精品解析：2022年徐州市东湖实验学校八年级上学期数学竞赛

2022年徐州市东湖实验学校八年级上学期数学 竞赛试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将自己的姓名、考试证号填写在本试卷和答题纸相应位置上． 3．考试答题全部答在答题纸上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将正确选项前的字母代号填在答题纸相应位置上．） 1. 已知直线l1：y＝﹣x+1，将直线l1向下平移a（a＞0）个单位，得到直线l2，设直线l2与直线y＝x的交点为P，若，则a的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，底边AB长为2的等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ） A. （1，﹣） B. （1，﹣1） C. （，﹣） D. （，﹣1） 3. 已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，…，均为正数，且满足，，则，的大小关系是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，的面积为1．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到．第二次操作：分别延长至点；使，，，顺次连接，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过（ ）次操作． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，已知点A（1，4），点B（3，5），在y轴上取一点C，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转90°到CD，连接AD，BD，则AD+BD的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为______． 8. 如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______． 9. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为________度． 10. 如图1是由两块形状相同的三角板拼成，已知，，点E是边上的动点，连结，将沿直线翻折，点C，D的对应点分别为N，M，当与的一边平行时，的度数为________． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝6，OC＝4，PC＝BC．将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，则第2019秒时，点P的坐标为_______． 12. 在平行四边形ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将ΔBCE沿BE翻折得ΔBGE，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为________． 13. 实验室里，水平圆桌面上有甲乙丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1:2:1，用两根相同的管子在容器的5cm高度处连接(即管子底端离容器底5cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示.若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位高度为cm，则开始注入________分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是cm. 14. 如图，在中，，以和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 _____． 三、解答题（本大题共8小题，共78分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 实数，，，满足，求的值． 16. 已知实数，满足：，且，求的值． 17. 如果一个四位自然数，它的千位加上百位等于十位加上个位且每个数位上的数字均不为零，我们称这个四位数为“欣欣向荣数”．我们把的千位和十位、千位和个位、百位和十位、百位和个位组成的四个两位数的和再除以的商记为，例如：四位数，，是“欣欣向荣数”，那么．一个四位数自然数是“欣欣向荣数”，它的个位与千位之和为且自然数能被整除，求出的值． 18. 如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． （1）当，且为直角三角形时，求的值； （2）当为等边三角形时，直接写出的值． 19. 在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，则称p为这k个点的“平面特征值”，记为．如：点点，则，如图，正方形的边在x轴上，交y轴于点E，已知O为的中点，点B的坐标为．点为y轴上一动点，过点F作直线轴，与直线、的交点记为P，Q，请直接写出以及相应的b的取值范围． 20. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合函数图像研究函数性质的过程．以下是我们研究函数的图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题． （1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象． x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 … y … -1 1 0 -1 1 （2）根据函数图像，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”． ①该函数的自变量的取值范围是x≠士2；（ ） ②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；（ ） ③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小；（ ） （3）已知函数 的图像如图所示，结合函数图像，请直接写出方程 的解；（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 21. 在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为和，则定义和中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为．例如：，因为；，而，所以． （1）点D是坐标轴上的一点，它与点的直角距离小分量，求出点D的坐标； （2）若点满足以下条件： a）点M在第一象限； b）点M与点的直角距离小分量； c），O为坐标原点． 请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______． 22. 背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． （1）如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （2）如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． （3）如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． （4）如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年徐州市东湖实验学校八年级上学期数学 竞赛试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将自己的姓名、考试证号填写在本试卷和答题纸相应位置上． 3．考试答题全部答在答题纸上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将正确选项前的字母代号填在答题纸相应位置上．） 1. 已知直线l1：y＝﹣x+1，将直线l1向下平移a（a＞0）个单位，得到直线l2，设直线l2与直线y＝x的交点为P，若，则a的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线平移的规律得到直线l2的解析式为，由此求出点P的坐标为（，），再根据得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵直线l1：y＝﹣x+1，将直线l1向下平移a（a＞0）个单位，得到直线l2， ∴直线l2的解析式为， 联立， 解得， ∴点P的坐标为（，） ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像的平移，两直线的交点坐标，两点之间的距离公式，求平方根的方法解方程等等，熟知相关知识是解题的关键． 