5.1.2导数的概念及其几何意义导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其几何意义 【学习目标】 1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景． 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 【学习重难点】 重点：导数的概念及其几何意义. 难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解. 【知识梳理】 1．导数的概念 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处____，并把这个________叫做在处的导数(也称为__________)，记作或________，即＝__________________＝__________________ . 2．导数的几何意义 如图，割线的斜率＝___________.记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数，因此，函数在处的导数就是__________的斜率，即． 3．导函数 对于函数，当时，是一个唯一确定的数，当变化时，便是的一个函数，我们称它为的导函数(简称为导数)，即＝__________________. 说明：(1)是具体的值，是常数． (2)是函数在某区间上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数在处的导数与和都有关. (　 ) (2是函数在附近的平均变化率. (　 ) (3)函数没有导函数. (　 ) (4)与表示的意义相同. (　 ) (5)若,则曲线在点处的切线不存在. (　 ) 2.如图,直线是曲线在处的切线,则(　 ) A. B. C. D. 【典例分析】 例1、（1）函数在处的导数. （2）求函数的导函数. 变式、已知球的体积是关于半径的函数, ,则时,球的体积的瞬时变化率为　　　.  例2、已知函数的图象如图所示,则下列不等关系正确的是(　 ) A. B. C. D. 例3、已知曲线,求曲线在点处的切线方程. 变式、本例条件不变,求曲线过点的切线方程. 【当堂训练】 1.已知在某点处的切线的倾斜角为,则该切点的坐标为　　　　.  【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2导数的概念及其几何意义 【学习目标】 1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景． 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 【学习重难点】 重点：导数的概念及其几何意义 难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解 【知识梳理】 1．导数的概念 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处____，并把这个________叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为__________)，记作f ′(x0)或________，即 f ′(x0)＝ ＝ . 可导； 确定的值； 瞬时变化率； y′|； ； 2．导数的几何意义 (1)导数的几何意义 如图，割线P0P的斜率k＝___________.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是__________的斜率k0，即k0＝ ＝f ′(x0)． ；切线P0T 3．导函数 对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝__________________. 说明：(1)是具体的值，是数值． (2)是函数在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数在x0处的导数f'(x0)与x0和Δx都有关. (　 ) (2)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. (　 ) (3)函数f(x)=0没有导函数. (　 ) (4)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　 ) (5)若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线不存在. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f'(4)= (　 ) A. B.3 C.4 D.5 解析:选A　由于kl==,∴f'(4)=. 【典例分析】 例1、(1)函数y=在x=2处的导数. （2）求函数f(x)=x2-x的导函数 解:(1)因为Δy=-=-1=-,所以=-. 所以y'|x=2==-=-1. （2）∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=Δx2+2xΔx-Δx,∴=Δx+2x-, ∴f'(x)==2x-. 变式、已知球的体积V是关于半径r的函数,V(r)=,则r=2时,球的体积的瞬时变化率为　　　.  解析:∵ΔV=V(2+Δr)-V(2)=-=,∴=[12+6Δr+(Δr)2],当Δr趋于0时,趋于16π. 例2、已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系正确的是 (　 ) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) 解析:选C　kAB==f(3)-f(2),f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,根据图象可知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2). 例3、已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程. 解:∵P(2,4)在曲线y=x3+上, ∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为 k= = =4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 变式、本例条件不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程. 解:设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为k= =, ∴切线方程为y-=(x-x0), 即y=x-+. ∵点P(2,4)在切线上, ∴4=2-+,即-3+4=0. ∴+-4+4=0, ∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 【当堂训练】 1.已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为　　　　.  解析:设切点坐标为(x0,y0),则Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2, ∴=4x0+2Δx,∴f'(x0)==4x0. 又∵切线的斜率为k=tan 45°=1,∴4x0=1,即x0=. ∴y0=2×+1=,∴切点坐标为. 答案: 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $