故选ACD. 12．（多选题）（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】对于A、B和C，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，利用直线与平面位置关系的向量法，即可求解；对D，利用面面平行的性质，即可求解. 【详解】如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，所以设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，又易知，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故A错误， 对于B，如图2，由选项A知平面的一个法向量为，，则，又，即与不垂直，所以与平面不平行，故B错误， 对于C，如图3，由选项A知平面的一个法向量为，，则，又，即与不垂直，所以与平面不平行，故C错误， 对于D，如图4，记为正方体所在棱的中点，连接，易得，又平面，平面，所以平面，又，平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 又平面，则直线平面，所以D正确， 13. 如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 答案：点M在线段FH上 解析：如图，连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需点M在线段FH上，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1. 14、如图，在三棱台中，若,,,分别是,的中点,则与平面的位置关系是 .（填“平行”或“相交”） 【答案】平行 [解析]如图，连接,.由,分别是,的中点，根据中位线性质，得，且， 由棱台性质得，，则，由可知，四边形是平行四边形，则，又 平面， 平面，所以平面. 15、如图，在斜三棱柱中，,分别为,上的点. （1）当为何值时，平面? （2）若平面平面,求的值. [解析]（1）如图所示，取为线段的中点，此时，连接交于点，连接. 由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，所以为的中点. 在中，,分别为,的中点，所以. 又因为 平面, 平面,所以平面. 故当时，平面. （2） 由已知得，平面平面，且平面 平面, 平面 平面, 因此，同理，， 所以,.又因为，所以，即. 16．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为侧棱SC的中点． (1)求证：SA∥平面EDB； (2)若F为棱AB的中点，求证：EF∥平面SAD； (3)设平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l. 证明：(1)连接AC交BD于点O，连接OE， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点， 又E为侧棱SC的中点，所以SA∥EO.又SA⊄平面EDB，EO⊂平面EDB，所以SA∥平面EDB. (2)连接FO，因为F为棱AB的中点，O为BD的中点，所以AD∥FO， 又FO⊄平面SAD，AD⊂平面SAD，所以FO∥平面SAD. 又SA∥EO，EO⊄平面SAD，SA⊂平面SAD，所以EO∥平面SAD. 又EO∩FO＝O，EO，FO⊂平面EOF，所以平面EOF∥平面SAD.又EF⊂平面EOF，所以EF∥平面SAD. (3)因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD. 又平面SAB∩平面SCD＝l，AB⊂平面SAB，所以AB∥l. 17．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点． (1)当点P在棱DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论； (2)若P是DD1的中点，Q是BB1的四等分点，且B1Q＝3QB，求证：平面MNQ∥平面A1C1P. 解： (1)当点P在棱DD1上运动时，都有MN∥平面A1C1P. 证明如下： 连接AC，在正方形ABCD中，MN为△ABC的中位线，可得MN∥AC， 由正方体的截面性质可得四边形A1ACC1为矩形，则AC∥A1C1，可得MN∥A1C1， 又MN⊄平面A1C1P，A1C1⊂平面A1C1P，则MN∥平面A1C1P. (2)证明：取A1A的中点F，连接PF，FB1，取B1B的中点E，连接AE， 由FP∥A1D1，FP＝A1D1，A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1，可得FP∥B1C1，FP＝B1C1， 即四边形FPC1B1为平行四边形，可得FB1∥PC1，由E为B1B的中点，且B1Q＝3QB， 可得Q为BE的中点，又M为AB的中点，故MQ∥AE， 由四边形AEB1F为平行四边形，可得AE∥FB1，即有MQ∥PC1. 又MQ⊄平面A1C1P，PC1⊂平面A1C1P，则MQ∥平面A1C1P， 又MN∥平面A1C1P，MN∩MQ＝M，MN，MQ⊂平面MNQ，则平面MNQ∥平面A1C1P. 学科网（北京）股份有限公司 $