第五十七讲 平面向量的数量积 导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理平面向量数量积核心考点，涵盖概念、几何意义、运算律、性质及坐标运算，通过定义到应用的层级架构建立知识联系，以问题链引导学生自主推导数量积性质与运算规律，形成结构化认知。 亮点在于诊断性题型与分层训练设计，开篇设置基础运算、投影向量等题型自测，学生可通过错题定位薄弱环节，结合解题方法总结自主提升。融入几何直观与运算推理，培养数学思维与数学眼光，教师可依据题型反馈实施精准教学，助力因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第五十七讲 平面向量的数量积 【学习目标】1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积； 2. 通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 【学习重点】平面向量数量积的运算． 【学习难点】平面向量数量积的概念及其物理意义. 必掌握知识点： 1．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 2．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 3．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或．④．⑤． 4．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 5、向量中的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有． 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但． （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项． （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且 解题方法总结： （1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． （4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． （5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 必考题型全归纳： 题型一. 数量积基础运算（模、夹角、垂直） 1．（海南省海南中学2024-2025学年高三上学期开学考试（第0次月考）数学试题）已知向量满足，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】结合已知条件，求得，再对两边同时平方求出， 【详解】由得=，由，得 又所以 ，故选：D 2．（安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积运算法则，分别求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量满足，，， 可得，， 所以.故选：D. 3．（江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期5月检测数学试题）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得， 即， 两边平方得， 所以，则，即，所以是直角三角形.故选：B. 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高,所以, , .故选:D. 5．（2025年高考北京数学真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即，故选：D. 6．（四川省成都市石室中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷）已知. (1)求和的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据题意，求得向量，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，则，解得， 设向量和的夹角为，则，所以， 所以向量和的夹角为. （2）解：向量为在上的投影向量，可得， 则. 题型二. 投影与投影向量 7．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得. 【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，所以，且， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为.故选：B 8．（2019年清华大学自主招生暨领军计划数学试题）已知平面向量满足：，在方向上的投影为，．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件可得，如图，在边长为1的正中，，则C点落在以为直径的圆上，故可求的最大值. 【详解】因为在方向上的投影为，故. 因为，故， 如图，在边长为1的正中，， 则C点落在以为直径的圆上，从而所求最大值为， 故选：A 9．（安徽省江淮十校2026届高三上学期第二次联考数学试题）已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量求得，进而求夹角余弦值. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 所以，所以，故选：D. 10（多选）．（湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题）如图，在中，，，，，.设在上的投影向量为，则下列命题正确的是（    ） A．的值为 B．的值为 C． D． 【答案】BD 【分析】求出在上的投影向量可判断A、B；表示出，求出可判断C、D. 【详解】在上的投影向量为， ∴，所以A不正确，B正确. ， ， ∴.所以C不正确，D正确.故选：BD. 11（多选）．（广东省广州市番禺区禺山中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题）下列命题中正确的是（    ） A．已知和是两个互相垂直的单位向量，，，且，则实数 B．已知正四面体的棱长为1，则 C．已知，，，则向量在上的投影向量的模长是 D．已知，，（为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面 【答案】ABC 【分析】利用向量的基本概念及基本运算逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】A.因为，，且， 所以， 解得，所以A正确. B. 正四面体对棱互相垂直，所以与，与夹角为，所以，所以B正确. C.，， 向量在上的投影向量的模长是，所以C正确. D.假设向量，，共面，则，所以， 即， 所以，解得，所以向量，，共面，所以D不正确.故选：ABC. 题型三. 平面图形向量计算（三角、正方形、正六边形） 12．（河南南阳市六校2025-2026学年高一下学期阶段性素养评价（二）数学试题）蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系,将向量点积转化为点P横坐标的线性表达式，结合正六边形内部点的坐标范围求解取值范围. 【详解】如图，以正六边形的顶点为坐标原点， 所在直线为轴， 所以直线为轴，建立平面直角坐标系： 则，，设，则，则，所以. 13．