05空间直线、平面的垂直讲义——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间直线与平面垂直核心考点，涵盖定义、判定与性质定理及线面、面面垂直转化，以知识梳理构建体系，通过回归教材例题夯实基础，结合考点分析与方法指导，辅以分层真题训练，帮助学生系统突破立体几何难点。 资料突出回归教材与素养导向，如通过正方体中面面垂直证明等教材例题，培养学生空间观念与逻辑推理能力。设置线面垂直判定、面面垂直性质等专题突破策略，配合基础到综合的跟踪练习，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——05 空间直线、平面的垂直 知识梳理 1. 直线和平面垂直的定义 直线 与平面 内的任意一条直线都垂直,就说直线 与平面 互相垂直 2. 直线与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中, 有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 3. 平面与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线, 则这两个平面互相垂直 性质定理 两个平面互相垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 4．直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条． (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 5．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 6.三种垂直关系的转化 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.2节练习第2题P152】如图，四棱锥的底面是正方形，平面．求证：平面. 【人教A版必修二第8.6.3节例7】如图所示，在正方体中，求证：平面平面. 【人教A版必修二第8.6.3节例8】如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点．求证：平面平面． 【人教A版必修二第8.6.3节练习第4题P158页】如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面. 【人教A版必修二第8.6.3节例10】如图,已知平面，平面平面，求证：平面. 【人教A版必修二习题8.6第4题】如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证： （1）； （2）； （3）. 【人教A版必修二习题8.6第5题】如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：. 【人教A版必修二习题8.6第8题】求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直. 【人教A版必修二习题8.6第20题】如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由. 【人教A版必修二习题8.6第21题】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由. 【人教A版必修二复习参考题8第12题】如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 考点梳理： 考点一、线面垂直的判定与性质 例、在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2， 求证：AB⊥平面ADE. 例、如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. 小结： 1．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用直线与平面垂直的性质． 2．证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理，它是最常用的方法． (2)利用线面垂直的性质：若两条平行线之一垂直于某平面，则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质 ①两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面； ②若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． 考点二、面面垂直的判定与性质 例、 （多选）如图，在五面体ABCDFE中，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD与四边形ABEF全等，且AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，则下列说法正确的是(　　) A．AD⊥BE B．若G为棱CE的中点，则DF⊥平面ABG C．若AD＝CD，则平面ADE⊥平面BDE D．若AE＝，则平面ADE⊥平面BCE 例、在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE. (1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积； (2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE. 小结： 平面与平面垂直的证明方法 定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直转化为证明平面角为直角 定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直 【注意】在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后转化为面面垂直. 跟踪练习： 1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 2．（2026·黑龙江吉林·一模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4、如图，是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且 圆柱的底面，则下列结论正确的是( B ). A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 5．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　) A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 6．（2026·天津和平·一模）在正三棱柱中，为的中点，则以下结论错误的是（   ） A．面 B． C．面 D．平面 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 8．【人教A版必修二复习参考题8第16题】已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（    ） A．， B．与相交，且交线平行于 C．， D．与相交，且交线垂直于 9．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C． D．平面平面 10．（多选）（2026·广东深圳·一模）在正三棱台中，为的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 11．（多选）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 12．（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则下图中满足MN⊥OP的是(　　) 13．（多选）（2026·广东肇庆·二模）在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（    ） A．当为的中点时，存在点，使得平面 B．当为的中点时，存在点，使得平面平面 C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得 14．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面ABCD，，点M是SD的中点，且交SC于点N. (1)求证：平面ACM；(2)求证：；(3)求证：平面平面AMN. 15．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：．(2)证明：平面平面． 16、如图，在四棱锥中，底面是菱形， ，为正三角形，且侧面 底面,，分别为线段，的中点. （1）求证：平面. （2）在棱上是否存在点，使得平面 平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 17、[2023·全国甲卷]如图，在三棱柱中， 平面, . （1）证明：平面 平面. （2）设,，求四棱锥的高. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——05 空间直线、平面的垂直 知识梳理 1. 直线和平面垂直的定义 直线 与平面 内的任意一条直线都垂直,就说直线 与平面 互相垂直 2. 直线与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中, 有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 3. 平面与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线, 则这两个平面互相垂直 性质定理 两个平面互相垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 4．直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条． (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 5．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 6.三种垂直关系的转化 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.2节练习第2题P152】如图，四棱锥的底面是正方形，平面．求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线； 【详解】因为四边形是正方形，所以，因为平面，平面， 所以,因为，且平面,所以平面。 【人教A版必修二第8.6.3节例7】如图所示，在正方体中，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】根据正方体性质，通过证明，,即可证明面面垂直. 【详解】证明：是正方体，平面，. 又,是平面内两条相交直线，平面，平面， ∴平面平面. 【点睛】此题考查面面垂直的证明，通过证明一个平面内的某条直线垂直于另一个平面证得. 【人教A版必修二第8.6.3节例8】如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】证明：因为平面,平面，所以. 又因为，,平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【人教A版必修二第8.6.3节练习第4题P158页】如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】根据定理先证明，得平面，即可得证面面垂直. 【详解】证明：∵在正三棱柱中，D为的中点，为正三角形，. 又在正三棱柱中，平面，平面，. ，平面，平面.平面. 平面，∴平面平面. 【点睛】此题考查面面垂直的证明，关键在于根据几何体特征，准确证明出线面垂直，即可证明面面垂直. 【人教A版必修二第8.6.3节例10】如图,已知平面，平面平面，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点A作，垂足为E，根据面面垂直的性质得平面，得出，根据平面得即可证明. 【详解】  证明：如图，过点A作，垂足为E. ∵平面平面，平面平面， 平面.平面，. 平面，平面，. 又，平面. 【点睛】此题考查面面垂直的性质应用，根据面面垂直得线面垂直，根据线面垂直得线线垂直，再证明线面垂直. 【人教A版必修二习题8.6第4题】如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）见解析；  （2）见解析；  （3）见解析. 【解析】（1）通过证明，，即可得证；（2）通过平行关系转化证明即可得证；（3）通过证明平面，证明. 【详解】证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、DP，∵P为的中点，. 又∵Q为的中点，，.∴四边形CDPQ为平行四边形，.又，D为AB的中点，. （2）∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC. ，由（1）知.又，. （3）由（1）（2）知，，而. 平面.平面，. 【点睛】此题考查线线垂直和线面垂直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目. 【人教A版必修二习题8.6第5题】如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】通过线面垂直证得，结合得平面POC，即可得证. 【详解】证明：底面ABC，底面ABC，.∵O在CD上,.又， 平面POC.平面POC，. 【点睛】此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直. 【人教A版必修二习题8.6第8题】求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直. 【答案】证明见解析 【分析】通过直角关系证明线面垂直再证明出面面垂直，即可得出结论. 【详解】已知：直线VA，VB，VC两两垂直，求证：平面VAB，平面VBC，平面VAC也两两垂直. 证明：如图所示， , 平面VBC.∵平面VC，∴平面平面VBC. 同理可得，平面平面VAB，平面平面VBC. 【点睛】此题考查线面垂直的证明，根据线线垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直. 【人教A版必修二习题8.6第20题】如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由. 【答案】直线DE与平面VBC垂直，理由见解析 【解析】先证明平面平面VBC，再根据面面垂直的性质证明AC与平面VBC垂直，即可得证. 【详解】直线DE与平面VBC垂直 理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角. 由AB是的直径，知.因此，平面平面VBC.由两个平面垂直的性质定理， 平面平面VBC，交线为VC，，平面VAC，可知直线AC与平面VBC垂直， 由D，E分别是VA，VC的中点，知， 所以直线DE与平面VBC垂直. 【点睛】此题考查面面垂直的证明和根据面面垂直的性质证明线面垂直，其中涉及利用三角形中位线得平行关系. 【人教A版必修二习题8.6第21题】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】垂直，证明见解析 【分析】根据图形特征证明平面PBC，即可证明平面AEF与平面PBC互相垂直. 【详解】解：垂直，证明如下：   底面ABCD，平面ABCD，，又底面ABCD为正方形，， 而.平面PAB平面PAB，.，E为PB的中点， .而,平面PBC.平面AEP，∴平面平面PBC. 【点睛】此题考查面面垂直的证明，涉及动平面与一个平面垂直的证明，关键在于证明直线与平面垂直，涉及直线与平面垂直的判定和性质的综合应用. 【人教A版必修二复习参考题8第12题】如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则，平面，， 又，平面，平面，平面. 平面.，同理，，平面. （2）连接，由，得，因此点H为的外心，又为正三角形，∴点H也是的重心. 考点梳理： 考点一、线面垂直的判定与性质 例、在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2， 求证：AB⊥平面ADE. 证明：因为在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，所以EF∥CD，CD⊥DE. 因为EF⊄平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. 因为EF⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB.又EF∥CD，所以CD∥AB. 因为CD＝4，AD＝2，AC＝2，所以AD2＋CD2＝AC2，所以CD⊥AD. 又CD⊥DE，AD∩DE＝D，AD，DE⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE.又CD∥AB，所以AB⊥平面ADE. 例、如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. 证明：(1)连接A1C1．∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1. ∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1. 又CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥平面A1C1C. 又A1C⊂平面A1C1C，∴A1C⊥B1D1. (2)连接AB1，AD1．∵B1C1綊AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1. ∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1. 又MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，∴MN⊥平面AB1D1. 易得A1C⊥AB1，由(1)知A1C⊥B1D1， 又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，∴A1C⊥平面AB1D1，∴MN∥A1C. 小结： 1．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用直线与平面垂直的性质． 2．证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理，它是最常用的方法． (2)利用线面垂直的性质：若两条平行线之一垂直于某平面，则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质 ①两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面； ②若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． 考点二、面面垂直的判定与性质 例、 （多选）如图，在五面体ABCDFE中，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD与四边形ABEF全等，且AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，则下列说法正确的是(　　) A．AD⊥BE B．若G为棱CE的中点，则DF⊥平面ABG C．若AD＝CD，则平面ADE⊥平面BDE D．若AE＝，则平面ADE⊥平面BCE 答案：ABC 解析：对于A，因为平面ABCD⊥平面ABEF，AB⊥AD，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面ABEF，因为BE⊂平面ABEF，所以AD⊥BE，故A正确；对于B，连接AC，如图1，因为四边形ABCD与四边形ABEF全等，所以BC＝BE，AC＝AE，因为G为棱CE的中点，所以BG⊥CE，AG⊥CE，因为BG∩AG＝G，BG，AG⊂平面ABG，所以CE⊥平面ABG，由题意知AB∥CD∥EF，CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，则DF⊥平面ABG，故B正确；对于C，如图1，由题意知AF＝AD＝CD，AF⊥EF，所以AE＝＝，又在直角梯形ABEF中， 易知BE＝，所以AE2＋BE2＝AB2，即BE⊥AE，由A项知BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，所以BE⊥平面ADE，又BE⊂平面BDE，所以平面ADE⊥平面BDE，故C正确；对于D，过点E作EH⊥AE交AB的延长线于点H，连接CH，如图2，由AE＝，EF＝1，得AF＝＝，所以BE＝＝，此时cos∠AEB＝＝＝<，所以60°<∠AEB<90°，故EH与BE不重合，因为AD⊥平面ABEF，EH⊂平面ABEF，所以AD⊥EH，又EH⊥AE，AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，所以EH⊥平面ADE，又EH⊂平面HCE，所以平面HCE⊥平面ADE，假设平面BCE⊥平面ADE，因为EH与BE不重合，所以平面HCE与平面BCE不重合，又平面HCE∩平面BCE＝CE，则CE⊥平面ADE，因为AD⊂平面ADE，所以CE⊥AD，又DF∥CE，所以DF⊥AD，这与AD⊥AF矛盾，所以假设不成立，故平面BCE与平面ADE不垂直，故D错误．故选ABC. 