7.4 空间直线、平面的平行【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦空间直线与平面平行这一高考高频考点，以判定与性质定理为核心，通过双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练的递进式架构，系统整合线面、面面平行的转化关系及应用策略，助力学生构建完整知识网络并突破推理证明难点。 资料突出几何推理与向量方法的融合应用，如例1通过两种证法培养学生逻辑推理与空间想象能力，限时训练分层设计基础巩固与综合应用题目，配合即时反馈机制。聚焦翻折、动点等高考热点场景，助力学生在有限时间内提升数学思维与表达能力，为教师精准把握复习重点提供清晰路径。

第七章立体几何与空间向量 §7.4　空间直线、平面的平行 【高考考向预测】 空间线面平行依托判定与性质定理推理论证，常结合几何体计算综合考查；近三年属于立体几何常规高频考点，大小题型均有涉及；预测2027 年仍以证明类设问为主，搭配翻折、动点场景，兼顾几何推理与向量方法运用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(　 　) (2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　 　) (3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　 　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.(　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）× 2.(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(2))如果直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线(　　) A.只有一条，不在平面α内 B.有无数条，不一定在α内 C.只有一条，且在平面α内 D.有无数条，一定在α内 【答案】C 3.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是(　　) A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若m∥n，m∥α，则n∥α D.若α∥β，m⊂α，则m∥β 【答案】D 【解析】若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交或异面，故A错误； 若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误； 若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故C错误； 若α∥β，m⊂α，则m∥β，故D正确. 4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为　　　　　　　　. 【答案】平行四边形 【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE=EF， 平面EFGH∩平面DCGH=HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 【核心梳理●明考点】 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 1.掌握三种平行关系的转化 2.灵活应用以下结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b. (4)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 【题型突破●明方向】 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 例1　(湘教版必修第二册P171习题4.3T17)如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在对角线AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ.求证：PQ∥平面BCE.(至少用两种方法证明) 【证明】方法一　连接AQ，并延长交直线BC于点K，连接EK(图略). 由已知可得AE=BD， 又AP=DQ，∴PE=BQ，∴=. ∵AD∥BK，∴=， ∴=，∴PQ∥EK. 又EK⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE， ∴PQ∥平面BCE. 方法二　过P作垂线PP'⊥BE于点P'，过Q作垂线QQ'⊥BC于点Q'，连接P'Q'(图略). ∵QQ'∥DC，PP'∥AB，∴QQ'∥PP'. 由已知可得AE=BD，∠AEB=∠DBC， ∵AP=DQ，∴PE=BQ， 又PP'=PE·sin∠AEB，QQ'=BQ·sin∠DBC， ∴QQ'=PP'，∴QQ'綉PP'， ∴四边形PQQ'P'为平行四边形. ∴PQ∥P'Q'， 又PQ⊄平面BCE，P'Q'⊂平面BCE， ∴PQ∥平面BCE. 方法三　在△ABE中，过P作PM∥BE交AB于点M，连接MQ，如图， ∵AP=DQ，AE=BD，∴=， 在△ABE中，PM∥BE，∴=， ∴=，∴MQ∥AD， 又AD∥BC，∴MQ∥BC， 又BC⊂平面BCE，MQ⊄平面BCE， ∴MQ∥平面BCE， 同理可证PM∥平面BCE， 又PM∩MQ=M，PM⊂平面PMQ，MQ⊂平面PMQ， ∴平面PMQ∥平面BCE， 又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE. 命题点2　直线与平面平行的性质 例2　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH. 【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点， 又M是PC的中点， ∴PA∥OM， 又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD， ∴PA∥平面BMD，又PA⊂平面PAHG， 平面PAHG∩平面BMD=GH，∴PA∥GH. 【思维升华】(1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点). ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线. 跟踪训练1　如图，四边形ABCD为矩形，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.证明： (1)DF∥平面PBE； (2)DF∥l. 