（山东省实验中学2023届高三第一次诊断考试数学试题）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】即为基底表示出，结合数量积的运算求得正确答案. 【详解】, ， 所以 .故选：B 14（多选）．（福建省同安第一中学2021-2022学年高一3月第一次月考数学试题）下列说法正确的是（    ） A．若非零向量，且，则为等边三角形 B．已知，，，，且四边形为平行四边形，则 C．在中，若，则为钝角三角形 D．已知向量，则与夹角的范围是 【答案】AC 【分析】对于A选项：得到为等腰三角形， 再由求出角即可判断； 对于B选项：分为平行四边形对角线的交点和不是交点两种情况考虑即可； 对于C选项：先确定角一定为锐角，分和为锐角两种情况讨论即可； 对于D选项：先求出点满足方程， 所以与夹角即为射线与的夹角， 当分别 相切时得到夹角的最小值和最大值即夹角的范围即可求解. 【详解】对于A选项：在中，，且， 说明角平分线垂直于边，所以为等腰三角形，又， 即，即，所以为等边三角形，故A正确； 对于B选项：当为平行四边形对角线的交点时，可以得到， 当不为平行四边形对角线的交点时不一定成立，故B错误； 对于C选项：在中，因为，即，即， 所以角一定为锐角，当时，，所以，显然不可能， 当为钝角时，为钝角三角形，当为锐角时，，即， 因为，所以，因为在单调递增， 且，所以，即，所以，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D选项：， 所以点满足方程，如下图所示：点， 设的方程为：，所以与夹角即为射线与的夹角， 当分别 相切时得到夹角的最小值和最大值即夹角的范围. 则，可得，设与夹角为， 则，解得，所以的取值范围为，故D不正确. 故选：AC. 15．（江苏省徐州市邳州市毓秀高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则_______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为_______. 【答案】 /； . 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据向量相等求出可得空一；设，用表示出，利用二次函数性质求解可得空二. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以，得， 因为，所以， 得，所以， 设，则， 所以， 所以 由二次函数性质可知，当时，取得最小值.故答案为：；. 题型四. 圆与动点轨迹最值 16（多选）．（浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题）已知平面向量，满足为单位向量，，则（    ） A． B．的最小值为 C．在方向上的投影长度的范围为 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】先由题设求出，设，，，则，进而判断选项A，设，中点为，利用数量积进行求解判断B，利用投影定义结合坐标法求解判断选项C；先由题设转化得，接着平方并令得，再利用判别式求解的范围可判断选项D. 【详解】由，为单位向量，，得， 故，则，又，故， 设，，，则， 则点在以为圆心且为半径的圆上，故，故A正确； 设，中点为， 则， 由题意可得，， 因为，故最小值为，故最小值为，故B错误； 在的投影长度为，点在以为圆心为半径的圆上， 设，，则， 则， 故在的投影范围，故C正确； 由和得， 所以， 令，则即， 则，故， 故最大值为，故D正确．故选:ACD． 17（多选）．（重庆市巴蜀中学2022届高三上学期高考适应性月考（五）数学试题）平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影是1 C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是 【答案】ACD 【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A选项；根据在方向上的投影是进行计算，即可判断B选项；设，根据题意可知，并取，从而得出动点在以为直径的圆上，设的中点为，从而得出，即可判断C选项；设，由可知故在垂线上，根据向量的加减法运算得出，过作的垂线，垂足为，可知，即可求出的最小值，从而可判断D选项. 【详解】解：因为，且，则，所以， 又，则，则，故A正确； 由于在方向上的投影是，故B错误；设， 由于，即，故， 因为，取，则， 所以，所以动点在以为直径的圆上，如图， ，则，， 设的中点为，的中点为，过作的垂线， 则，因为，所以的最大值是，故C正确； 设，因为，即，则， 所以，故在垂线上， 而， 又是的中点，所以，则， 过作的垂线，垂足为，则， 又，所以， 所以的最小值是，故D正确.故选：ACD. 题型五. 基底线性表示 + 数量积综合 18．（天津市静海区第一中学2025-2026学年高一下学期6月学业能力调研数学试题）中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； . 【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得；结合平面向量的数量积运算及向量的垂直条件，即可求得. 【详解】由题意，可得，又，所以， 又为边中点，所以，所以， 所以， 又，，所以. 因为，即，所以， 即，两边同乘得①， 又，， 所以，即， 即，两边同乘得②， 由②得③，代入①得， 即④， 又， 所以， 将③代入，得， 将④代入，得. 19．（山东省淄博第七中学2025-2026学年高三上学期学分认定（期中）考试数学试题）中， D为AB边中点，. (1)用表示(2)若，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可； （2）应用数量积运算律计算求解. 【详解】（1）如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； （2）又因为，所以 ，所以 所以， 所以，① 因为，所以， 所以①． 题型六. 仿射坐标系创新题型 20．（浙江温岭市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习）如图，设Ox，Oy是平面内夹角为的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则把叫做向量在平面坐标系xOy中的坐标，记． (1)在仿射坐标系中，若向量，求的坐标； (2)在仿射坐标系中，向量，向量．求在方向上的投影向量； (3)在仿射坐标系中，设，若对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据共线向量的定义和向量的模的公式计算即可. （2）根据投影向量的计算公式求解即可. （3）先利用向量的模公式和向量的数量积的运算律化简不等式，然后根据二次函数的性质求出结果即可. 【详解】（1）由，设 由此， 即，可得，故或． （2）因为， 所以， 故在方向上的投影向量 （3）因为，所以， ， ， ， 由，得， 所以， 即对任意实数恒成立， 又因为，所以，解得． 巩固提升： 1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为.故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 2．（海南省华中师范大学海南附属中学2021届高三上学期第三次月考数学试题）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影为 【答案】AC 【分析】由得，，进而依次讨论各选项即可得答案. 