例、在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE. (1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积； (2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE. 解：(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE， 又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE， ∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P－BCDE的高．在等腰直角三角形PDE中， ∵PE＝PD＝AD＝2，∴PM＝DE＝， 而梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6， ∴四棱锥P－BCDE的体积V＝PM·S＝××6＝2. (2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN， ∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN， ∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE相交， ∴PM⊥平面BCDE，∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE. 小结： 平面与平面垂直的证明方法 定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直转化为证明平面角为直角 定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直 【注意】在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后转化为面面垂直. 跟踪练习： 1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 2．（2026·黑龙江吉林·一模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则或或l与相交，故A错误； 对于B，若，，则或或l与相交，故B错误； 对于C，若，，，则或或l与相交不垂直或l与垂直，故C错误； 对于D，若，，则，又因为，则，故D正确. 3．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理分别得出面面垂直即可求解. 【详解】因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，平面平面；因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 4、如图，是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且 圆柱的底面，则下列结论正确的是( B ). A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 答案：B [解析]因为是圆柱上底面的一条直径，所以， 又垂直于圆柱的底面，所以，因为， 平面， 平面， 所以 平面，因为 平面，所以平面 平面.故选. 5．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　) A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 答案：B 解析：连接AC1，∵BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过C1作C1H⊥平面ABC，则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．故选B. 6．（2026·天津和平·一模）在正三棱柱中，为的中点，则以下结论错误的是（   ） A．面 B． C．面 D．平面 【答案】D 【分析】根据面面平行的性质判断A的真假；根据线面垂直的性质判断B的真假；根据线面平行的判定定理判断C的真假；利用反证法判断D的真假. 【详解】如图： 对A：因为为正三棱柱，所以平面平面，平面，所以面.故A正确；对B：因为为正三棱柱，所以平面，平面，所以.因为是正三角形，且为中点，所以.平面，且，所以平面.平面，所以.故B正确； 对C：连接和，相交于点，因为为正三棱柱，所以为中点， 又因为为的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.故C正确；对D：假设平面，因为平面，所以.这需要四边形是正方形才可以.而条件中并无四边形是正方形，所以假设不成立，故D错误. 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 答案：A 解析：对于A，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，易知EF⊥BD，因为DD1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，则DD1⊥EF，又BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1，又因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，所以A正确；对于B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，则易知平面B1EF⊥平面A1BD不成立，所以B错误；对于C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC有公共点，从而C错误；对于D，连接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面A1C1D与平面B1EF不平行，所以D错误． 8．【人教A版必修二复习参考题8第16题】已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（    ） A．， B．与相交，且交线平行于 C．， D．与相交，且交线垂直于 【答案】B 【分析】假设得到矛盾，确定与相交，设，过直线一点，作， 设与确定的平面为，根据，得到答案. 【详解】若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾，故与相交，A错误；设，过直线一点，作，设与确定的平面为. 因为，所以，又，与相交，，所以，因为，所以，又，所以，因为，所以，，又与相交，，所以，又因为，，所以l与a不重合，所以，B正确，D错误；因为，，，所以，C错误.故选：B. 9．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】D 【分析】连接，，根据线面平行的判定定理判断A，利用三角形的中位线和平行关系判断B，根据线面垂直的判断定理和性质定理判断C，根据面面垂直的性质定理判断D. 【详解】连接，， 因为分别是和的中点，所以且，又因为垂直于平面，所以平面，B正确；因为平面，所以，又因为是正三角形，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，C正确；因为，垂直于平面，所以且，所以四边形是平行四边形，，又因为平面，平面，所以平面，A正确；由和为中点可知，假设平面平面，又平面，平面平面，则平面，因为平面，所以，又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，与是正三角形矛盾，所以平面与平面不垂直，D错误；故选：D. 10．（多选）（2026·广东深圳·一模）在正三棱台中，为的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥， 对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误； 对于B，由于平面平面，且平面，则平面，故B正确； 对于C，由于，且，则，又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误；对于D，由于，，且，，平面，则平面，故D正确. 11．（多选）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】BC 【分析】根据线面垂直的性质以及勾股定理求解选项A,B.根据面面垂直的性质以及勾股定理求解选项C,D. 【详解】连接，记，连接.若平面，则，则，，不符合题意，A错误，B正确. 菱形的边长为，设的中点为，连接，.在，中，分别有，.若平面平面，则，，.因为，所以存在点，使得平面平面，C正确，D错误. 12．（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则下图中满足MN⊥OP的是(　　) 答案：BC 解析：对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，若MN⊥OP，则AC⊥OP，显然不成立，故MN⊥OP不成立，故A错误；对于B，如图2所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN，由正方体SBCN－MADT可得SM⊥平面MADT，而OQ⊂平面MADT，故SM⊥OQ，而SM∩MT＝M，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而OP⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；对于D，如图4，取AB的中点K，连接AC，PK，OK，因为AC∥MN，若MN⊥OP，则AC⊥OP，又易知OK⊥平面ADCB，AC⊂平面ADCB，所以OK⊥AC，又OP∩OK＝O，OP，OK⊂平面POK，则AC⊥平面POK，因为PK⊂平面POK，所以AC⊥PK，显然不成立，故OP，MN不垂直，故D错误．故选BC. 　 　 13．（多选）（2026·广东肇庆·二模）在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（    ） A．当为的中点时，存在点，使得平面 B．当为的中点时，存在点，使得平面平面 C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得 【答案】ACD 【分析】A注意到当点与点重合时，，据此可判断；B取中点，连接与，由平面平面，平面与平面有一个公共点，可判断；C注意到，据此可判断；D以分别为轴建立空间直角坐标系，设2]，通过方程是否有解可判断. 【详解】对于A，如图1，当点与点重合时，平面平面，所以平面，正确；对于B，如图2，取中点，连接与，易证明平面平面，此时，平面与平面有一个公共点，且显然与平面不重合，所以不存在点使得平面与平面平行，错误；对于C，如图3，因为平面平面，所以，所以对任意给定的点，存在与点重合的点，使得，正确；对于D，如图4，以分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，设2]，则，假设，则，即，所以，因为，所以对于任意，存在使得成立，即对任意给定的点，存在点，使得，正确. 14．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面ABCD，，点M是SD的中点，且交SC于点N. (1)求证：平面ACM；(2)求证：；(3)求证：平面平面AMN. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）连结交于，连结，由的中位线定理，得，由此能证明结论； （2）由线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直的性质可证得结论； （3）由，，得平面，从而，由等腰三角形性质得，从而平面，进而，由证得面面垂直． 【详解】（1）连结交于，连结， 是正方形，是的中点．是的中点，是的中位线． ．又平面，平面，平面． （2）是正方形，，底面，底面，， 又平面，平面，平面， （3） 底面，底面，，由正方形可得， 又平面，平面，且平面，． 又，是的中点，．又平面，平面． 平面，．由已知，又平面， 平面．又平面，平面平面． 15．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：．(2)证明：平面平面． 【答案】(1)方法一：在正三棱柱中，平面，平面，所以．因为为正三角形，为的中点，所以．又因为，，平面，所以平面．因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面．因为是正三角形，为的中点，所以．因为平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以． (2)如图，连接，交于点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以且．又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，则．由（1）知平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面． 16、如图，在四棱锥中，底面是菱形， ，为正三角形，且侧面 底面,，分别为线段，的中点. （1）求证：平面. （2）在棱上是否存在点，使得平面 平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. [解析]（1）如图1，连接交于点.连接，因为四边形是菱形，所以为的中点.又因为为的中点，所以，又因为 平面, 平面，所以平面. （2）因为为正三角形，是的中点，所以, 又侧面 底面，平面 平面， 平面，所以 平面， 如图2，连接，取的中点，连接，则是的中位线，所以，所以 平面， 连接，并延长交于点，连接,又 平面，所以平面 平面. 因为，所以,， 又因为，所以，所以， 故棱上存在点，使得平面 平面，. 17、[2023·全国甲卷]如图，在三棱柱中， 平面, . （1）证明：平面 平面. （2）设,，求四棱锥的高. [解析]（1）因为 平面， 平面, 所以, 又因为 ，即， 平面, 平面，, 所以 平面，又因为 平面,所以平面 平面. （2）如图，过点作，垂足为. 因为平面 平面，平面 平面， 平面， 所以 平面，所以四棱锥的高为. 因为 平面， 平面, 平面,所以,, 又因为，为公共边，所以，所以. 设，则，所以为的中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以，所以四棱锥的高为1. 学科网（北京）股份有限公司 $