2. 如图，底边AB长为2的等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ） A. （1，﹣） B. （1，﹣1） C. （，﹣） D. （，﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】A1B1交x轴于H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB=45°，再利用旋转的性质得A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°，则∠2=45°，于是可判断OH⊥A1B1，则根据等腰直角三角形的性质得到，然后写出点A1的坐标． 【详解】如解图，交x轴于H， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵绕原点O逆时针旋转45°得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是判断A1B1被x轴垂直平分． 3. 已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设，用表示出、、的值，再由，，为非负数即可求出的取值范围，把所求代数式用的形式表示出来，根据的取值范围即可求解． 【详解】解：设， 则，，， ；；， ；；； 解得；；； ， ，把，，，代入得： ， ， 解得，． 的最大值是；最小值是19， 最大值和最小值的和为：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是通过设参数的方法求出的取值范围． 4. 已知，，…，均为正数，且满足，，则，的大小关系是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，然后求出MN的值，再与0进行比较即可. 【详解】解：根据题意，设，， ∴， ∴； ； ∴ = =； ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小. 5. 如图，的面积为1．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到．第二次操作：分别延长至点；使，，，顺次连接，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过（ ）次操作． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等，求出、的面积，进而得出答案． 【详解】解：如图， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，， ∴， 同理可得，第二次操作后， 第三次操作后的面积为， 第四次操作后的面积为， 故按此规律，要使到的三角形的面积超过，至少要经过4次操作． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底同高的两个三角形的面积相等得出其规律是解本题的关键． 6. 如图，已知点A（1，4），点B（3，5），在y轴上取一点C，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转90°到CD，连接AD，BD，则AD+BD的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明点D的运动轨迹是直线y＝﹣x+3，作点A关于直线y＝﹣x+3的对称点M（﹣1，2），连接BM交直线y＝﹣x+3于D′，连接AD′，此时AD′+BD′的值最小，最小值为线段BM的长． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，设C（0，m）， 由题意A（1，4），线段CD是由线段CA顺时针旋转90°得到， 则， ∴，， ∴， ∴D（4﹣m，m﹣1）， 设4﹣m＝x，m﹣1＝y，可得y＝﹣x+3， ∴点D的运动轨迹是直线y＝﹣x+3， 作点A关于直线y＝﹣x+3的对称点M（﹣1，2），连接BM交直线y＝﹣x+3于D′，连接AD′，此时AD′+BD′的值最小，最小值为线段BM的长， ∵B（3，5），M（﹣1，2）， ∴BM＝＝5， ∴AD+BD的最小值为5， 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是分析出动点D的运动轨迹，然后利用轴对称的性质求出线段和的最小值． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 【详解】①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°； 如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D， AD在△ABC外部时，底角∠B==15°； ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，， ∴AD=BD=CD， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴底角∠B=45°， 综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 8. 如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______． 【答案】k＞2或k＜0且k≠﹣ 【解析】 【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论． 【详解】解：如图，设BC与y轴交于点M， ∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3， ∴E点不在AD边上， ∴k≠0， ①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上， 当点E在AB边且OE＝3时， 由勾股定理得， ∴AE＝， ∴E（1，）， 当直线y＝kx经过点（1，）时，k＝， ∵， ∴OB=＜5， 当点E在线段BM上时，OE＜OB=＜5， ∴k＞，符合题意； ②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上， 当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合； 当OE＝5时，由勾股定理得 ， ∴DE＝4， ∴E（﹣3，4），此时E与C重合， 当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=， 当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5， ∴k＜0且k，符合题意； 综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞或k＜0且k≠． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键． 9. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为________度． 【答案】110 【解析】 【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可 【详解】如图，连接OB、OC， ∵∠BAC=55°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO=∠BAC=×55°=27.5°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°-∠BAC）=×（180°-55°）=62.5°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=27.5°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=62.5°-27.5°=35°， ∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC， ∴OB=OC， ∴点O在BC的垂直平分线上， 又∵DO是AB的垂直平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴∠OCB=∠OBC=35°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE， ∴∠COE=∠OCB=35°， 在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-35°-35°=110°． 故答案为：110°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 10. 