【详解】由题知,因为,所以,解得或, 又因为,所以，所以， 对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，，由于，所以与不平行，故B选项错误； 对于C选项，，，所以，又，所以，故C选项正确； 对于D选项，向量在方向上的投影为，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，模的坐标表示，夹角，投影等概念，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于结合数量积的坐标运算得，进而利用向量夹角、模、投影等概念讨论求解即可. 3．（广东江门市棠下中学2025-2026学年第二学期高一年级下学期4月考试数学试卷）已知向量满足，且，则在方向上的投影向量的长度为______． 【答案】 【分析】先根据数量积的运算律求，进而求在方向上的投影向量的长度即可. 【详解】由，所以， 所以，所以在方向上的投影向量的长度为. 4．（2025年高考天津卷数学真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第五十七讲 平面向量的数量积 【学习目标】1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积； 2. 通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 【学习重点】平面向量数量积的运算． 【学习难点】平面向量数量积的概念及其物理意义. 必掌握知识点： 1．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 2．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 3．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或．④．⑤． 4．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 5、向量中的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有． 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但． （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项． （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且 解题方法总结： （1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． （4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． （5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 必考题型全归纳： 题型一. 数量积基础运算（模、夹角、垂直） 1．（海南省海南中学2024-2025学年高三上学期开学考试（第0次月考）数学试题）已知向量满足，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．（安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期5月检测数学试题）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知. (1)求和的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求. 题型二. 投影与投影向量 7．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量满足：，在方向上的投影为，．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（安徽省江淮十校2026届高三上学期第二次联考数学试题）已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 10（多选）．（湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题）如图，在中，，，，，.设在上的投影向量为，则下列命题正确的是（    ） A．的值为 B．的值为 C． D． 11（多选）．（广东省广州市番禺区禺山中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题）下列命题中正确的是（    ） A．已知和是两个互相垂直的单位向量，，，且，则实数 B．已知正四面体的棱长为1，则 C．已知，，，则向量在上的投影向量的模长是 D．已知，，（为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面 题型三. 平面图形向量计算（三角、正方形、正六边形） 12．（河南南阳市六校2025-2026学年高一下学期阶段性素养评价（二）数学试题）蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 13．（山东省实验中学2023届高三第一次诊断考试数学试题）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，的值为（    ） A． B． C． D． 14（多选）．下列说法正确的是（   ） A．若非零向量，且，则为等边三角形 B．已知，，，，且四边形为平行四边形，则 C．在中，若，则为钝角三角形 D．已知向量，则与夹角的范围是 15．（江苏省徐州市邳州市毓秀高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则_______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为_______. 题型四. 圆与动点轨迹最值 16（多选）．已知平面向量，满足为单位向量，，则（    ） A． B．的最小值为 C．在方向上的投影长度的范围为 D．若，则的最大值为 17（多选）．（重庆市巴蜀中学2022届高三上学期高考适应性月考（五）数学试题）平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影是1 C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是 题型五. 基底线性表示 + 数量积综合 18．（天津市静海区第一中学2025-2026学年高一下学期6月学业能力调研数学试题）中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 19．（山东省淄博第七中学2025-2026学年高三上学期学分认定（期中）考试数学试题）中， D为AB边中点，. (1)用表示(2)若，求 题型六. 仿射坐标系创新题型 20．（浙江温岭市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习）如图，设Ox，Oy是平面内夹角为的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则把叫做向量在平面坐标系xOy中的坐标，记． (1)在仿射坐标系中，若向量，求的坐标； (2)在仿射坐标系中，向量，向量．求在方向上的投影向量； (3)在仿射坐标系中，设，若对任意实数恒成立，求的取值范围． 巩固提升： 1．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影为 3．（广东江门市棠下中学2025-2026学年第二学期高一年级下学期4月考试数学试卷）已知向量满足，且，则在方向上的投影向量的长度为______． 4．中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $