精品解析：吉林长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试高二数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试 高二年级 数学学科 出题人 ：赵天 审题人：王先师 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A. B. C. D. 5. 某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示： 若关于的经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 由数据可判断与负相关 B. 经验回归方程相应的直线经过点 C. 当售价为元/件时，预测月销售量为千件 D. 当售价为元/件时，样本点的残差为 6. 甲、乙、丙、丁等8人分成，两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 7. 已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 已知且，指数函数，对数函数，则下列结论错误的是（ ） A. 若的图象过点，则 B. 函数的图象过定点 C. 若，则 D. 当时，对任意，，都有 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 以下说法正确的是（   ） A. 若，两组数据的样本线性相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C. 决定系数越小，模型的拟合效果越好 D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，下列正确的是（ ） A. 当时，的值域为 B. 当时，有2个零点 C. 若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 D. 过点可作的两条切线，则a的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_________． 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则________． 14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 已知函数（ 且 ）是偶函数，. （1）求实数的值； （2）判断的奇偶性，并证明该结论； （3）若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 17. 2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五.端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节.为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表： 年龄 不了解 了解 合计 30岁以下 25 15 40 50岁以上 20 40 60 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？ （2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研，答对一题得5分，答错一题得0分. ①已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，甲从中随机抽出3道试题进行回答，求甲答对试题数的分布列及数学期望； ②已知乙答对每道题的概率均为，且每题答对与否互不影响，计算机随机给乙3道题，求乙答题得分的数学期望与方差. 附：； 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 19. 男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景下射击． （1）求小明在前3次射击得到1分的概率； （2）若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景下获得的概率； （3）求小明第n次在场景下射击的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试 高二年级 数学学科 出题人 ：赵天 审题人：王先师 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】根据命题否定的定义可知，，的否定为，. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解指数不等式与一元二次不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，解得，所以， 所以. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，可得，令，，所以. 4. 已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 5. 某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示： 若关于的经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 由数据可判断与负相关 B. 经验回归方程相应的直线经过点 C. 当售价为元/件时，预测月销售量为千件 D. 当售价为元/件时，样本点的残差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关性的概念、样本中心点的定义、残差的计算、及根据样本中心点求参数，利用回归方程进行数据估计，逐项判断即可. 【详解】由表格数据可得：， 根据线性回归方程必过样本中心点，即，故B正确； ，故可判断与负相关，A正确； 当时，，，故D正确； 当时，，故C错误. 6. 甲、乙、丙、丁等8人分成，两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由题意应用分步乘法计数原理计算求解. 【详解】先安排甲乙去其中任意一组，有2种，由于丙丁不能同组，从丙丁2人中选1人与甲乙同组， 另一人去另一组，有2种，剩余4人选1人加入甲乙一组，另外3人去另一组，有4种， 故不同的分配方案有种． 7. 已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过题目所给的条件求得函数对称中心和对称轴，从而求出函数的周期，最后将求转化为求. 【详解】因为为偶函数，所以，说明关于直线对称. ，，说明关于中心对称. 因为，所以，， 又因为， 所以，，因此周期. 所以，，即. 8. 已知且，指数函数，对数函数，则下列结论错误的是（ ） A. 若的图象过点，则 B. 函数的图象过定点 C. 若，则 D. 当时，对任意，，都有 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A.∵的图像过点，∴，又，∴ ∴，A正确； 对于选项B.∵的图象过定点,图象向右平移1个单位 得到的图象，∴的图象过定点，B正确； 对于选项C.∵，由的单调性可知， ∴在上单调递增，又，∴，C正确; 对于选项D.由基本不等式得，左边=右边 （由凹函数的性质也可判断），D错误. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 以下说法正确的是（   ） A. 若，两组数据的样本线性相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C. 决定系数越小，模型的拟合效果越好 D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】相关系数的绝对值越大，相关性越强；残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；决定系数越接近于1，模型拟合效果越好；有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率为. 【详解】对于选项A，因为，所以组数据比组数据的相关性较强，故A错误； 对于选项B，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明残差波动越小，模型的拟合效果越好，故B正确； 对于选项C，决定系数越接近于1，模型拟合效果越好；越小，模型的拟合效果越差，故C错误； 对于选项D，有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率为，故D正确. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解. 【详解】对于A：因为，，， 所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：因为，，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故B错误； 对于C：因为，，，所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：因为，，，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 11. 已知，下列正确的是（ ） A. 当时，的值域为 B. 当时，有2个零点 C. 若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 D. 过点可作的两条切线，则a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数得出函数值域判断A，利用导数求出函数最大值，由最大值为负判断B，根据函数有两个极值点转化为导数有两个不等实根，利用导数分析即可判断C，求出切线方程，转化为方程有两个不等根，利用导数及分类讨论求解判断D. 【详解】当时，，，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以且时，，所以的值域为，故A正确； 当时，，由可得 ，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以无解，即无零点，故B错误； ，由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，上单调递减，， 且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根，所以函数有两个极点时，的取值范围是，故C正确； 由，设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，切线方程为， 而点在切线上，则，即有，由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，令， 则函数有2个零点，求导得， ①若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值， 又， 当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ②若，恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； ③若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又， 显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ④若，显然，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，要函数有2个零点，必有，得， 当时，， 而函数在上的值域为，因此在上的值域为，当时，令，求导得，函数在上单调递减，则，， 而函数在上单调递减，值域为，因此函数在上的值域为，于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_________． 【答案】2或5 【解析】 【详解】由组合数的对称性可知， 或． 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】已知随机变量服从正态分布， 可知均值，方差，则标准差， 正态分布的概率密度曲线关于直线对称. 根据正态分布曲线的对称性，均值两侧对称区间的概率是相等的， 即. 正态分布中，随机变量大于等于均值的概率为，即， ， 则. 14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，都有， 所以，即， 所以在上单调递增， 又， 所以对所有恒成立， 所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案； （2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 ∵：是真命题，∴， ∴，解得， ∴的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知：：，：即 因为是的必要不充分条件，所以，解得：. 综上所述的取值范围是. 16. 已知函数（ 且 ）是偶函数，. （1）求实数的值； （2）判断的奇偶性，并证明该结论； （3）若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】（1）1 （2）奇函数，证明过程为:由（1）知 ，则， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，，故 是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）由奇偶性的定义求解； （3）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【小问1详解】 因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为， 不恒为 0，所以必须 ，所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即, 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 17. 2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五.端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节.为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表： 年龄 不了解 了解 合计 30岁以下 25 15 40 50岁以上 20 40 60 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？ （2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研，答对一题得5分，答错一题得0分. ①已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，甲从中随机抽出3道试题进行回答，求甲答对试题数的分布列及数学期望； ②已知乙答对每道题的概率均为，且每题答对与否互不影响，计算机随机给乙3道题，求乙答题得分的数学期望与方差. 附：； 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为受调居民中对“端午节”民俗的了解程度存在年龄差异，此推断犯错误的概率不超过0.01 （2）①分布列为 0 1 2 3 ②， 【解析】 【分析】（1）利用公式计算，则可推断受调居民中对“端午节”民俗的了解程度存在年龄差异. （2）①由题意得服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可计算概率，从而得到分布列及数学期望； ②由题意得乙答对题的个数为，则，则可算，，得分，利用变量变化后的期望与方差的关系即可计算，. 【小问1详解】 ）零假设为：受调居民中对“端午节”民俗的了解程度不存在年龄差异 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为受调居民中对“端午节”民俗的了解程度存在年龄差异，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 ①由题意得的可能取值为， ，，， 用表格表示的分布列为 0 1 2 3 ②设乙答对题的个数为，由题意得，， 由题意得，则，. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）两个零点 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【小问1详解】 因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． 【小问3详解】 因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 19. 男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景下射击． （1）求小明在前3次射击得到1分的概率； （2）若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景下获得的概率； （3）求小明第n次在场景下射击的概率． 【答案】（1） （2） （3）（）． 【解析】 【分析】（1）利用分类计算概率即可求解. （2）利用条件概率可解. （3）利用全概率公式算出与的关系，再利用数列的递推关系求通项公式即可解出. 【小问1详解】 设事件“小明在前3次射击中得到1分”， 由题意得． 【小问2详解】 设事件“小明在前3次射击中得到2分”，“这2分均在场景B下获得”， 由题意得， ， ． 【小问3详解】 设“小明第次在场景A下射击”，， 由题意得，且，，， 由全概率公式得， 即， ∵，且， ∴数列是以为首项、为公比的等比数列. ∴， ∴（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $