课时三十一 指数函数的图象和性质(二) 同步练-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦指数函数图象与性质，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义域、单调性判断|选择题1-5直接考查概念辨析，夯实基础| |中档|奇偶性、复合函数|填空题结合单调性与奇偶性，提升综合应用| |拔高|含参不等式、新定义|解答题15以“局部奇函数”为情境，培养创新意识与推理能力|

课时三十一　指数函数的图象和性质(二) 课后练习 一、选择题 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] 2.函数y=的单调递增区间为(　　) A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1) 3.关于函数f(x)=的单调性的叙述正确的是(　　) A.f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是增函数 B.f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 C.f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增 D.f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减 4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 5.设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式一定成立的是(　　) A.3c<3b B.3c>3b C.3c+3a>2 D.3c+3a<2 6.若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) 7．若不等式2x2＋1≤()x-2的解集是函数y＝2x的定义域，则函数y＝2x的值域是(　　) A． B． C． D．[2，＋∞) 8．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”．已知f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1，0) D．(－∞，1] 二、填空题 9.函数f(x)=的单调递减区间是　　　　　.  10.若关于x的方程2x-a+1=0有负根,则a的取值范围是　　　　　.  11．函数y＝()－|x|+1的单调递增区间为________；奇偶性为________(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”). 三、解答题 12.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,求不等式f(x)<-的解集. 13．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝2x＋，f(1)＝. (1)求实数a的值； (2)用定义法证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)求函数f(x)在[－1，2]上的值域． 14.已知函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0,且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数g(x)=,试判断函数g(x)的奇偶性并给出证明. 15．已知函数f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若关于x的不等式f(9ax2－2x－1)＋f(1－3ax-2)<0只有一个正整数解，求实数a的取值范围． 课时三十一　指数函数的图象和性质(二) 课后练习（答案） 一、选择题 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] 解析:由题意可知自变量x应满足解得-3<x≤0,故所求定义域为(-3,0]. 答案:A 2.函数y=的单调递增区间为(　　) A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1) 解析:令u(x)=1-x,则u(x)在R上是减函数.又y=与y=u(x)的单调性完全相反,所以y=在(-∞,+∞)上是增函数. 答案:A 3.关于函数f(x)=的单调性的叙述正确的是(　　) A.f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是增函数 B.f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 C.f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增 D.f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减 解析:因为底数∈(0,1),所以函数f(x)=的单调性与y=的单调性完全相反.因为y=在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增. 答案:C 4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 解析:由f(1)=得a2=.所以a=a=-舍去,即f(x)=.因为y=|2x-4|在区间(-∞,2]上单调递减,在区间[2,+∞)内单调递增,所以f(x)在区间(-∞,2]上单调递增,在区间[2,+∞)内单调递减. 答案:B 5.设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式一定成立的是(　　) A.3c<3b B.3c>3b C.3c+3a>2 D.3c+3a<2 解析:画出f(x)=|3x-1|的图象如右. 由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)可知c,b,a不在同一个单调区间上.故有c<0,a>0. 所以f(c)=1-3c,f(a)=3a-1.又因为f(c)>f(a),所以1-3c>3a-1,即3c+3a<2. 答案:D 6.若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) 解析:由题意知f(x)=-f(-x),即=-. 所以(1-a)(2x+1)=0,解得a=1, 所以f(x)=. 由f(x)=>3,得1<2x<2,即20<2x<21.因为y=2x在R上单调递增,所以0<x<1. 答案:C 7．若不等式2x2＋1≤()x-2的解集是函数y＝2x的定义域，则函数y＝2x的值域是(　　) A． B． C． D．[2，＋∞) 解析：由2x2＋1≤()x-2得2x2＋1≤2-2x+4，即x2＋1≤－2x＋4，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的定义域为[－3，1].由于函数y＝2x在R上单调递增，故当x＝－3时取得最小值，当x＝1时取得最大值2，所以函数的值域为.故选B. 答案：B 8．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”．已知f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1，0) D．(－∞，1] 解析：因为f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”， 所以存在实数x0，使得－ae－x0－1＝aex0＋1， 所以方程－ae－x－1＝aex＋1在R上有解， 所以方程＝a在R上有解， 又ex＋e－x＝ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立， 所以－1≤a<0， 所以a的取值范围是[－1，0). 答案：C 二、填空题 9.函数f(x)=的单调递减区间是　　　　　.  解析:函数f(x)由f(t)=与t(x)=x2-4x-5复合而成,其中f(t)=在定义域上是减函数,t(x)=x2-4x-5在区间(-∞,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增. 由复合函数的单调性可知,函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞). 答案:(2,+∞) 10.若关于x的方程2x-a+1=0有负根,则a的取值范围是　　　　　.  解析:因为2x=a-1有负根,所以x<0.所以0<2x<1.所以0<a-1<1,即1<a<2. 答案:(1,2) 11．函数y＝()－|x|+1的单调递增区间为________；奇偶性为________(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”). 解析：设u＝－|x|＋1，则y＝()u.易知u＝－|x|＋1的单调递减区间为[0，＋∞)，y＝()u是减函数， ∴y＝()－|x|+1的单调递增区间为[0，＋∞). ∵f(－x)＝()－|－x|+1＝()－|x|+1＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． 答案：[0，＋∞)　偶函数 三、解答题 12.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,求不等式f(x)<-的解集. 解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0. 当x=0时,f(0)=0<-不成立; 当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1. 由2x-1<-,即2x<2-1,得x<-1. 当x>0时,由1-2-x<-,即,得x∈⌀. 综上可知,不等式f(x)<-的解集为(-∞,-1). 13．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝2x＋，f(1)＝. (1)求实数a的值； (2)用定义法证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)求函数f(x)在[－1，2]上的值域． 解：(1)由题意得f(1)＝2＋＝，∴a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，∴f(x)＝2x＋，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝(2x1＋)－(2x2＋)＝(2x1－2x2)＋＝(2x1－2x2)·. ∵0<x1<x2，∴1<2x1<2x2，2x1＋x2>1， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (3)易得f(0)＝2，f(2)＝，f(－1)＝，f(x)在[－1，0]上为减函数，在[0，2]上为增函数， ∴f(x)的值域为. 14.已知函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0,且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数g(x)=,试判断函数g(x)的奇偶性并给出证明. 解:(1)由已知得解得 故f(x)==2x. (2)由(1)知g(x)=,可判断函数g(x)为奇函数. 证明:因为函数g(x)的定义域为R, 且g(-x)==-, 所以函数g(x)是奇函数. 15．已知函数f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若关于x的不等式f(9ax2－2x－1)＋f(1－3ax-2)<0只有一个正整数解，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＋f(－x)＝3x＋k·3－x＋3－x＋k·3x＝(k＋1)(3x＋3－x)＝0对一切实数x都成立．所以k＝－1. (2)易得f(x)为R上的增函数，又f(x)是奇函数， 所以由f(9ax2－2x－1)＋f(1－3ax-2)<0，可得9ax2－2x－1<3ax-2－1，即32ax2－4x<3ax-2，即2ax2－4x<ax－2，即(ax－2)(2x－1)<0. 当a≤0时，显然不符合题意； 当a>0时，由不等式只有一个正整数解，可知不等式的解集为(，)，且1<≤2，解得1≤a<2. 所以a的取值范围是[1，2). 学科网（北京）股份有限公司 $