【证明】(1)方法一　如图所示，取PB的中点G，连接FG，EG， 因为点F为PC的中点， 所以FG∥BC，FG=BC， 因为四边形ABCD为矩形， 所以BC∥AD，且BC=AD， 又E为AD的中点， 所以DE∥FG，DE=FG， 所以四边形DEGF为平行四边形， 所以DF∥GE， 因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE， 所以DF∥平面PBE. 方法二　如图所示，取BC的中点记为M，连接DM，MF， 因为四边形ABCD为矩形，且M，E分别为BC，AD的中点， 所以DE綉BM，所以四边形BMDE为平行四边形， 所以DM∥BE， 又BE⊂平面PBE，DM⊄平面PBE， 所以DM∥平面PBE， 又在△PBC中，M，F分别为CB，CP的中点， 所以MF∥PB， 又PB⊂平面PBE，MF⊄平面PBE， 所以MF∥平面PBE， 又DM∩MF=M，DM⊂平面MDF，MF⊂平面MDF， 所以平面MDF∥平面PBE， 又DF⊂平面MDF， 所以DF∥平面PBE. (2)由(1)知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l， 所以DF∥l. 题型二　平面与平面平行的判定与性质 例3　(2025·上海)如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2. (1)若直线PA与圆锥底面所成的角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C，D在底面圆周上，且弧AC的长为，CD∥AB.设点M在线段OC上，证明：直线QM∥平面PBD. (1)【解析】由题知，∠PAB=，即轴截面△ABP是等边三角形，故PA=AB=2， 底面周长为2π×1=2π，则圆锥的侧面积为 ×2×2π=2π. (2)【证明】如图所示，连接QC，QO，OD，由题知AQ=QP，AO=OB，则根据中位线性质可知，QO∥PB， 又QO⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，则QO∥平面PBD， 由于=，底面圆的半径为1，则∠AOC=，又CD∥AB，则∠OCD=， 又OC=OD，则△OCD为等边三角形，则CD=1， 于是CD∥BO且CD=BO，则四边形OBDC是平行四边形，故OC∥BD， 又OC⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，故OC∥平面PBD. 又OC∩QO=O，OC，QO⊂平面QOC， 于是平面QOC∥平面PBD， 又M∈OC，则QM⊂平面QOC，则直线QM∥平面PBD. 【思维升华】证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β). (3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ). 跟踪训练2　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合). (1)求证：BC∥GH； (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 【证明】(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中， ∴平面ABC∥平面A1B1C1， 又∵平面BCHG∩平面ABC=BC， 且平面BCHG∩平面A1B1C1=GH， ∴由面面平行的性质定理得BC∥GH. (2)∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB， ∴A1G綉EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 题型三　平行关系的综合应用 例4　如图所示，正四棱锥S-ABCD，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD. (1)若M为侧棱SA上一点，且SC∥平面BMD，证明：M为SA的中点； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. (1)【证明】如图，在正四棱锥S-ABCD中，连接BD交AC于点O，连接MB，MD，MO，则O为AC的中点， 因为SC∥平面BMD，SC⊂平面SAC，平面BMD∩平面SAC=OM， 所以SC∥OM， 又在△SAC中，O为AC的中点， 所以M为SA的中点. (2)【解析】在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，满足=2. 理由如下： 取SD的中点Q，由SP=3PD，得PQ=PD， 过Q作PC的平行线交SC于点E，连接BQ，BE，PO，如图， 由于O是BD的中点， 则BQ∥PO， 又PO⊂平面PAC，BQ⊄平面PAC， 于是BQ∥平面PAC， 由=2，得==2， 又QE∥PC，PC⊂平面PAC，QE⊄平面PAC，则QE∥平面PAC， 又BQ∩QE=Q，BQ，QE⊂平面BEQ， 因此平面BEQ∥平面PAC，而BE⊂平面BEQ， 所以BE∥平面PAC，即侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，=2. 【思维升华】解决线面、面面平行问题的关键点 (1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”. (2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法. 跟踪训练3　如图，在三棱锥D-ABC中，E，M分别为BC，BD的中点，点F在棱AC上，且AF=3FC，点N在棱AC上，且CN=CA，在棱BC上是否存在一点G，使平面MNG∥平面DEF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】存在点G满足题意，=3. 证明如下：取BE的中点G，连接MG，NG，图略， 因为BG=GE，MB=DM，所以MG∥DE. 又MG⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以MG∥平面DEF. 因为AF=3FC，所以FC=CA， 所以==， 又=，所以=，所以EF∥GN. 又EF⊂平面DEF，GN⊄平面DEF， 所以GN∥平面DEF， 因为MG∩GN=G，MG，GN⊂平面MNG， 所以平面MNG∥平面DEF， 所以在棱BC上存在点G满足题意，此时=3. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　) A.α内的所有直线都与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内的直线都与a相交 D.直线a与平面α有公共点 【答案】D 2.已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且α∩γ=m，β∩γ=n，则“m∥n”是“α∥β”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由α∩γ=m，β∩γ=n，若α∥β，由面面平行的性质知，m∥n，必要性成立； 由α∩γ=m，β∩γ=n，若m∥n，则α∥β或α，β相交，相交情况如图，充分性不成立. 则“m∥n”是“α∥β”的必要不充分条件. 3.已知l，m，n为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面.若α∩β=n，α∩γ=l，β∩γ=m，n∥γ，则(　　) A.l与n相交 B.m与n相交 C.l与m平行 D.l与β相交 【答案】C 【解析】如图，由n⊂α，n∥γ，α∩γ=l，得n∥l. 又l⊄β，n⊂β，所以l∥β， 结合l⊂γ，β∩γ=m，得l∥m∥n. 4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别是A'D'，D'C'的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.无法确定 【答案】B 【解析】连接AC交BD于点E，连接MN，EN，A'C'，如图，而M，N分别是A'D'，D'C'的中点， 所以MN∥A'C'∥AC，即MN∥AE，且2MN=A'C'=AC=2AE，即MN=AE， 则四边形AENM为平行四边形，故AM∥EN， 由AM⊄平面BND，EN⊂平面BND，则AM∥平面BND. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若平面A1BC1与平面ABCD的交线为l，则(　　) A.l∥CD B.l∥A1C C.l∥平面A1B1CD D.l∥平面ACD1 【答案】D 【解析】因为B∈平面A1BC1，B∈平面ABCD，平面A1BC1∩平面ABCD=l，所以B∈l. 又直线A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1BC1，故得A1C1∥l， 所以l是过点B且平行于A1C1的直线. 对于A，因为A1C1∥l，A1C1∥AC，所以l∥AC，而AC∩CD=C，故l∥CD不成立，故A错误； 对于B，因为l∥AC，而AC∩A1C=C，故l∥A1C不成立，故B错误； 对于C，因为l∥AC，而AC∩平面A1B1CD=C，故l∥平面A1B1CD不成立，故C错误； 对于D，因为l∥AC，AC⊂平面ACD1，l⊄平面ACD1，所以l∥平面ACD1，故D正确. 6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，且=λ，PC∥平面BEF，则实数λ的值为(　　) A. B.2 C. D.3 【答案】D 【解析】如图，连接AC，与BE交于点G，连接FG. 因为E为AD的中点，所以AE=AD=BC，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC， 则△AEG∽△CBG，所以==，所以=. 又PC∥平面BEF，PC⊂平面PAC，平面BEF∩平面PAC=GF，所以GF∥PC，所以λ===3. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2026·淄博模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是(　　) A.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n B.若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n C.若m∥n，n⊂α，α∥β，则m∥β D.若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ 【答案】AC 【解析】对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，此时m，n可以异面，也可以平行，故A错误； 对于B，由m⊥α，n⊥β，α∥β，可得m∥n，故B正确； 对于C，若m∥n，n⊂α，α∥β，则可得m∥β或m⊂β，故C错误； 对于D，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，则β∥γ，故D正确. 8.(2026·重庆模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，N是侧面BB1C1C内一点，且MN∥平面AA1C1C，则MN长度的取值可以是(　　) A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】分别取BC，B1C1的中点G，H，连接MG，GH，HM，如图， 由中位线易知MG∥AC，HG∥CC1， 又AC，CC1⊂平面AA1C1C，MG，HG⊄平面AA1C1C， 所以MG∥平面AA1C1C，HG∥平面AA1C1C， 又MG，HG是平面MGH内的两条相交直线， 所以平面MGH∥平面AA1C1C， 又MN∥平面AA1C1C， 所以N在平面MGH内，又N是侧面BB1C1C内一点，所以N的轨迹是线段HG， 易知MG=AC=，MH==， MG≤MN≤MH， 所以MN长度的取值范围是. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.如图所示，在三棱锥D-ABC中，E，F，G，H分别在棱BD，BC，AC，AD上，CD，AB均与平面EFGH平行，且CD⊥AB，则四边形EFGH的形状为　　　　　　. 【答案】矩形 【解析】因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD=EF，所以CD∥EF. 同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF， 所以四边形EFGH为平行四边形. 又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF， 所以四边形EFGH为矩形. 10.(2026·泰安模拟)已知平面α∥β，点P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=10，则BD=　　　　　. 【答案】6或30 【解析】当点P位于平面α，β同侧时， 如图(1)，则=，∴=，∴BD=6； 当点P位于平面α，β之间时， 如图(2)，=，∴=，∴BD=30. 四、解答题(共27分) 11.(13分)(湘教版必修第二册P160例7)如图，点A，B分别位于异面直线a，b上，过AB中点O的平面α与a，b都平行，M，N分别是a，b上异于A，B的另外两点，MN与α交于点P.求证：P是MN的中点. 【证明】连接AN，设它与平面α交于点Q，连接OQ，PQ. 因为OQ是平面ABN与α的交线，b∥α， 所以OQ∥BN. 