7.2.2 第二课时 互斥事件的概率 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦互斥事件的概率，核心知识点为互斥事件与对立事件的概率加法公式。通过抛掷骰子、质量盘总质量等情境问题导入，引导学生观察事件能否同时发生，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接概率基础，为公式应用奠定基础。 其亮点在于以数学建模和数学运算为核心，通过射击环数、摸球颜色等典型例题及变式训练，强化公式应用。总结直接法与间接法（对立事件）解决“至少”“至多”问题的通性通法，培养学生逻辑思维。分层练习（A级基础、B级综合、C级拓展）助力教师落实差异化教学，提升学生解题能力与数学素养。

第二课时　互斥事件的概率 新课程标准解读 核心素养 通过实例，理解概率的性质，掌握互斥事件、 对立事件概率的运算法则 数学建模、 数学运算 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 【问题】　（1）抛掷一枚骰子，点数2朝上和点数3朝上可以同时发 生吗？ （2）在两个装有质量盘的不透明箱子中各随机地取出一个质量盘， “总质量至少20 kg”与“总质量不超过10 kg”能同时发生吗？ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　互斥事件的概率加法公式 1. 在一个试验中，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么有 P （ A ∪ B ）＝ .这一公式称为互斥事件的概率加法 公式. 2. 特别地， P （ A ∪ ）＝ P （ A ）＋ P （ ），即 P （ A ）＋ P （ ）＝1，所以 P （ ）＝ ⁠. P （ A ）＋ P （ B ）　 1－ P （ A ）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 一般地，如果事件 A1， A2，…， An 两两互斥，那么有 P （ A1∪ A2∪…∪ An ）＝ ⁠. 提醒　（1）运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事 件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做 到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结 果；（2）求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转 化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运 用公式求解.如果采用 P （ A1）＋ P （ A2）＋…＋ P （ An ）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗 漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现 错误；（3）求解“至多”“至少”型事件的概率时，若直接计 算符合条件的样本点的个数较烦琐，可先计算其对立事件的概 率，再求结果. 【想一想】 设事件 A 发生的概率为 P （ A ），事件 B 发生的概率为 P （ B ）， 那么事件 A ∪ B 发生的概率是 P （ A ）＋ P （ B ）吗？ 提示：不一定.当事件 A 与 B 互斥时， P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）；当事件 A 与 B 不互斥时， P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）－ P （ A ∩ B ）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） A ， B 为两个事件，则 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）. （　×　） （2）若事件 A ， B ， C 两两互斥，则 P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （ C ）＝1. （　×　） （3）如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P （ A ）＋ P （ B ）≤1. （　√　） × × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 事件 A 与 B 是对立事件，且 P （ A ）＝0.3，则 P （ B ）＝ ⁠. 解析： P （ B ）＝1－ P （ A ）＝0.7. 0.7　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 互斥事件与对立事件概率公式的应用 【例1】　一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环， 7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击 运动员在一次射击中： 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）射中10环或9环的概率； 解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射 中7环以下”的事件分别为 A ， B ， C ， D ， E ，可知它们彼此 之间互斥，且 P （ A ）＝0.24， P （ B ）＝0.28， P （ C ）＝ 0.19， P （ D ）＝0.16， P （ E ）＝0.13. P （射中10环或9环）＝ P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝ 0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）至少射中7环的概率. 解：事件“至少射中7环”与事件 E “射中7环以下”是对立事 件，则 P （至少射中7环）＝1－ P （ E ）＝1－0.13＝0.87.所以 至少射中7环的概率为0.87. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，求射中环数小于8环的概率. 解：事件“射中环数小于8环”包含事件 D “射中7环”与事件 E “射中7环以下”两个事件，则 P （射中环数小于8环）＝ P （ D ∪ E ）＝ P （ D ）＋ P （ E ）＝0.16＋0.13＝0.29. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件，变设问）某射击运动员在一次射击中，射中10环的概率 是射中9环的概率的2倍，运动员射中9环以下的概率为0.1，求运动 员在一次射击中，射中10环的概率. 解：设事件 A ， B ， C 分别表示“射中10环”“射中9环”“射中9 环以下”，则 ＝ A ∪ B ， 因为 P （ A ）＝2 P （ B ），所以 P （ ）＝ P （ A ∪ B ）＝ P （ A ） ＋ P （ B ）＝1－0.1＝0.9， 得3 P （ B ）＝0.9，所以 P （ B ）＝0.3， P （ A ）＝0.6. 即运动员在一次射击中，射中10环的概率为0.6. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 （1）确定各事件彼此互斥； （2）求各事件分别发生的概率，再求其和. 值得注意的是：（1）是公式使用的前提条件，不符合这点，是 不能运用互斥事件的概率加法公式的. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，求： （1）甲获胜的概率； 解：“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获 胜”的概率 P ＝1－ － ＝ .即甲获胜的概率是 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 法二　设事件 A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所 以 P （ A ）＝1－ ＝ .即甲不输的概率是 . （2）甲不输的概率. 解：法一　设事件 A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”和 “和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 P （ A ）＝ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 互斥事件与对立事件概率的综合问题 【例2】　一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白 球、1个绿球，从中随机取出1球，求： （1）取出1球是红球或黑球的概率； （2）取出1球是红球或黑球或白球的概率. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：记事件 A1＝{任取1球为红球}， A2＝{任取1球为黑球}， A3 ＝{任取1球为白球}， A4＝{任取1球为绿球}，则 P （ A1）＝ ， P （ A2）＝ ， P （ A3）＝ ， P （ A4）＝ . 根据题意知，事件 A1， A2， A3， A4彼此互斥， 目录 数学·必修第一册（BSD） 法一　由互斥事件的概率加法公式，得 （1）取出1球为红球或黑球的概率为 P （ A1＋ A2）＝ P （ A1）＋ P （ A2）＝ ＋ ＝ . （2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P （ A1＋ A2＋ A3）＝ P （ A1）＋ P （ A2）＋ P （ A3） ＝ ＋ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 法二　（1）取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿 球，即 A1＋ A2的对立事件为 A3＋ A4.所以取得1球为红球或黑球的概率 为 P （ A1＋ A2）＝1－ P （ A3＋ A4）＝1－ P （ A3）－ P （ A4）＝1－ － ＝ ＝ . （2） A1＋ A2＋ A3的对立事件为 A4，所以 P （ A1＋ A2＋ A3）＝1－ P （ A4）＝1－ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 求复杂互斥事件概率的2种方法 直接 法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 间接 法 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队 员不止参加了一支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名 队员，求： 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）该队员只属于一支球队的概率； 解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球 队”为事件 A ， B ， C . 由图知3支球队共有球员20名.则 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ， P （ C ）＝ . 令“抽取一名队员且该队员只属于一支球队”为事件 D . 则 D ＝ A ＋ B ＋ C ，∵事件 A ， B ， C 两两互斥， ∴ P （ D ）＝ P （ A ＋ B ＋ C ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （　C　） ＝ ＋ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）该队员最多属于两支球队的概率. 解：令“抽取一名队员且该队员最多属于两支球队”为事件 E ，则 为“抽取一名队员且该队员属于3支球队”， ∴ P （ E ）＝1－ P （ ）＝1－ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 概率与统计的综合应用问题 【例3】　为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分 别为5，6，7，8，9，10（单位：分）.规定评估的平均得分与全市的 总体交通状况等级如下表： 评估的平均得分/分 [0，6） [6，8） [8，10] 全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计我市的总体交通状况 等级； 解：6条道路的平均得分为 ×（5＋6＋7＋8＋9＋10）＝7.5 （分），所以该市的总体交通状况等级为合格. （2）用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组 成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值 不超过0.5的概率. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：设 A 表示事件“样本的平均数与总体的平均数之差的绝对 值不超过0.5”. 从6条道路中抽取2条的得分组成的样本空间为Ω＝{（5，6）， （5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7）， （6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9）， （7，10），（8，9），（8，10），（9，10）}，共15个样本 点，事件 A 包括的样本点为（5，9），（5，10），（6，8）， （6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共7个. 所以 P （ A ）＝ . 故该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　解决古典概型与统计交汇的综合问题时，把相关的知识转化为事 件，列举出样本空间，求出样本点的个数，然后利用古典概型的概率 计算公式进行计算. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某校从七年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩 （满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50）， [50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求图中实数 a 的值； 解：由已知，得10×（0.005＋0.010＋0.020＋ a ＋0.025＋ 0.010）＝1，解得 a ＝0.030. （2）若该校七年级共有学生640人，试估计该校七年级期中考试数学 成绩不低于60分的人数； 解：根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－ 10×（0.005＋0.010）＝0.85.由于该校七年级共有学生640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校七年级期中考试数 学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中 随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大 于10的概率. 解：易知成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，这2 人分别记为 A ， B ；成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1 ＝4，这4人分别记为 C ， D ， E ， F . 目录 数学·必修第一册（BSD） 若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选 取2名学生，则所有的样本点有（ A ， B ），（ A ， C ），（ A ， D ）， （ A ， E ），（ A ， F ），（ B ， C ），（ B ， D ），（ B ， E ）， （ B ， F ），（ C ， D ），（ C ， E ），（ C ， F ），（ D ， E ）， （ D ， F ），（ E ， F ），共15个. 目录 数学·必修第一册（BSD） 如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件 M ，则事件 M 包含的样本点有（ A ， B ），（ C ， D ），（ C ， E ），（ C ， F ），（ D ， E ），（ D ， F ），（ E ， F ），共7个，故所求概率 P （ M ）＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 已知随机事件 A 和 B 互斥，且 P （ A ∪ B ）＝0.5， P （ B ）＝0.3， 则 P （ ）＝（　　） A. 0.5 B. 0.2 C. 0.7 D. 0.8 解析：　∵ A 与 B 互斥，∴ P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）， ∴ P （ A ）＝0.5－0.3＝0.2，∴ P （ ）＝1－ P （ A ）＝1－0.2 ＝0.8. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. (2025·东坡期末) 已知事件A，B互斥，，且，则（　　） A. B.  C. D.  目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　因为事件A，B互斥，所以， 又因为，所以，故， 故答案为：D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球， 摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的 概率是（　　） A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7 解析：　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出 黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少 有1个白球的概率是（　　） A. 　　C. 　 D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　记3个红球分别为 a1， a2， a3，2个白球分别为 b1， b2，从3个红球、2个白球中任取3个，则样本空间Ω＝{（ a1， a2， a3），（ a1， a2， b1），（ a1， a2， b2），（ a1， a3， b1），（ a1， a3， b2），（ a1， b1， b2），（ a2， a3， b1），（ a2， a3， b2），（ a2， b1， b2），（ a3， b1， b2）}，共含10个样本点，样本点出现的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用事件 A 表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件 表示“所取的3个球中没有白球”，则事件 包含的样本点有1个（ a1， a2， a3），所以 P （ ）＝ .故 P （ A ）＝1－ P （ ）＝1－ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比 赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队 夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ⁠. 解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲 夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即 彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算，即中国队 夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ＋ ＝ . 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 解析：根据题意，事件，互斥，则. 故选：. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.( 2025秋·绿园区校级期中 ) 已知事件，互斥，且，，则＝（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若事件 A 和 B 是互斥事件，且 P （ A ）＝0.1，则 P （ B ）的取值范 围是（　　） A. [0，0.9] B. [0.1，0.9] C. （0，0.9] D. [0，1] 解析：　由于事件 A 和 B 是互斥事件，则 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ） ＋ P （ B ）＝0.1＋ P （ B ），又0≤ P （ A ＋ B ）≤1，所以0≤0.1 ＋ P （ B ）≤1，又 P （ B ）≥0，所以0≤ P （ B ）≤0.9，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A ＝“抽到一等品”，事件 B ＝“抽到二等品”，事件 C ＝“抽到三等品”.已知 P （ A ）＝ 0.65， P （ B ）＝0.2， P （ C ）＝0.1，则事件“抽到的不是一等 品”的概率为（　　） A. 0.20 B. 0.39 C. 0.35 D. 0.90 解析：　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而 P （ A ）＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. （2025秋·保亭县期中）某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖和三等奖三类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.2，中三等奖的概率为0.3，那么本次活动不中奖的概率为（　　） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 解析：根据题意可知，已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.2，中三等奖的概率为0.3， 由于中一等奖，中二等奖、中三等奖为两两互斥事件，故不中奖的概率为1 -（0.1 + 0.2 + 0.3）= 0.4．故选：A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 围棋盒子中有多颗黑子和白子，已知取出2颗都是黑子的概率为 ，取出2颗都是白子的概率是 ，则任意取出2颗恰好是同一色的 概率是 ⁠. 解析：设“取出2颗都是黑子”为事件 A ，“取出2颗都是白子”为 事件 B ，“任意取出2颗恰好是同一色”为事件 C ，则事件 C 即事 件 A ＋ B ，且事件 A 与事件 B 互斥，所以 P （ C ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝ ＋ ＝ ，即任意取出2颗恰好是同一色的概率为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 6. 某城市2023年的空气污染指数如下表所示： 污染指数 T 30 60 100 110 130 140 概率 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　所求概率为 ＋ ＋ ＝ .故选A. 其中污染指数 T ≤50时，空气质量为优；50＜ T ≤100时，空气质 量为良，100＜ T ≤150时，空气质量为轻微污染.该城市2023年空 气质量达到良或优的概率为（　　） A. C. 　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 7. 在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教 师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为 ，则参加 联欢会的教师共有 　　人. 120 解析：可设参加联欢会的教师共有 n 人，由于从这些教师中选一 人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所 以选中女教师的概率为1－ ＝ .再由题意，知 n － n ＝ 12，解得 n ＝120. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 8.（多选）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣 传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组： 第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组 [35，40），第5组[40，45]，得到 的频率分布直方图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广 场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介 绍宣传经验，则下列结论正确的是（　　） A. 应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为 0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10.因为第3， 4，5组共有60名志愿者，利用分层随机抽样的方法在60名志愿者 中抽取6名志愿者，抽样比为 ，所以应从第3，4，5组中分别抽 取3人，2人，1人，故A正确.记第3组的3名志愿者分别为 A1， A2， A3，第4组的2名志愿者分别为 B1， B2，第5组的1名志愿者为 C ，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的样本空间Ω＝{（ A1， A2），（ A1， A3），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， C ）， （ A2， A3），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2， C ），（ A3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） B1），（ A3， B2），（ A3， C ），（ B1， B2），（ B1， C ），（ B2， C ）}，共有15个样本点.第4组的2名志愿者恰有一人被抽中，所含的 样本点个数为8，所以第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为 ，故B 正确.第5组的志愿者恰好被抽中，所含的样本点个数为5，所以第5组 志愿者被抽中的概率为 ＝ ，故C正确.第3组志愿者至少有一人被 抽中，所含的样本点个数为12，所以第3组志愿者至少有一人被抽中 的概率为 ＝ ，故D不正确.综上，应选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $