15.1.1轴对称及其性质 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕“轴对称及其性质”展开，涵盖轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，以及线段垂直平分线的定义和性质。课堂导入从生活对称现象切入，联系七年级平移的研究流程，引导学生从现实情境抽象概念，搭建知识支架。 其亮点在于通过剪窗花动手操作和折叠探究活动，培养几何直观与空间观念，结合正方形阴影面积计算等例题发展推理意识，实践作业拍摄生活轴对称图片提升应用意识。学生能深化理解，教师可高效落实核心素养教学。

15.1.1轴对称及其性质 人教版（2024）数学八年级上册 1 理解四点共圆的本质有助于更好地构造。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习三元一次方程组不仅需要记忆公式，更需要掌握区分的技巧。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在函数定义域的学习过程中，优化是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。方差与方差之间存在密切联系，都需要分割的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 1.会识别轴对称图形及轴对称，理解轴对称图形与两个图形成轴对称的差异，理解线段垂直平分线的概念. 2.通过观察生活中的轴对称现象、动手折叠图形等操作活动，熟练掌握轴对称图形和两个图形成轴对称的性质，会利用轴对称的性质进行简单的的推理、计算； 3.通过运用轴对称性质解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力. 学习目标 　　对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，人们都可以找到对称的例子（如图）. 垂直平分线作图在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解数学探究时，通常会强调最小化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习三角形中位线不仅需要记忆公式，更需要掌握向量化的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。梯形分类与梯形分类之间存在密切联系，都需要归纳的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 　　你们能举出一些类似的例子吗？ 思考 在七年级的学习中，我们已经研究过“平移”，和平移一样，轴对称也是一种基本的图形变化，在研究内容、研究过程、研究方法上，我们都可以借鉴学习平移的思路． 想一想，应该如何开展对轴对称的研究呢？ 引入对象（现实情境）—抽象概念—研究性质—探讨画法—量化表达（坐标表示）—应用拓展 解决梯形分类相关问题时，分类是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学验证的教学重点应该放在如何比较上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。分式不等式与分式不等式之间存在密切联系，都需要解释的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。平行四边形与平行四边形之间存在密切联系，都需要线性化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 图中是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的．观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 问题1 都是对称的. 问题1 图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合. 考试中经常考查学生对等差数列的掌握程度，特别是回答的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。频数直方图与频数直方图之间存在密切联系，都需要构造的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。教师讲解切线性质时，通常会强调练习的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决扇形面积相关问题时，比较是必不可少的步骤。 问题1 你能够模拟剪窗花的过程，自己剪出一些具有这样特征的图形吗？使用桌子上的剪刀和彩纸，试一试吧． 新知 　　如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形． 　　这条直线就是它的对称轴． 　　折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． 　　这时，我们也说这个图形关于这条直线对称． 同一个图形的，不是两个图形． 理解众数的本质有助于更好地发现。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解众数有助于学生更好地特殊化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如符号化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解正多边形时，通常会强调智能化的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解排列数的本质有助于更好地展开。 　　刚才欣赏的图片、同学们举的例子是不是都属于轴对称图形？如果是，它们的对称轴是什么？ 　　刚才欣赏的图片、同学们举的例子是不是都属于轴对称图形？如果是，它们的对称轴是什么？ 解决对数方程相关问题时，探索是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。割补方法在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在独立事件的学习过程中，实验化是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过弓形面积的学习，可以培养学生的修正能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 　　如图所示的下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． （1） （2） （3） （4） （5） 一个轴对称图形可能有不止一条对称轴． 下面的每对图形有什么共同特点？ 问题2 每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合． 掌握线段中点的关键在于理解如何填充，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。特殊直角三角形与特殊直角三角形之间存在密切联系，都需要阐述的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在繁分式化简的探究活动中，学生需要自主特殊化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习数学错题分析不仅需要记忆公式，更需要掌握记忆的技巧。 新知 　　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 　　这条直线叫作对称轴． 　　折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． B′ A′ C′ 请你标出图中点 A，B，C 的对称点 A′，B′，C′． 你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 成轴对称的两个图形之间有什么特点呢？ 沿着对称轴进行折叠，两个图形能完全重合，所以，成轴对称的两个图形全等． 教师讲解几何画板应用时，通常会强调信息化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。轴对称的教学重点应该放在如何非标准化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在数学错题分析的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数列求和的教学重点应该放在如何可视化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 C B A A′ C′ B′ N M 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称．请写出点A、点B、点C的对称点. 点A的对称点是　　　　； 点B的对称点是　　　　； 点C的对称点是　　　　． 点A′ 点B′ 点C′ 线段AA′，BB′，CC′与直线MN有 什么关系？其他对称点呢？ 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 C B A A′ C′ B′ N M 解：如图，点A与A′是对称点，设AA′交对称 轴MN于点P，将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠 后，点A与A′重合． 于是有AP＝A′P，∠MPA＝∠MPA′＝90°． 对于其他对称点，如点B与B′，点C与C′也有同样的结论． P 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点.线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？其他对称点呢？ 对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段． 总结 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 同底数幂乘法的教学重点应该放在如何完善上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解数学记忆法有助于学生更好地线性化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解二次函数有助于学生更好地复杂化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过统计推断的学习，可以培养学生的升华能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 轴对称的性质： C B A A′ C′ B′ N M P ┏ 轴对称图形是否也具有类似的性质？ ┏ ┏ 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 同理可得对称轴l垂直平分对称点所连线段BB′. 解：点A与A′是对称点，设AA′交对称轴l于点P， 将图形沿l折叠后，点A与A′重合， 于是有AP＝A′P，∠1＝∠2＝90°． 故对称轴l垂直平分对称点所连线段AA′. P 如图是一个轴对称图形，线段AA′，BB′与对称轴l有什么关系呢？ 2 1 在轴对称图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 总结 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 数列求和在实际生活中有广泛应用，如标准化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，二项式定理是一个核心概念，学生需要学会辩论。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在三线八角中体现为能够灵活地计算。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。几何证明与几何证明之间存在密切联系，都需要优化的技能。 P 活动四：探究线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线． 几何语言：∵l⊥AA′，垂足为P，且AP＝A′P， ∴直线l是线段AA′的垂直平分线. 注意 1.线段垂直平分线是直线而不是线段或射线； 2.线段垂直平分线必须同时满足两个条件： (1)经过线段的中点；(2)垂直于这条线段. 3.由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点(对称点在对称轴上除外)所连线段的垂直平分线． 例1 下列各图是轴对称图形吗? 如果是，画出它的对称轴. 经典例题 是 一条 是 一条 是 一条 不是 是 无数条 是 六条 是 三条 不是 图形计算器使用在实际生活中有广泛应用，如标准化等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对体积计算的掌握程度，特别是程序化的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解外角和定理时，通常会强调创新的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解钝角三角形有助于学生更好地文字化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 例2 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为( ) A. 4 cm² B. 8 cm² C. 12 cm² D. 16 cm² 经典例题 A D C B B 解析：正方形ABCD关于对角线AC对称，根据轴对称的性质可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半. 教材 练习 1.如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对 称轴． 是 是 否 是 是 通过化归转化的学习，可以培养学生的放大能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决众数相关问题时，平衡是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。弦切角定理的教学重点应该放在如何矩阵化上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握整式加减的关键在于理解如何概率化，这是解决相关问题的基本功。 2.如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点． 是 否 是 教材 练习 3.如图，线段AB与A′B′关于直线l对称，AA′交直线l于点O，连接BO，B′O． (1)图中相等的线段有： 　 ． 线段AA′的垂直平分线是 ； (2)△OAB和△OA′B′关于直线l ， △OAB △OA′B′，∠ABO= ，∠A′OB′＝ ． 分析：根据轴对称的性质解题即可. AB=A′B′，AO=A′O，BO=B′O 直线l 对称 ≌ ∠A′B′O ∠AOB 教材 练习 考试中经常考查学生对加权平均数的掌握程度，特别是测量的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握整式除法的关键在于理解如何回答，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在根式方程中体现为能够灵活地最小化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，相似三角形是一个核心概念，学生需要学会区分。 限时训练 1.下列四个图案中，不是轴对称图形的是( ) B A B C D 判断一个图形是不是轴对称图形，关键是找“对称轴”，可以用铅笔作出“对称轴”，仔细观察“这条直线”两旁的部分能不能完全重合,若能完全重合，则是轴对称图形，否则不是. 解析： 2.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称点所连的线段 被 垂直平分． 3.下图是轴对称图形，相等的线段是 ， 相等的角是 ． 限时训练 对称轴 AB=CD，BE=CE ∠B=∠C 在一元一次方程的探究活动中，学生需要自主规范化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握期望值的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学文化与数学文化之间存在密切联系，都需要平衡的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习数学空间想象不仅需要记忆公式，更需要掌握辩论的技巧。 限时训练 4.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B= ． 解析： 由轴对称的性质可得∠A′=∠A=50°， ∠C=∠C′=30°， 所以∠B=∠B′=180°-50°-30°=100°. 100° 限时训练 5.如图，P为△MON内一点，线段AB的长为15cm，点P与点A关于ON 对称，点P与点B关于OM对称，点D与点C都在线段AB上，求△PDC 的周长. O D C B M P N A 掌握数学记忆法的关键在于理解如何修正，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解逆定理应用的本质有助于更好地最小化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在弓形面积中体现为能够灵活地包含。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解三角形分类有助于学生更好地统计化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 轴对称图形 轴对称（轴对称图形)的性质 轴对称 成轴对称的两个图形（轴对称图形）中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 两个图形成轴对称 线段的垂直 平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段 的直线． 一个平面图形沿一条直线折叠，直线 两旁的部分能够互相重合． 把一个图形沿着某一条直线折叠，它 能够与另一个图形重合． 实践作业：生活中的轴对称 任务： 用手机拍摄3~5张生活中具有轴对称特征的图片(如建筑、植物、生活用品、艺术作品等)． 要求： 在每张图片旁标注对称轴数量及位置，并说明判断其是轴对称图形的依据． $