同理可证QP∥AM. 在△ABN中，O是AB的中点，OQ∥BN， 所以Q是AN的中点. 又因为QP∥AM， 所以P是MN的中点. 12.(14分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3. (1)求三棱锥A-BDE的体积；(5分) (2)在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，请说明P点位置并证明；如果不存在，请说明理由.(9分) 【解析】(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AA1⊥平面ABCD， 所以V三棱锥A-BDE=V三棱锥E-ABD=AE·S△ABD =×××2×2=1. (2)当P为棱DD1的中点时满足平面PA1C∥平面EBD. 连接AC，设AC∩BD=O，连接OE，CP，A1P，如图， 因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点， 又E为棱AA1的中点， 所以OE∥A1C，又OE⊄平面PA1C，A1C⊂平面PA1C，所以OE∥平面PA1C， 又P为棱DD1的中点，所以DP∥A1E且DP=A1E，所以四边形DPA1E为平行四边形， 所以DE∥A1P， 又DE⊄平面PA1C，A1P⊂平面PA1C， 所以DE∥平面PA1C， 又DE∩OE=E，DE，OE⊂平面EBD， 所以平面PA1C∥平面EBD. [13题6分，14题5分，共11分] 13.(链接教材，人教A版必修第二册P145习题8.5T15)(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，水是定量的(定体积为V)，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　) A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.棱A1D1总与水面所在的平面平行 D.当容器倾斜如图所示时，BE·BF= 【答案】ACD 【解析】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形， 对于A，依题意，BC∥平面EFGH，而平面BCC1B1∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BCC1B1，则BC∥FG，同理BC∥EH，而BC∥AD，则BC綉FG綉EH綉AD，又BC⊥平面ABB1A1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以BC⊥平面CDD1C1，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B，水面EFGH是矩形，线段FG的长是定值，从图1到图2，再到图3的过程中，线段EF的长逐渐增大，则水面EFGH所在四边形的面积逐渐增大，故B错误； 对于C，因为A1D1∥BC∥FG，FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，因此A1D1∥平面EFGH， 即棱A1D1总是与水面所在的平面平行，故C正确； 对于D，当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为BC，体积为V， 又S△BEF=BE·BF，V=S△BEF·BC，所以BE·BF=，故D正确. 14.如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE，若D，E分别是AB，BC的中点，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】平面A1C1ED与棱BB1平行，平面BCC1B1∩平面A1C1ED=C1E，平面ABB1A1∩平面A1C1ED=A1D， 所以BB1∥A1D，BB1∥C1E， 因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1C1∩平面A1C1ED=A1C1，平面ABC∩平面A1C1ED=DE，所以A1C1∥DE， 故几何体A1B1C1-DBE为棱柱，设棱柱的高为h， 故=S△DBE·h， 且S△DBE=， 又D，E分别是AB，BC的中点， 则S△ABC=4S△DBE， 由台体体积公式得(S△DBE+S△ABC+)h=S△DBE·h， 故=. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章立体几何与空间向量 §7.4　空间直线、平面的平行 【高考考向预测】 空间线面平行依托判定与性质定理推理论证，常结合几何体计算综合考查；近三年属于立体几何常规高频考点，大小题型均有涉及；预测2027 年仍以证明类设问为主，搭配翻折、动点场景，兼顾几何推理与向量方法运用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(　 　) (2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　 　) (3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　 　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.(　 　) 2.(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(2))如果直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线(　　) A.只有一条，不在平面α内 B.有无数条，不一定在α内 C.只有一条，且在平面α内 D.有无数条，一定在α内 3.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是(　　) A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若m∥n，m∥α，则n∥α D.若α∥β，m⊂α，则m∥β 4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为　　　　　　　　. 【核心梳理●明考点】 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 1.掌握三种平行关系的转化 2.灵活应用以下结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b. (4)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 【题型突破●明方向】 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 例1　(湘教版必修第二册P171习题4.3T17)如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在对角线AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ.求证：PQ∥平面BCE.(至少用两种方法证明) 命题点2　直线与平面平行的性质 例2　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH. 跟踪训练1　如图，四边形ABCD为矩形，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.证明： (1)DF∥平面PBE； (2)DF∥l. 题型二　平面与平面平行的判定与性质 例3　(2025·上海)如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2. (1)若直线PA与圆锥底面所成的角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C，D在底面圆周上，且弧AC的长为，CD∥AB.设点M在线段OC上，证明：直线QM∥平面PBD. 跟踪训练2　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合). (1)求证：BC∥GH； (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 题型三　平行关系的综合应用 例4　如图所示，正四棱锥S-ABCD，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD. (1)若M为侧棱SA上一点，且SC∥平面BMD，证明：M为SA的中点； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 跟踪训练3　如图，在三棱锥D-ABC中，E，M分别为BC，BD的中点，点F在棱AC上，且AF=3FC，点N在棱AC上，且CN=CA，在棱BC上是否存在一点G，使平面MNG∥平面DEF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　) A.α内的所有直线都与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内的直线都与a相交 D.直线a与平面α有公共点 2.已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且α∩γ=m，β∩γ=n，则“m∥n”是“α∥β”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知l，m，n为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面.若α∩β=n，α∩γ=l，β∩γ=m，n∥γ，则(　　) A.l与n相交 B.m与n相交 C.l与m平行 D.l与β相交 4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别是A'D'，D'C'的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.无法确定 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若平面A1BC1与平面ABCD的交线为l，则(　　) A.l∥CD B.l∥A1C C.l∥平面A1B1CD D.l∥平面ACD1 6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，且=λ，PC∥平面BEF，则实数λ的值为(　　) A. B.2 C. D.3 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2026·淄博模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是(　　) A.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n B.若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n C.若m∥n，n⊂α，α∥β，则m∥β D.若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ 8.(2026·重庆模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，N是侧面BB1C1C内一点，且MN∥平面AA1C1C，则MN长度的取值可以是(　　) A. B. C. D. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.如图所示，在三棱锥D-ABC中，E，F，G，H分别在棱BD，BC，AC，AD上，CD，AB均与平面EFGH平行，且CD⊥AB，则四边形EFGH的形状为　　　　　　. 10.(2026·泰安模拟)已知平面α∥β，点P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=10，则BD=　　　　　. 四、解答题(共27分) 11.(13分)(湘教版必修第二册P160例7)如图，点A，B分别位于异面直线a，b上，过AB中点O的平面α与a，b都平行，M，N分别是a，b上异于A，B的另外两点，MN与α交于点P.求证：P是MN的中点. 12.(14分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3. (1)求三棱锥A-BDE的体积；(5分) (2)在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，请说明P点位置并证明；如果不存在，请说明理由.(9分) [13题6分，14题5分，共11分] 13.(链接教材，人教A版必修第二册P145习题8.5T15)(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，水是定量的(定体积为V)，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　) A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.棱A1D1总与水面所在的平面平行 D.当容器倾斜如图所示时，BE·BF= 14.如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE，若D，E分别是AB，BC的中点，则等于(　　) A. B. C. D. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $