15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定-课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆关系，通过“快递收发点位置”情境引入，引导学生从生活问题猜想性质，经证明得出定理，再通过逆命题探究判定，构建“性质-判定-互逆”的知识支架。 其亮点在于以情境培养数学眼光，如“抢凳子游戏”抽象为外心应用，通过猜想证明发展推理思维，典例与分层习题强化数学语言表达。帮助学生提升逻辑推理能力，为教师提供系统教学资源和高效教学支持。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 15.1.2.1线段的垂直平分线的性质 与判定 第十五章 轴对称 人教版八年级上册15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定同步练习题 知识点核心：线段垂直平分线的定义、性质定理（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、判定定理（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）、性质与判定的互逆关系、利用定理进行线段计算与几何证明、多点共线与垂直平分线综合推理 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 线段垂直平分线的性质正确的是（） A. 垂直平分线上的点到线段两端距离相等 B. 垂直平分线上的点到线段中点距离相等 C. 垂直平分线平分线段的角度 D. 垂直平分线与线段互相平行 2. 已知直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，若PA=6cm，则PB的长为（） A. 3cm B. 6cm C. 12cm D. 无法确定 3. 若一点到线段AB两端点的距离相等，则该点一定在（） A. AB的上方 B. AB的下方 C. AB的垂直平分线上 D. AB所在直线上 4. 下列说法能判定直线是线段垂直平分线的是（） A. 直线与线段垂直 B. 直线平分线段 C. 直线垂直且平分线段 D. 直线经过线段中点 5. 在△ABC中，若PA=PB，则点P在（） A. AB边上 B. AB的垂直平分线上 C. ∠A的平分线上 D. BC的中点 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。 2. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 3. 若直线MN垂直平分AB，则MA=________，MN与AB的位置关系是________。 4. 三角形________的点到三角形三个顶点的距离相等。 5. 已知点P在AB垂直平分线上，AB=8cm，则PA与PB的数量关系是________。 三、解答题（共60分） 1.（15分）辨析填空：（1）点在垂直平分线上→________（性质）；（2）点到两端距离相等→________（判定）。 2.（15分）已知直线l垂直平分线段AB，点P、Q在直线l上，求证：PA=PB，QA=QB。 3.（15分）已知在△ABC中，AB=AC，点P满足PB=PC，求证：直线AP垂直平分BC。 4.（15分）如图，线段AB的垂直平分线为MN，交AB于点O，若PA=9，求PB的长度，并说明理由。 参考答案与解析 一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 解析：线段垂直平分线核心考点区分：性质是“知线得等边”，判定是“知等边得线”，二者互为逆定理；仅垂直或仅平分都不能判定为垂直平分线，必须同时满足垂直且平分。 二、填空题：1.两个端点 2.垂直平分线 3.MB、互相垂直 4.三边垂直平分线交点 5.PA=PB 解析：三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等，是垂直平分线判定定理的重要综合应用。 三、解答题：1.（1）点到线段两端距离相等；（2）点在这条线段的垂直平分线上。 2. 证明：∵直线l垂直平分AB，P、Q在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等，∴PA=PB，QA=QB。 3. 证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上。又∵PB=PC，∴点P在BC的垂直平分线上。两点确定一条直线，故直线AP垂直平分BC。 4. 解：PB=9。理由：MN是AB的垂直平分线，点P在MN上，由垂直平分线性质可得，点P到A、B两端点距离相等，即PB=PA=9。 通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题 学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力. 了解互逆命题，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 情境引入 QING JING YIN RU 如图所示，某快递公司为方便居民收取快递，准备在幸福大道上修建一个快递收发点，请问快递收发点应建在什么地方，才能使A,B到它的距离相等? 居民区A · 居民区B · 幸福大道 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系. A B l P1 P2 P3 APi的长 BPi的长 P1 P2 P3 ... 猜想：AP=BP. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 探究 你能证明以上猜想吗？ 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上． 求证：PA = PB． 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 又 AC = CB，PC = PC， ∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB． P A B l C 线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 当点P与点C重合时，结论还成立吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 根据其性质能得出什么结论？ 　解：∵　AD⊥BC，BD =DC， ∴　AD 是BC 的垂直平分线， ∴　AB =AC． ∵　点C 在AE 的垂直平分线上， ∴　AC =CE． 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ A B C D E 　∴　AB =AC =CE． ∵　AB =CE，BD =DC， ∴　AB +BD =CD +CE． 即　AB +BD =DE ． AD+DE+AE 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 于E，求△ADE 的周长． A B C D E 解：∵ DM为线段AB的垂直平分线， ∴DA =DB． 同理可得EA=EC ∴△ADE的周长=AD+DE+AE =BD+DE+EC =BC =8. M 1. 如图，在四边形中，垂直平分 ， 垂足为 ，下列结论不一定成立的是( ) C A. B. 平分 C. D. 返回 中考考法 8 2. 下列说法中错误的个数是( ) ①任何一个命题都有逆命题； ②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题； ③任何一个定理都有逆定理； ④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题. B A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 返回 中考考法 9 你能得出什么结论？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O. OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段， 试说明它们的大小有什么关系． A B C D E F O 解： ∵ AB、CD 互相垂直平分， ∴ OC＝OD，OA＝OB，且 AB⊥CD， ∴ABCD为菱形，∴ AC＝AD， 在△AOC 和△AOD 中， ∵ AC＝AD，AO＝AO，OC＝OD， ∴△AOC≌△AOD (SSS). ∴∠CAO＝∠DAO. 又∵ OE⊥AC，OF⊥AD，∴ OE＝OF. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ P A B 已知：如图，PA = PB． 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C． 则∠PCA =∠PCB = 90°． 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC = BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． C 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 作用： 判定定理： 想一想线段垂直平分线的判定 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 △ABC 中，AB =AC,D 在AB边上，M 在线段AD上，且MB =MC, 求证：DB =DC． A B C D M 证明： ∵ AB = AC，MB = MC， ∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线， ∵D在直线AM 上， ∴ DB=DC. 需要证明哪几组线段相等？ 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E. 求证：直线AD是CE的垂直平分线． 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上； 在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD， CD＝ ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE， ∴点A也在CE的垂直平分线上， ∴直线AD是CE的垂直平分线． 是否有全等三角形？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，试说明 AD 与 EF 的关系. 解：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°. 又∵ AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF. ∴ AE＝AF，DE＝DF. ∴ A、D 均在线段 EF 的垂直平分线上， 即直线 AD 垂直平分线段 EF. A B C D E F 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系? 你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 互逆命题 这两个命题的题设、结论正好相反. 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 你还能举出类似的例子吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 下列命题中：①相等的角是对顶角；②直角三角形两个锐角互余； ③如果,那么；④如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等．逆命题是真命题的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：命题①的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真； 命题②的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为90°，则第三个角为90°，故三角形为直角三角形，逆命题为真； 命题③的逆命题：“若则”，绝对值相等时，a与b可能相等或互为相反数，逆命题为假； 命题④的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假； 综上，逆命题为真的有2个， 故选：B. 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． (1)请写出该命题的逆命题； (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． （1）解：逆命题：如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行． （2）解：已知：如图，直线 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 1+3+= 3. ［2025无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他 们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为 三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的 位置是在三角形的( ) B A. 三边中线的交点处 B. 三边垂直平分线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边上高的交点处 返回 中考考法 22 （第4题） 4. 如图，在中， ， 为内一点，过点的直线 分别交 ，于点，，若在 的垂直平 分线上，在 的垂直平分线上，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 中考考法 23 （第4题） 【点拨】 ， ， ， ， . 在的垂直平分线上，在 的垂直 平分线上，，， 中考考法 24 ， ， . （第4题） 返回 中考考法 （第5题） 5.母题教材P70习题 如图，在 中， 的垂直平分线交于点，若 的周 长为5，，则边 的长的取值范围为 ____________. 中考考法 26 （第5题） 【点拨】的周长为5， ， ， 的垂直平分线交 于点 ， ， .由三角形的三边关系得 ，，即边 的长的取值范围为 . 返回 中考考法 27 6.如图，在中， ， 平分，交于点， 于点，连接 . （1）求证： ； 【证明】平分， ， ， ， . 又， . 中考考法 28 （2）求证：垂直平分 ； 【证明】， . 又，垂直平分 . 中考考法 29 （3）若的周长为24，，求 的周长. 中考考法 30 【解】由（2）得 . ， 的周长 . 的周长为24， ，即 ， ， 的周长为8. 返回 中考考法 31 7. 如图， 是线段 的垂直平分线，点在外，且与 点在的同一侧，连接交于点 ， 连接 ，则( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 32 （第8题） 8. 如图，线段， 的垂直平分线 ，相交于点.若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 33 【点拨】连接，并延长到 ，如图. ，， . ,分别为， 的垂直平分线， ，易证得 ， ， ， ， ， .故选B. 返回 中考考法 34 （第9题） 9. 如图，在中，点在边 上，连 接，且，，直线 是边 的垂直平分线.若点在直线 上运动， 连接，，则 周长的最小值为 ( ) C A. 8 B. 16 C. 18 D. 20 中考考法 35 【点拨】如图，连接 ， 是的垂直平分线，在 上运动， 要想的周长最小，即的值最小， 当 , ,三点共线时， 的值最小，此时 ， 周长的最小值为 . ，的周长 ， 返回 中考考法 36 课堂小结 QING JING YIN RU 性质 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 见垂直平分线，得线段相等 线段的垂直平分线 判定 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 命题 互逆命题 互逆定理 $