如图1是由两块形状相同的三角板拼成，已知，，点E是边上的动点，连结，将沿直线翻折，点C，D的对应点分别为N，M，当与的一边平行时，的度数为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是根据图形的变形分类讨论．先根据三角板的特征证明，再分，三种情况，分别求解． 【详解】解：∵， ∴， 当，如图， ， 可知点M在上， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴； 当，如图， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴； 当，如图， ∴ ∴， 由折叠可知：， ∴； 综上：的度数为或或， 故答案为：或或． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝6，OC＝4，PC＝BC．将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，则第2019秒时，点P的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，360°÷45°=8，8秒循环一次，因为2019÷8=252余数为3，推出第2019秒时，点P旋转到如图P′处，作C′E⊥OC于E，P′F⊥C′E，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，360°÷45°=8， ∴8秒循环一次， ∵2019÷8=252余数为3， ∴第2019秒时，点C旋转到如图C′处，点P旋转到如图P′处，作C′E⊥OC于E，P′F⊥C′E，由题意P′C′F，OEC′都是等腰直角三角形， ∴OE=C′E=×4=2，P′F=C′F=×2=， ∴P′（，-3）， 故填：（，-3）． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 12. 在平行四边形ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将ΔBCE沿BE翻折得ΔBGE，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值． 【详解】解：如图，GF⊥AB于点F， ∵点E是CD边上的中点， ∴CE=DE=2， 由折叠可知： ∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2， ∵在▱ABCD中，BC=AD=3，BCAD， ∴∠D+∠C=180°，BC=BG=AD=3， ∵∠BGE+∠AGB=180°， ∴∠AGB=∠D， ∵ABCD， ∴∠BAG=∠AED， ∴△ABG≌△EAD（AAS）， ∴AG=DE=2， ∴AB=AE=AG+GE=4， ∵GF⊥AB于点F， ∴∠AFG=∠BFG=90°， 在Rt△AFG和△BFG中，根据勾股定理，得 ，即， 解得AF=， ∴， ∴GF=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形与折叠的性质是解题的关键． 13. 实验室里，水平圆桌面上有甲乙丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1:2:1，用两根相同的管子在容器的5cm高度处连接(即管子底端离容器底5cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示.若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位高度为cm，则开始注入________分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是cm. 【答案】1,,. 【解析】 【分析】先根据题意算出乙和丙每分钟注水量,随着时间变化可以分三种情况讨论,①当甲比乙高,②乙比加高,③乙溢出到甲后,乙比甲高. 【详解】试题分析：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1:2:1， ∴甲、乙、丙三个圆柱形容器的底面积之比为1：4：1， ∵每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，注水1分钟，乙的水位上升cm， ∴注水1分钟，丙的水位上升cm， ①当甲比乙高cm时，此时乙中水位高cm，用时1分； ②当乙比甲水位高cm 时,乙应为cm, 分, 当丙的高度到5cm时，此时用时为5÷=分， 因为,所以分乙比甲高cm. ③当丙高5cm时,此时乙中水高cm，在这之后丙中的水流入乙中，乙每分钟水位上升cm，当乙的水位达到5cm时开始流向甲，此时用时为=分，甲水位每分上升cm，当甲的水位高为cm时，乙比甲高cm，此时用时分； 综上，开始注入1,,分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是cm. 【点睛】本题考查圆柱体与水流变化的结合,关键在于找到三个分类节点. 14. 如图，在中，，以和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 _____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和，结合即可得出结论． 依此即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∵，即， ， ∵在中，， ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 三、解答题（本大题共8小题，共78分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 实数，，，满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的特点凑完全平方公式解决问题． 【详解】原式可化为： 即 解得 【点睛】本题考查了平方的非负性，求一个数的算术平方根，完全平方公式，将已知等式转化为非负数之和等于0是解题的关键． 16. 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：利用二次根式的定义，求出a,b的值，再利用裂项法求和计算. 试题解析： ， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴，， 则 ． 点睛：列项法的使用 +=+=1-=. 注意：，1-. 推广：,. 17. 如果一个四位自然数，它的千位加上百位等于十位加上个位且每个数位上的数字均不为零，我们称这个四位数为“欣欣向荣数”．我们把的千位和十位、千位和个位、百位和十位、百位和个位组成的四个两位数的和再除以的商记为，例如：四位数，，是“欣欣向荣数”，那么．一个四位数自然数是“欣欣向荣数”，它的个位与千位之和为且自然数能被整除，求出的值． 【答案】###34 【解析】 【分析】设一个四位数自然数为，根据题意，得四位自然数是“欣欣向荣数”，故， ，根据题意，得它的个位数字与千位数字之和为，故，故，，故四位数自然数为，由自然数能被整除，变形得到如下等式，分类求解即可； 【详解】解：设一个四位数为，根据题意，得四位数是“欣欣向荣数”， 故，， 根据题意，得它的个位数字与千位数字之和为， 故， 故，， 故四位数自然数为 ， 由自然数能被整除， ， 根据题意，得自然数的每个数位上的数字均不为零， ， ， ， ，， ， 或或或或或或； 故，解得，此时不满足，舍去； ，解得，此时不满足，舍去； ，解得，此时满足， ； ，解得，此时满足， ； ，解得，此时满足， ； 或解得，此时不满足，舍去； ，解得，此时不满足，舍去； ，解得，此时不满足，舍去； 故的值为16或20或24． 18. 如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． （1）当，且为直角三角形时，求的值； （2）当为等边三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）的值为或 （2）的值为5或20 【解析】 【分析】（1）先由等边三角形性质得，结合动点速度写出，的线段表达式；分两种直角情况讨论，套用含直角三角形边长规律列一元一次方程，求解并验证符合范围； （2）按动点两段运动区间分类：第一段利用“有一个角、邻边相等可判定等边三角形”列方程求值；第二段分析端点重合的特殊情况算出，汇总所有符合条件的结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 当时，点在线段上（不含端点）， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴当，且为直角三角形时，的值为或； 【小问2详解】 当时，即在线段上（不含端点）， ∵，，， ∴当时，为等边三角形， ∴， 解得， 当时，即在线段上（含端点）， ∵为等边三角形， ∴， ∵在线段上（含端点）且，， ∴点与点重合， ∴， 综上所述，当为等边三角形时，的值为5或20． 19. 在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，则称p为这k个点的“平面特征值”，记为．如：点点，则，如图，正方形的边在x轴上，交y轴于点E，已知O为的中点，点B的坐标为．点为y轴上一动点，过点F作直线轴，与直线、的交点记为P，Q，请直接写出以及相应的b的取值范围． 【答案】 当或或或时，；当或时，；当时，； 【解析】 【分析】根据正方形的性质，待定系数法，分类思想，求解即可； 【详解】解：根据题意，得正方形的边在x轴上，交y轴于点E，已知O为的中点，点B的坐标为， 点A的坐标为，， ， ，， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 此时与y轴的交点为， 当时，，解得， ， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 此时与y轴的交点为， 当时，，解得， ， 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 综上所述，当或或或时，； 当或时，； 当时，； ． 20. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合函数图像研究函数性质的过程．以下是我们研究函数的图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题． （1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象． x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 … y … -1 1 0 -1 1 （2）根据函数图像，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”． ①该函数的自变量的取值范围是x≠士2；（ ） ②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；（ ） ③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小；（ ） （3）已知函数 的图像如图所示，结合函数图像，请直接写出方程 的解；（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）补全表格如下： x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 … y … -1 1 0 -1 1 画出函数图象如下： （2）√，√，×； （3）、， 【解析】 【分析】（1）求出和对应的函数值即可补全表格，再描点作图即可求解； （2）根据函数图象的性质逐一判断即可； （3）根据函数图象，代入大致的数值进行验证即可求解． 【详解】（1）略 （2）①该函数的自变量的取值范围是x≠±2，正确； ②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点，正确； ③在、以及的每个范围内，y随x的增大而减小，错误； （3）∵当时，， 当时，， ∴的一个解为； 同理可得的另外两个解为，； 综上，的解为、，． 【点睛】本题考查函数的图象，掌握描点作图、利用图象解方程的方法是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为和，则定义和中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为．例如：，因为；，而，所以． （1）点D是坐标轴上的一点，它与点的直角距离小分量，求出点D的坐标； （2）若点满足以下条件： a）点M在第一象限； b）点M与点的直角距离小分量； c），O为坐标原点． 请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______． 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可； （2）根据题意得出，解出的取值范围，再由可推导出，解出的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取的值即可． 【小问1详解】 解：已知，点D在坐标轴上，分两种情况讨论： 情况1：若D在x轴上，设， 则，， ∵， ∴，不符合的要求，故D不在x轴上； 情况2：若D在y轴上，设， 则，， ∵，， ∴较小值为， ， 解得：或， ∴或； 【小问2详解】 解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， ∵点， ∴， 当时，，与矛盾； 当时，，即，解得：， ∴； 当时，，即， 解得：， ∴m的取值范围是：或； ∵，O为坐标原点，点M在第一象限，点在x轴正半轴上， 点M的纵坐标大于横坐标，即，解得， ∴综上，的取值范围是：， ∵横纵坐标都为整数， 和5， 或． 22. 背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． （1）如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （2）如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． （3）如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． （4）如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 【答案】（1）150°； （2） 证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′， ∵△APB≌△AB′P′， ∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP， ∵， ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∴点P在CB′上， ∴过的费马点． （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可； （2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可； （3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可； （4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可． 【小问1详解】 解：连结PP′， ∵≌， ∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60° ∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°， ∴△APP′为等边三角形， ,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°， 在△P′PC中，PC=5， ， ∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠AP′C=150°， 故答案为150°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′， ∴△APB≌△AP′B′， ∴AP′=AP，AB′=AB， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°， ∵ ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∵，，， ∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC= ∴BB′=AB=2， ∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°， ∴在Rt△CBB′中，B′C= ∴最小=CB′=； 【小问4详解】 解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F， ∴△BCE≌△CE′B′， ∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′， ∵∠ECE′=∠BCB′=60°， ∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形， ∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°， ∵， ∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥AF， ∴BF=，BF=， ∴AF=AB+BF=2+， ∴AB′=， ∴最小=AB′=． 【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $